tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

142 Глава 3. Некоторые важные распределения вероятностей

Рис. 3.8. Ввод параметров биномиального распределения

Нажав на клавишу OK , вызовем новое окно Аргументы функции для ввода аргументов этой функции. В поле Число_успехов введем

A1. В поле Число_испытаний введем 10. В поле Вероятность_успеха

введем 0,5. В поле Интегральная введем 0 или ЛОЖЬ. (В этом поле вводится значение аргумента соответствующей функции, которое может принимать логические значения ЛОЖЬ (0) или ИСТИНА (1). При задании 0 будут вычисляться вероятности биномиального закона распределения P( X = k), k =0, 1, 2, …, n, а при задании 1 — значения функции распределения P( X ¶k).) Заполнение окна Аргументы функции для нашего примера изображено на рис. 3.8.

После нажатия на клавишу OK в ячейке B1 электронной таблицы отобразится значение вероятности того, что биномиальная случайная величина примет значение, заданное в ячейке A1. Распространим эту формулу на столбец B, протащив маркер заполнения вниз до ячейки B11 при нажатой левой клавиши мыши (тем самым скопировав формулу на соответствующие ячейки столбца B). Таким образом, переменная столбца B примет значения биномиальных вероятностей, соответствующих параметрам этого распределения n =10 и p =0,5. Результат вычисления показан на рис. 3.9.

Теперь можно изобразить график зависимости вероятностей P( X = =k), записанных во втором столбце, от числа успехов k, записанных в первом столбце. Этот график, построенный с использованием стандартных средств EXCEL, изображен на рис. 3.10.

146 Глава 3. Некоторые важные распределения вероятностей

выражение (формулу):

= 1 −БИНОМРАСП(24; 100; 0,2; 1) +БИНОМРАСП(15; 100; 0,2; 1).

Результат вычислений изображен на рис. 3.13. Вычисленная вероятность с точностью до округления равна 0,26.

ните соответствующие вероятности.

1.3.Задачи

1.Задача о дегустаторе. В некоторых областях деятельности требуются люди с повышенной чувствительностью к определенным раздражителям. Их обычно именуют дегустаторами. При приеме на работу дегустатора можно использовать следующий простой тест для выявления дегустаторских способностей. Тестируемому предлагают три одинаковых по виду образца, один из которых отличается по своим свойствам (скажем, вкусу или запаху) от двух других. Задача тестируемого — правильно указать отличающийся образец. Подобный опыт повторяют 10 раз.

1.1.Вычислите вероятность того, что тестируемый, не обладая свойствами дегустатора, даст: более 9 правильных ответов; более 8 правильных ответов.

1.2.Найдите математическое ожидание и дисперсию числа правильных ответов человека, не обладающего способностями дегустатора.

1.3.Предположим, что вероятность правильного ответа дегустатора в одном эксперименте с предъявлением трех образцов равна 0,9.

Всерии из 10 испытаний найдите вероятность получить от дегустатора: более 8 правильных ответов, более 9 правильных ответов.

2.Задача о выборочном контроле. Вероятность p встретить бракованное изделие при выборочном контроле качества при нормальном процессе производства равна 0,002.

2.1.Найдите вероятность того, что в партии из 500 изделий: а) не будет ни одного бракованного изделия; б) будет не более 1 одного бракованного изделия. Каким из приближений следует воспользоваться при вычислении этих вероятностей?

2.2.Найдите вероятность того, что в партии из 500 изделий встретится более 3 бракованных изделий. Можно ли при этом считать с вероятностью 0,95, что в процессе производства появились сбои?

3. Задача о маркетинговом исследовании. В выборочном опросе

100 потребителей целевой группы некоторого продукта до проведения рекламной кампании выяснилось, что 40 из них предпочитают покупать продукт данного производителя.

3.1.Укажите, в каких пределах с вероятностью 0,95 может варьироваться число потребителей Sn, предпочитающих данный продукт,

ваналогичном выборочном опросе каких-то других n =100 потребителей из этой целевой группы. Другими словами, найдите такое целое

x, что P(40 −x ¶Sn ¶40 + x) ≈0,95. Каким из приближений следует воспользоваться при вычислении этой вероятности?

3.2.После проведения рекламной кампании выборочный опрос 100 потребителей целевой группы показал, что продукт данного производителя предпочитают покупать 48 человек. Можно ли считать, что рекламная кампания способствовала росту числа потребителей продукта данного производителя?

3.3.После проведения рекламной кампании выборочный опрос 100 потребителей целевой группы показал, что продукт данного производителя предпочитают покупать только 35 человек. Можно ли считать с вероятность 0,95, что в результате рекламной кампании сократилось число потребителей продукта данного производителя, т. е. реклама подействовала негативно?

4. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами p =0,5 и n =20. Найдите наименьшее такое значение

k, что

P(|X −np| > k) < 0,005.

5.Серию испытаний Бернулли, вероятности успеха и неудачи в которых обозначим соответственно p и q, проводят до появления первого успеха. Длина серии (число испытаний), таким образом, оказывается случайной величиной. Найдите для этой случайной величины распределение и математическое ожидание.

6.Одновременно проводят m (m — натуральное число) независи-

мых испытаний Бернулли, в которых ( pi, qi) суть вероятности успехов и неудач, i =1, …, m. Серия испытаний заканчивается, как только

водном из испытаний произойдет успех. Длина серии, таким образом, оказывается случайной величиной. Для этой случайной величины найдите распределение и математическое ожидание.

7.В вашем распоряжении несимметричная монета. Как с помощью бросаний этой монеты (бросания предполагаются независимы-

148 Глава 3. Некоторые важные распределения вероятностей

ми) получить испытания Бернулли, в которых вероятность успеха равна 0,5?

§2. Распределение Пуассона

2.1.Определение и основные свойства

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания (см. [9, 10]), страховании (см. [28, 29]), теории надежности (см. [7]), теории связи, ряде вопросов физики и т. д. — словом, всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (заявок на обслуживание, страховых случаев, отказов оборудования, телефонных вызовов, радиоактивных распадов, несчастных случаев и т. п.). Распределению Пуассона часто следуют количества событий, если эти события происходят редко и случайно. (К обсуждению распространенности распределения Пуассона мы вернемся в § 4 гл. 4.) Заметим, что число событий может принимать лишь целые неотрицательные значения.

Определение 2.1.1. Распределением Пуассона называют распределение вероятностей между целыми неотрицательными числами, когда на долю числа m приходится вероятность

m!

здесь λ>0 — параметр распределения.

Формула (2.1.1) действительно задает распределение вероятностей на множестве целых неотрицательных чисел, так как p(m, λ) >0 для

всякого m =0, 1, … и

X∞

p(m, λ) = 1.

m=0

Доказательство этого опирается на следующее математическое соотношение:

для любого λ>0. Это соотношение часто бывает нужно при изучении распределения Пуассона. Понадобится оно и нам.

Определение 2.1.2. Случайная величина X называется распределенной по Пуассону с параметром λ>0, если X принимает целые неотрицательные значения m =0, 1, … и

Рис. 3.14. Вид распределения Пуассона для различных значений λ

Если о случайной величине X, имеющей распределение Пуассона, мы говорим как о числе случайных событий в течение некоторого фиксированного времени, то параметр λ (как будет показано ниже) имеет ясный смысл. Это среднее число случайных событий за это время. В таком случае понятно, что если мы меняем временной интервал, в котором фиксируем наступление событий, то пропорционально должно изменяться и среднее число событий. Например, если случайное число посетителей крупного магазина за четыре недели составляет в среднем 28000 человек, то за неделю его в среднем посещает 7000 человек, а за день — 1000 человек при условии однородности во времени потока посетителей. Последнее условие может и нарушаться, скажем, в выходные дни посетителей в среднем может быть больше, чем в будние.

На рис. 3.14 показаны значения вероятностей p(m, λ) для нескольких значений λ.

Область применения. Как было сказано выше, распределение Пуассона играет важную роль во многих прикладных областях. В теории массового обслуживания на этом распределении, в частности, базируются расчеты требуемых мощностей для обслуживания клиентов (более подробно см. [10]). В страховании оно используется для расчетов условий страховых договоров и страховых резервов кампаний (см. [29]). Обобщенно можно сказать, что потребность в распределе-