tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

3.6.Компьютерный практикум

Вэтом пункте обсуждаются вопросы, связанные с приближением биномиальных вероятностей с использованием теоремы Муавра—Ла- пласа. На примере показано, насколько хорошо действуют приближе-

ния вероятностей вида P( x1 ¶X ¶x2) для биномиально распределенной случайной величины X, полученные с помощью этой теоремы. Вычисления точных и приближенных вероятностей выполнены в пакете EXCEL.

3.6.1. Приближенное вычисление биномиальных вероятностей вида P( X ¶k) с использованием теоремы Муавра—Лапласа.

Пример 4.3.1. Покажем на обсуждавшемся в п. 1.2 гл. 3 примере,

По теореме Муавра—Лапласа (см. формулу (3.2.3)) эта вероятность приближенно равна

Здесь мы использовали следующее свойство функции Φ( x): Φ(−x) = =1 −Φ( x).

Значение функции распределения стандартного нормального распределения Φ( x) в точке x можно вычислить в EXCEL с помощью функции НОРМСТРАСП. Эта функция имеет один аргумент x. Вызов функции и вычисление ее значения в точке x =1 показаны на рис. 4.4. Это значение приближенно равно 0,841.

Тогда окончательно приближенное (с использованием нормальной аппроксимации) значение искомой вероятности равно 2 ·(1 − − Φ(1)) ≈ 0,32. (Напомним, что точное значение, вычисленное по биномиальному закону, после округления равно 0,26.)

Приближенное значение искомой вероятности, более близкое к точному значению, можно получить, если использовать поправку на

Рис. 4.4. Результат вычисления Φ(1)

= 1 −[Φ(1,125) −Φ(−1,125)] = 2 ·(1 −Φ(1,125)).

Применив ту же самую функцию НОРМСТРАСП, как и выше, вычислим значение этой функции в точке x =1,125. Оно равно 0,8697 (проверьте это!). Тогда искомая вероятность приближенно равна 0,26, т. е. первые две значащие цифры приближенного и точного значения искомой вероятности совпадают.

§ 4. Редкие события

Наблюдениями подмечено, что во многих разнообразных природных явлениях число S тех или иных случайных событий приближенно следует распределению Пуассона (см. § 2 гл. 3). Как примеры можно упомянуть количество (в единицу времени или пространства) телефонных вызовов, землетрясений, животных одного вида, несчастных случаев, выигрышей в лотерею и т. д. О широком распространении распределения Пуассона в природе, технике, социальных явлениях и т. д. можно прочитать в книге [30].

Как на одно из объяснений этого явления можно сослаться на обсуждаемые ниже математические теоремы. Они объясняют это явление с помощью независимых испытаний.

4.1. Теорема Пуассона

Во многих приложениях мы имеем дело с испытаниями Бернулли, в которых вероятность успеха p мала и потому успехи являются редкими событиями. Тем не менее, в длинном ряду испытаний, т. е. при больших n, математическое ожидание числа успехов np (которое мы обозначим через λ, λ = np) оказывается не малым (и не большим). В таких условиях для вычисления вероятностей

P(S = k) = Cnk pk(1 −p)n−k,

где k — целое неотрицательное число, можно использовать приближение, предложенное Пуассоном при больших n:

Как и в других рассматриваемых случаях, дадим этому факту форму предельной теоремы.

Теорема Пуассона. Пусть S — число успехов в n испытаниях Бернулли, p — вероятность успеха в отдельном испытании. Пусть, далее, n →∞, p →0 и np =λ остается постоянным. Тогда

Доказательство. Для доказательства этой теоремы нам понадобится один из так называемых «замечательных пределов» из курса

математического анализа. А именно lim 1 + λ n

n→∞ n

В этой формуле λ может быть любым числом. В частности, λ можно заменить на −λ. Тогда получится формула

lim 1 − λ n = e−λ,

n→∞ n

которая нам и нужна.

Выражение вероятности (4.1.2) события S =k выпишем подробно,

отмечали эти происходящие изменения, когда обсуждали теорему Муавра—Лапласа.

Для объяснения широкой распространенности распределения Пуассона приведенной теоремы, конечно, недостаточно. Например, во многих задачах вероятность успеха может меняться от одного испытания к другому. Не всегда оправдано предположение о независимости отдельных испытаний и т. д. Словом, схема испытаний Бернулли представляет собой лишь простейший частный случай.

Как пример расширения условий при которых возникает распределение Пуассона, приведем теорему фон Мизеса. Она относится к так называемым испытаниям Пуассона: это независимые испытания, в которых вероятность успеха не постоянна. Это более реалистичная модель для успехов и неудач. Пусть pi при i = 1, …, n обозначает вероятность успеха в испытании с номером i; пусть S — суммарное число успехов в n испытаниях. Математическое ожидание случайной величины S обозначим λ. Математическое ожидание успеха в i-м испытании, очевидно, равно pi. Так как S — сумма успехов, а математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, λ = p1 + p2 + … + pn. Предположим, что n велико и что все вероятности успехов малы. Это условие можно сформулировать следующим образом: мала величина α = max( p1, p2, …, pn). Тогда распределение случайной величины S следует (приближенно) распределению Пуассона с параметром λ.

Это утверждение — практическая трактовка следующей теоремы.

Теорема фон Мизеса. Пусть в обозначениях, введенных выше, n →∞, α →0 и λ постоянно. Тогда для каждого k = 0, 1, … имеет место сходимость

P(S = k) → e−λ λk . k!

Доказательство этой теоремы несколько сложнее, чем теоремы Пуассона, и мы его не приводим.

Эта теорема показывает, в каком направлении развивалась мысль о математическом подтверждении наблюдаемой статистической закономерности в поведении редких событий. Более сложных результатов такого рода мы не приводим и далее этой линии не продолжаем.

4.2.Компьютерный практикум

Вэтом пункте приведены примеры использования теоремы Пуассона. Вычисления точных и приближенных вероятностей выполнены

впакете EXCEL.

Рис. 4.5. Вычисленные вероятности числа успехов (столбец A) для биномиального за-

кона (столбец C) и их пуассоновские приближения (столбец B)

4.2.1. Приближенное вычисление биномиальных вероятностей вида P( X =k) и P( X ¶k) с использованием теоремы Пуассона. Рассмотрим на примерах применение теоремы Пуассона.

Пример 4.4.1. В книге 500 страниц и 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно открытой странице 1) окажется одна опечатка? 2) две опечатки? 3) не окажется ни одной опечатки?

Решение. Будем считать, что каждая из 100 опечаток может с равной вероятностью оказаться на любой странице книги. Рассмотрим мысленно испытание, состоящее в том, что данная опечатка попадает на страницу. Вероятность того, что опечатка окажется на открытой странице, равна p =1/500 =0,002. Можно считать, что испытание повторяется 100 раз (по числу опечаток). Имеем схему испытаний Бернулли (n = 100) с вероятностью успеха в одном испытании p =0,002. Эта вероятность мала, а число испытаний достаточно велико. Для вычисления биномиальных вероятностей можно применить теорему Пуассона и приближенно вычислить вероятность P( X ¶k) по формуле (4.1.3). При этом λ=np =0,2. Вызовем функцию ПУАССОН и вычислим искомые вероятности. Результаты вычислений приведены на рис. 4.5.

В таблице (рис. 4.5) для сравнения приведены соответствующие вероятности для биномиального закона (столбец C) и их пуассоновские приближения (столбец B). Из таблицы видно, что пуассоновское приближение достаточно точное.

Пример 4.4.2. Предположим, что некто заключает годовой договор со страховой компанией по некоторому виду страхования. Будем считать, что в году 365 дней, а вероятность наступления страхового

Рис. 4.6. Вычисленные вероятности в примере 2

случая в любой день года одна и та же и равна 0,001. Какова вероятность того, что за год

1)не наступит страхового случая?

2)наступит один страховой случай?

3)два страховых случая?

4)не менее одного страхового случая?

5)хотя бы два страховых случая?

Легко понять, что имеется схема испытаний Бернулли (n = 365) с вероятностью успеха в одном испытании p =0,001. Вероятность малая, число испытаний большое. Для вычисления искомых вероятностей можно использовать пуассоновское приближение с λ=np =0,365. Для вычисления первых двух вероятностей вызовем функцию ПУАССОН, третьим параметром которой является 0 (вычисляются вероятности событий ( X = k)). Для вычисления вероятностей из п. 4 и 5 нужно перейти к дополнительному событию: P( X ¾k) =1 −P( X <k) = =1 −P( X ¶(k −1)) и применить функцию ПУАССОН, третьим параметром которой является 1 (вычисляются вероятности событий ( X ¶k)). Результаты вычислений приведены на рис. 4.6.

В этой таблице (рис. 4.6) в столбце A записаны числа страховых случаев k, в столбцах B и C — вероятности этих страховых случаев, вычисленные по биномиальному распределению (столбец C) и по пуассоновскому приближению (столбец B). В столбцах E и F записаны пуассоновские приближения и биномиальные вероятности событий ( X ¾k) соответственно. И в этом примере пуассоновское приближение хорошее.

Рекомендуемая литература для дальнейшего чтения

Наша книга содержит лишь начальные, самые необходимые сведения по теории вероятностей. Читателям, желающим углубить и расширить свои знания в этой области, есть что почитать еще. По теории вероятностей (и ее продолжению, математической статистике) написано много книг разного характера и уровня математической сложности. Чтобы облегчить выбор, мы даем короткий список книг с небольшими комментариями. Мы выбрали примечательные, но очень различающиеся по характеру книги.

Книги по теории вероятностей и математической статистике

1.Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. 5-е изд., стереотип. СПб.: Лань, 2005. 256 с.

Учебное пособие лаконично и внятно излагает основы теории вероятностей. В книге дано систематическое изложение основных разделов элементарного курса теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров и задач из разных областей знаний. Книга может служить хорошим «математическим конспектом» этой науки.

2.Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т. 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Юнити-Дана, 2001. 656 с.

В этой книге дано подробное, углубленное изложение теории вероятностей и математической статистики в объеме, необходимом для дальнейшего изучения эконометрических дисциплин. Книга прежде всего рекомендуется для экономических специальностей.

3.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения:

В2 т. / Пер. с англ. Т. 1. М.: Мир, 1984. 528 с.

По нашему мнению, это одна из лучших книг по теории вероятностей. Это классический учебник, по которому выучились многие поколения специалистов.

Первый том содержит изложение той части теории вероятностей, которая имеет дело с дискретными распределениями. Такой отбор материала позволяет автору ввести читателя в круг основных идей теории вероятностей без применения сложного аналитического аппарата.

Автор не стремится изложить теорию побыстрее. В книге масса интересных примеров, частных случаев и приложений. «Вероятностный смысл» задачи или явления для автора всегда является самым главным. Рекомендуемый первый том математически несложен.

4. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей: Учеб. пособие для высш. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2008. 368 с.

Это книга для студентов инженерно-физических специальностей

схорошим уровнем математической подготовки.

Вучебном пособии излагается основное математическое содержание теории вероятностей и даются разнообразные примеры ее применения. В книге обсуждаются также основные приемы статистической обработки наблюдений. Понятия меры и интеграла Лебега в книге не используются. Предполагается знание курса математического анализа, включая функции нескольких переменных, и основ линейной алгебры.

Математическая статистика является непосредственным продолжением теории вероятностей. Нередко в одном учебнике соединяют обе эти науки. Такие книги есть и в нашем списке выше. К сожалению, на русском языке мало книг, посвященных специально математической статистике и при этом не слишком сложных математически. Из таких книг мы рекомендуем следующие.

1. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере: Учебное пособие. 4-е изд. перераб. М.: ИД «ФОРУМ», 2008. — 368 с.

Вучебном пособии без лишнего формализма изложены основные идеи и понятия математической статистики, необходимые на практике для анализа данных. На примерах подробно рассмотрены важнейшие постановки статистических задач и методы их решения, включая расчеты на компьютере в пакете SPSS.

2. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. 2-е изд. доп. М.: Высшая школа, 1992. 304 с.

Эта книга заметно более сложная и более теоретическая, чем предыдущая. Для ее чтения требуется математическая подготовка на уровне хорошего технического вуза. В ней на современном научном уровне изложены основные разделы статистической теории. Главное внимание уделено исследованию вопросов оптимальности соответствующих статистических процедур и использованию асимптотических методов теории вероятностей.

Мы рекомендуем эту книгу, несмотря на то что она издана давно, потому что это хорошая книга.

Понятие случайности и теория вероятностей как способ обсуждения случайности являются либо основой, либо важной частью многих

наук: статистических, экономических, медицинских, инженерных и других. Для нескольких таких «вероятностных» наук мы укажем книги, которые рекомендуем читать как продолжение и расширение нашего «Курса».

Книги по эконометрике

Эконометрика как одно из научных направлений экономической науки приобрело сейчас большую популярность. Ее преподают во многих вузах. По этому предмету в последнее время появилось много различных учебников. Из них мы выбрали несколько, разного уровня сложности.

1.Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник / Пер. c англ. 2-е изд. М.: ИНФРА-М, 2004. 432 с.

Автор представляет свою книгу как учебник для вводного годового курса эконометрики на уровне бакалавриата, предназначая ее для людей, не вполне уверенно чувствующих себя по окончании предшествующих математических курсов. Вместе с тем, в книге обсуждаются практически все базовые идеи и методы эконометрики, на которых строятся научные исследования и более продвинутые учебные курсы.

2.Айвазян С. А. Основы эконометрики // Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов в 2 т. 2-е изд. испр. Т. 2. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 432 с.

Эта книга является учебником для вводного годового курса эконометрики на уровне бакалавриата, в котором большое внимание уделено изложению теоретических вопросов. Соответственно, от читателя требуется определенная математическая подготовка, в частности владение матричной алгеброй.

3.Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. 8 изд., испр. М.: Дело, 2007. 504 с.

Этот учебник содержит систематическое изложение основ эконометрики. Книга написана на основе лекций, которые авторы в течение ряда лет читали в Российской экономической школе и Высшей школе экономики. Учебник построен по современным западным стандартам и требует от читателя хорошей математической подготовки.

Книги по страхованию

В страховании различают два направления деятельности: страхование жизни и страхование имущества. При общей вероятностной основе эти направления весьма отличаются друг от друга по кругу