tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

Предположим, что функция плотности f ( x) непрерывна в точке a и величина невелика. Тогда по свойствам интеграла

a+ΔZ/2

P( A) = f ( x) dx ≈ f (a) . (2.1.6)

a− /2

Геометрически это примерное равенство означает, что площадь под кривой плотности f ( x) над интервалом (a − /2, a +Δ/2) примерно равна площади прямоугольника с основанием (a − /2, a +Δ/2) и высотой f (a) (см. рис. 1.15). Это же рассуждение используется в математическом анализе, когда осуществляется переход от интегральных сумм по малым интервалам к интегралу.

Итак, выражение (2.1.6) говорит, что вероятность оказаться в окрестности точки a (попасть в интервал (a − /2, a +Δ/2)) примерно прямо пропорциональна величине плотности вероятности f (a) в точке a. Чем больше значение f (a), тем больше вероятность. Обсуждение этого вопроса мы продолжим чуть позже.

Упомянутые выше свойства плотности вероятности (2.1.1) и (2.1.2) обеспечивают для вероятностей событий свойства (2.0.1) и (2.0.2).

Расширение операции интегрирования на более сложно устроенные множества A, A R1 , составляет содержание теории интегрирования по Лебегу. Такая теория нужна для создания математически завершенной теории вероятностей. По счастью, нам нет нужды углубляться в эти математические вопросы: этого не требуют статистические (практические) задачи, являющиеся целью данной книги. Нам будет достаточно простых средств из классического математического анализа: интеграла Римана, формулы Ньютона—Лейбница, рядов и т. п.

Плотность вероятности f ( x, θ) называют показательной или экспоненциальной. Подробнее о ней будет рассказано ниже, в гл. 3. Но уже сейчас из графика функции плотности (рис. 1.16) можно заметить, что вероятность события A, состоящего в том, что изделие прослужит в три раза дольше, чем среднее время службы, невелика. Действительно, ведь эта величина есть площадь под графиком плотности на интервале (3θ, ∞).

2. Нормальная плотность.

Статистические свойства (изменчивость) многих явлений характеризует плотность вероятности, называемая нормальной. Само название подчеркивает распространенность и ожидаемость этого распределения вероятностей. Нормальная плотность хорошо описывает различные изменчивые социально-экономические характеристики, метрические характеристики людей, животных и растений одного вида, статистические свойства ошибок измерения. Эта же плотность часто выступает как предельная при изучении законов изменчивости сумм случайных величин. Об этой роли нормального распределения мы подробно будем говорить в гл. 4.

Плотность нормального распределения на прямой содержит в своей формуле два параметра (a R1 и σ>0):

График плотности нормального распределения представлен на рис. 1.17.

Рис. 1.17. Плотность нормального распределения

Очевидно, что

f ( x, a, σ) ¾0 для всех x R1 .

36 Глава 1. Основы теории вероятностей

Можно показать, что при любых a и σ>0 выполняется равенство

Z∞

f ( x, a, σ) dx = 1.

−∞

Тем самым функция f ( x, a, σ) удовлетворяет требованиям (2.1.1) и (2.1.2), предъявляемым по определению к функции плотности. У нормального распределения вероятностей есть и другие названия. Например, его часто называют гауссовским (по имени немецкого математика К. Ф. Гаусса1). Подробнее о нормальном распределении и о вероятностном смысле параметров a и σ будет рассказано ниже, в гл. 3. А сейчас обратим внимание на ряд важных особенностей функции плотности нормального распределения, которые хорошо видны и на графике.

1. Функция f ( x, a, σ) симметрична относительно точки a, т. е. f (a +x, a, σ) = f (a −x, a, σ) для любого x.

2. Функция f ( x, a, σ) достигает своего максимального значения

в точке a и этот максимум равен p 1 , т. е. значение плотности нор-

2πσ

мального распределения в точке a, тем больше, чем меньше значение параметра σ.

3. Как видно из графика плотности (рис. 1.17), вероятность отклониться от a больше чем на 2σ, не велика. Чтобы вычислить эту вероятность, необходимо сложить площади фигур под графиком плотности на интервалах (−∞, a −2σ) и (a +2σ, ∞). Напомним, что вся площадь под графиком плотности на всей числовой прямой равна 1. Таким образом, подобные отклонения от значения a — событие маловероятное. (Как видно на рис. 1.17, площади указанных фигур составляют малую часть от площади под кривой плотности на всей числовой прямой.) И обратно, вероятность попасть в область (a −2σ, a +2σ) довольно велика. Более точные значения этих вероятностей приведены в § 4 гл. 3.

3. Произвольная двумерная плотность распределения.

Пусть теперь Ω— это числовая плоскость R2 . Такое пространство элементарных исходов возникает всякий раз, когда в случайном эксперименте мы измеряем одновременно два признака, две характеристики явления, причем эти признаки могут изменяться непрерывно.

1 Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — великий немецкий математик, оказавший большое влияние на развитие различных областей математики: алгебры, теории вероятностей и математической статистики, теории чисел, дифференциальной геометрии. Активно работал в различных областях приложения математики: физике, астрономии, геодезии.

Рис. 1.18. Пространство элементарных исходов измерения дозы алкоголя и скорости реакции человека

Например, у человека мы можем измерять какие-либо две характеристики его фигуры, скажем рост и длину руки. В качестве двух других непрерывных характеристик человека можно рассмотреть дозу выпитого алкоголя и скорость реакции или дозу лекарства и артериальное давление. (Последние примеры представляют большой интерес для психологов и медиков.) Элементарными исходами во всех подобных случаях является пара чисел. Примем для них обозначение ( x, y), где x, y — числовые переменные. Пара ( x, y) играет роль элементарного события ω, числовая плоскость R2 или ее часть — это Ω, события A, B, C, … — это области на плоскости R2. На рис. 1.18 изображено пространство элементарных исходов для одного из упомянутых примеров.

Плотность вероятности здесь — это функция f ( x, y) двух числовых переменных, удовлетворяющая условиям

Рис. 1.20. Стандартная двумерная нормальная плотность

График стандартной двумерной нормальной плотности представлен на рис. 1.20.

Формально функция f ( x, y) определена на всей числовой плоскости. Однако как видно из ее графика, ее значения существенно отличаются от нуля лишь в круге радиуса 3 с центром в нуле. Вероятность попасть в этот круг (т. е. объем под поверхностью плотности над этим кругом) превышает 0,99, т. е. это событие почти достоверное. Отсюда следует, что вероятность попадания в любую другую область, не пересекающуюся с указанным кругом, мала.

О понятии плотности вероятности. Понятие плотности не относится исключительно к вероятности. Плотность — это общенаучное понятие; оно относится к многим величинам, распределенным в пространстве (или времени) непрерывно — в отличие от тех, что сосредоточены в отдельных точках пространства (или моментах времени). Вспомним плотность вещества (массы), энергии, электричества и т. д. География оперирует таким понятием, как плотность населения, а в физике атмосферы важную роль играет плотность атмосферы.

Мы уже отмечали содержательный смысл плотности вероятности на числовой прямой, говоря, что вероятность попадания в малую окрестность точки a на числовой прямой примерно прямо пропорциональна величине плотности вероятности f (a) в этой точке:

P( A) ≈ f (a) ,

где — размер (длина) малого интервала, содержащего точку a.

С очевидными изменениями это правило вычисления вероятностей действует и в многомерном варианте. Пусть теперь A — область малого (стремящегося к нулю) диаметра, для которой a является внутренней точкой. Обозначим объем области A через |A|.