tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1
.pdfЮ. Н. Тюрин, А. А. Макаров, Г. И. Симонова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебник для экономических и гуманитарных специальностей
Рекомендовано УМО по образованию в области экономики, менеджмента, логистики и бизнес-информатики в качестве учебного пособия для студентов высший учебных заведений, обучающихся по направлениям 080100 «Экономика» и 080500 «Менеджмент»
Москва Издательство МЦНМО 2009
УДК 519.2 ББК 22.17
T98
Рецензенты:
Д.ф.-м. н., профессор С. А. Айвазян (МШЭ МГУ им. М. В. Ломоносова)
К.ф.-м. н., профессор Г.Г.Канторович (ГУ-ВШЭ)
Д.ф.-м. н., профессор П. В. Семенов (МГПУ)
Д.ф.-м. н., профессор В. Н. Тутубалин (МГУ им. М. В. Ломоносова)
Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Симонова Г. И.
T98 Теория вероятностей: учебник для экономических и гуманитарных специальностей. — М.: МЦНМО, 2009.— 256 с.
ISBN 978-5-94057-540-5
Настоящий учебник предназначен для студентов социально-экономиче- ских, управленческих и гуманитарных специальностей. В нем подробно без лишнего математического формализма, изложены основы теории вероятностей, приведены примеры их использования на практике: в статистике, экономике, социологии, менеджменте, психологии и т. д. Для лучшего усвоения материала книга снабжена простыми упражнениями и компьютерным практиком в EXCEL.
УДК 519.2
Тюрин Юрий Николаевич Макаров Алексей Алексеевич Симонова Галина Ивановна
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: УЧЕБНИК ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ГУМАНИТАРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Подписано в печать 27.07.2009 г. Формат 60 ×90 |
1/16. Бумага офсетная № 1. |
|
Печать офсетная. Печ. л. 16. Тираж 3000 |
экз. Заказ № |
. |
Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.
Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького. 197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (499) 241–72–85. E-mail: biblio@mccme.ru
|
© Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, |
|
Г. И. Симонова, 2009. |
ISBN 978-5-94057-540-5 |
© МЦНМО, 2009. |
Оглавление |
|
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
Глава 1. Основы теории вероятностей |
|
§ 1. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
1.1. Пространства элементарных событий . . . . . . . . . . . . . |
10 |
1.2. События и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
1.3. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
1.4. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
§ 2. Вероятности случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
2.1. Вероятности в непрерывных пространствах . . . . . . . . |
30 |
2.2. Вероятности в дискретных пространствах . . . . . . . . . |
41 |
2.3. Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
2.4. Объективная (частотная) и субъективная (персональ- |
|
ная) вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
2.5. Зачем знать вероятности событий? . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
2.6. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
52 |
2.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
59 |
§ 3. Независимые события. Условные вероятности . . . . . . . . . |
60 |
3.1. Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
60 |
3.2. Испытания Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
3.3. Независимые эксперименты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
68 |
3.4. Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
3.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . |
77 |
3.6. Выбор из конечной совокупности (продолжение) . . . . |
79 |
3.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
82 |
Глава 2. Случайные величины |
|
§ 1. Случайные величины и их распределения . . . . . . . . . . . . |
84 |
1.1. Случайные эксперименты и случайные величины . . . . . |
84 |
1.2. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
1.3. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
1.4. Функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
§ 2. Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . |
102 |
2.1. Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
102 |
2.2. Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
107 |
§ 3. Несколько случайных величин. Независимые случайные ве- |
|
личины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
112 |
4 |
Оглавление |
|
|
3.1. Совместные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2. Числовые характеристики совместных распределений . 117 3.3. Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4. Коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.5. Примеры совместных распределений . . . . . . . . . . . . . 123
Глава 3. Некоторые важные распределения вероятностей
§ 1. Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
126 |
1.1. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . |
126 |
1.2. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
136 |
1.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
146 |
§ 2. Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
148 |
2.1. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . |
148 |
2.2. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
156 |
2.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
160 |
§ 3. Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
161 |
3.1. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . |
161 |
3.2. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
169 |
3.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
173 |
§ 4. Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
173 |
4.1. Определения и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . |
174 |
4.2. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
185 |
§ 5. Многомерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . . |
195 |
5.1. Случайные векторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . |
196 |
5.2.Гауссовские (нормально распределенные) векторы . . . 198
5.3.Моменты и плотности многомерных нормальных рас-
пределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.4. Двумерное нормальное распределение . . . . . . . . . . . 201
Глава 4. Предельные законы теориивероятностей |
|
§ 1. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
206 |
1.1. Измерение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
206 |
1.2. Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
210 |
1.3. Вероятностный предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
211 |
1.4. Замечание о связи частоты и вероятности . . . . . . . . . |
212 |
1.5. Неравенство Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
214 |
1.6. Доказательство теоремы Бернулли . . . . . . . . . . . . . . |
216 |
1.7. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
216 |
1.8. Правило усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
218 |
1.9. Закон больших чисел. Продолжение . . . . . . . . . . . . . . |
219 |
§ 2. Закон больших чисел и статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . |
221 |
Оглавление |
5 |
|
|
2.1. Выборочная функция распределения . . . . . . . . . . . . . 222 2.2. Выборочная функция распределения и оценивание . . . 226 § 3. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.1. Теорема Муавра—Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.2. Приближенные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 3.3. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . 230 3.4. Планирование выборочного обследования . . . . . . . . . 233 3.5. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 3.6. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 4. Редкие события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.1. Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 4.2. Компьютерный практикум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Рекомендуемая литература для дальнейшего чтения . . . . . . . . 248 Таблица стандартного нормального распределения . . . . . . . . . 253 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Предисловие
Настоящий учебник по теории вероятностей предназначен для студентов гуманитарных и экономических специальностей. Он отражает наш опыт преподавания теории вероятностей и математической статистики студентам различных факультетов МГУ (Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова), ГУ-ВШЭ (Государственный университет — Высшая школа экономики), МШЭ (Московская школа экономики) и других вузов.
Книга представляет читателю основные понятия и факты теории вероятностей в объеме, необходимом для понимания последующих учебных дисциплин и курсов, в которых присутствует концепция случайности. В первую очередь это статистические дисциплины, но не только. Идея случайности, случайной изменчивости существенна для многих наук, прежде всего в тех их разделах, где речь идет о сборе, интерпретации и обобщении данных наблюдений и опытов.
Теория вероятностей представлена в учебнике как естественная наука. Это значит, что основную ценность в ней составляют выработанные понятия и связи между ними, а не математический формализм их описания и представления. И хотя теорию вероятностей нельзя изложить иначе, как на языке математики, мы старались обходить математические сложности. В книге использованы лишь простые средства математического анализа (интегралы и ряды). Мы приводим лишь несложные математические доказательства. При обсуждении технически сложных вопросов (таких как центральная предельная теорема) мы прибегаем к объяснениям, обсуждениям, подтверждающим примерам и вычислениям, но не к математическим доказательствам.
Особенностью книги является и то, что многие темы сопровождаются компьютерными практикумами в пакете EXCEL. Такие практикумы стали уже традиционными в учебной литературе по математической и прикладной статистике, но в учебниках по теории вероятностей пока отсутствуют. Современные компьютерные средства, на наш взгляд, довольно заметно меняют расстановку акцентов в преподавании ряда традиционных разделов теории вероятностей. Там, где ранее требовались специальные математические усилия для расчетов, теперь их выполняют компьютерные программы. Мы не раз обращаем на это внимание в книге. Точно так же общедоступные компью-
Предисловие |
7 |
|
|
терные программы практически полностью заменяют традиционные таблицы распределений теории вероятностей и математической статистики.
Пакет EXCEL выбран нами как самый доступный для всех пользователей. Это не самое удобное средство для вероятностных расчетов и моделирования. В специализированных пакетах AutoCAD, MATHCAD, Mathematica, SPSS, STATISTICA и др. представлены значительно более мощные и удобные возможности и функции для решения подобных задач.
Как еще одну особенность книги отметим, что мы не уделяем большого внимания комбинаторике и комбинаторным задачам. Это отчасти связано с тем, что теория вероятностей вместе с необходимыми понятиями комбинаторики стала составной частью школьной программы; см. [27]. Но более серьезна та причина, что эти вопросы
всовременной теории вероятностей не занимают большого места. Изучение азартных игр, с которых века назад началась теория вероятностей, сейчас во всей области интересов и приложений этой науки составляют ничтожную часть.
Окончательную форму предлагаемый курс теории вероятностей принял благодаря нашему продолжительному сотрудничеству с ГУВШЭ и МШЭ МГУ. Мы приносим глубокую благодарность заведующему кафедрой математической экономики и эконометрики, проректору ГУ-ВШЭ профессору Г. Г. Канторовичу и заведующему кафедрой эконометрики и математических методов экономики МШЭ МГУ профессору, заслуженному деятелю науки С. А. Айвазяну. Они же дали благожелательные отзывы об этой книге. Мы глубоко признательны нашим уважаемым рецензентам, которые не только одобрили книжку
вцелом, но и указали нам на ряд наших промахов и упущений. Мы, как смогли, учли все их замечания. Мы также глубоко признательны нашим коллегам по этим кафедрам и всем тем, кто на разных стадиях принимал участие в обсуждении и подготовке материала книги. Мы благодарим наших рецензентов: заведующего кафедрой математического анализа и методики его преподавания МГПУ, доктора физико-математических наук, профессору П. В. Семёнова и доктора физико-математических наук, заслуженного профессора МГУ им. М. В. Ломоносова В. Н. Тутубалина.
Структура книги
Материал учебника разбит на четыре главы.
Первая глава посвящена началам теории вероятностей: описанию случайного эксперимента, операциям с событиями, различным спосо-
8 |
Предисловие |
|
|
бам задания вероятностей, правилам вычисления вероятностей событий. Здесь же вводятся понятия независимости событий и условной вероятности, рассматриваются формулы полной вероятности и Байеса. Особое внимание в главе уделено вопросам выбора из конечной совокупности, схеме испытаний Бернулли и их взаимосвязи.
Во второй главе вводится понятие случайной величины и ее различных характеристик: функции распределения, математического ожидания, дисперсии, медианы, квантилей и т. п. Рассматриваются многомерные и, в частности, двумерные случайные величины и их характеристики.
Третья глава книги посвящена наиболее важным одномерным вероятностным распределениям: распределениям Бернулли, Пуассона, показательному и нормальному. Также в ней приводятся необходимые сведения о многомерном распределении и его частном случае — двумерном нормальном распределении. Кроме технических подробностей, много внимания уделено использованию этих распределений на практике.
Вчетвертой главе рассматриваются предельные закономерности теории вероятностей: теорема Бернулли, закон больших чисел, теорема Муавра—Лапласа, центральная предельная теорема и теорема Пуассона. В ней также рассмотрены вопросы использования этих результатов в статистической практике.
Каждая глава учебника разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. После большинства пунктов следуют простые упражнения, помогающие закрепить изложенный материал. Ряд пунктов также снабжен компьютерным практикумом. В конце каждого параграфа представлен небольшой список задач. Однако книга не стремится заменить существующие задачники по теории вероятностей.
Вконце книги приведена краткая таблица стандартного нормального распределения, вполне достаточная для учебных целей, а также список рекомендуемой литературы для дальнейшего чтения.
Обозначения
Теория вероятностей оперирует различными объектами: элементарными исходами экспериментов, случайными событиями, их вероятностями, случайными величинами и их значениями, функциями распределения, математическими ожиданиями и т. д. Для обозначения всех этих разнотипных объектов приходится прибегать к соглашениям в обозначениях, которые в разных книгах, к сожалению, не совпадают. Мы старались использовать наиболее доступную и общепринятую в мире форму записи.
Предисловие |
9 |
|
|
Элементарные исходы эксперимента (элементарные события) обозначаются греческой буквой ω.
Случайные события обозначаются начальными заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д.
Вероятности событий обозначаются P(ω), если речь идет о вероятности элементарного события, или P( A), если это вероятность события.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y , Z, а их возможные значения — малыми буквами x, y, z. (Мы отступаем от этого правила, когда речь идет о случайных векторах и случайных матрицах.)
Неслучайные константы обозначаются малыми начальными буквами латинского алфавита: a, b, c и т. д.
Математическое ожидание случайной величины (случайного вектора) X обозначается EX или E( X), а дисперсия (ковариационная матрица для случайного вектора) — DX.
Глава 1
Основы теории вероятностей
§1. Случайные события
Вэтом параграфе мы введем понятие случайного эксперимента
иего возможных исходов — элементарных событий. Для произвольных событий, объединяющих элементарные, будет рассказано о наиболее распространенных операциях с ними: объединении, пересечении, отрицании и др. В компьютерном практикуме рассмотрены процедуры генерации наступления случайных событий и отбора из массива тех наблюдений, которые удовлетворяют заданным условиям.
1.1.Пространства элементарных событий
Неопределенные положения (действия с неопределенным результатом). В нашей частной жизни, в жизни общества, в природе много неопределенного. Можно сказать, что неопределенности нас окружают. Сохранит ли он/она работу в течение года? (Оптимистический вариант: получит ли он/она повышение в течение этого времени?) Когда сломается стиральная машина? Если я куплю 10 лотерейных билетов, то выиграет ли хотя бы один? На сколько процентов повысятся цены в наступающем году? Будет ли следующее лето сухим и жарким? Сколько землетрясений (наводнений, ураганов и т. п.) следует ожидать на территории страны (Европы, Средней Азии, Сибири и т. д.) в будущем году? И так далее, и тому подобное. Вы можете пополнить этот список тем, что Вас интересует.
На такие вопросы нельзя дать безошибочный ответ. Нужно ждать, когда неопределенная ситуация разрешится. Но очень хочется, а порой и очень нужно ответ предсказать, пусть и не с полной точностью и определенностью. Полезной будет и просто количественная оценка шансов тех или иных исходов. Например, подобные оценки и расчеты необходимы в любом инвестиционном проекте, когда речь идет о строительстве, разведке и освоении нового месторождения или выпуске новой продукции. Во всех подобных случаях люди вынуждены делать расчеты и выводы в ситуации неопределенности. В неопределенности будущего спроса и цен, в неопределенности экономических