tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

Поэтому для этих случайных величин составлены специальные таблицы значений функций распределения. С помощью этих таблиц легко вычислить вероятности попадания случайных величин в те или иные интервалы значений, используя выражение (1.4.1). В последнее время многие компьютерные программы включают в себя вычисление значений функций распределений наиболее распространенных случайных величин. Как это делает EXCEL, будет рассказано в гл. 3.

Упражнения

Для следующих случайных величин постройте графики их функций распределения вероятностей.

1.Случайная величина X — число орлов при трех подбрасываниях правильной монеты.

2.Правильную игральную кость бросают дважды. Случайная величина X — наибольшее число очков, выпавшее за два броска.

3.Случайный эксперимент заключается в случайном выборе точки внутри круга радиуса R (предполагается, раз речь идет о случайном выборе, что вероятность попасть в любую замкнутую область круга пропорциональна площади этой области). Определим случайную величину X как расстояние от выбранной точки до центра круга. Найдите функцию распределения этой случайной величины.

4.Пусть X — число орлов при 30 подбрасываниях правильной мо-

неты. Выпишите в виде суммы отдельных слагаемых значение FX (10). Оцените, какие вычислительные усилия требуются для нахождения значения FX (10). Возрастут ли эти усилия при вычислении FX (15)?

5.Пусть X — число орлов при 30 подбрасываниях правильной монеты. В таблице 2.5 приведены некоторые значения функции распределения этой случайной величины с точностью до четырех значащих цифр после запятой.

Найдите вероятности следующих событий:

а) P( X >23). Можно ли считать это событие маловероятным?

б) P(9 < X ¶20). Можно ли считать это событие практически достоверным?

в) P(13 < X ¶17).

6. Двое играют в следующую игру. Правильная монета подбрасывается 30 раз. Если при этом число выпавших орлов больше 13, но

меньше 18, выигрывает первый, в противном случае — второй. Одинаковы ли у игроков шансы на выигрыш? (Используйте данные из таблицы 2.5.)

С помощью функции распределения F( x) непрерывной случайной величины X выразите вероятности следующих событий.

7. P( X >a).

8.P(|X|<b).

9.P(|X|>b).

§2. Числовые характеристики случайных величин

Выше мы выяснили, что любая случайная величина порождает функцию распределения. Эта функция удобна для вычисления вероятностей различных событий, но одновременно может быть довольно громоздка, так как для практических целей часто возникает необходимость знать ее значения во многих точках. Поэтому, наряду с подробными описаниями функций распределения, стремятся охарактеризовать случайную величину всего несколькими числами. Эти числовые характеристики функций распределения одновременно дают представление и о поведении случайной величины, и их также называют числовыми характеристиками случайных величин.

Наиболее часто употребляемыми характеристиками случайной величины (и соответствующего распределения вероятностей) служат моменты и квантили. Ниже мы их определим, но надо сделать оговорку: универсальные (пригодные для любых случайных величин) определения этих характеристик требуют более сложного математического аппарата, чем тот, который мы используем в этой книге. Поэтому этих общих определений мы приводить не будем. Вместо этого мы дадим более простые определения для дискретных и для непрерывных случайных величин отдельно.

2.1. Математическое ожидание

Начнем с так называемого первого центрального момента случайной величины X, называемого также математическим ожиданием или средним значением X. Его обозначают через MX или EX. В этой книге мы будем использовать обозначение EX. Символ E в обозначении математического ожидания EX происходит от английского слова expectation, означающего ожидание. Первоначально термин математическое ожидание был введен для определения ожидаемого (среднего) выигрыша в многократно повторяемой игре. В дальнейшем оказа-

Как говорилось выше, приведенные определения EX не являются исчерпывающими, поскольку пригодны не для всех видов случайных величин. Общее определение математического ожидания выглядит следующим образом:

Z

EX = x dFX ( x),

где FX ( x) — функция распределения вероятностей, порожденного случайной величиной X. Приведенные выше формулы для дискретного и непрерывного распределений являются частными случаями этого выражения. Мы не будем пользоваться общим определением,

ипотому не будем разъяснять, как понимать и вычислять такие интегралы.

Заметим, что существуют распределения вероятностей без математического ожидания. С такими случайными величинами иногда приходится сталкиваться на практике. Простой пример — «игра в орлянку», где двое поочередно бросают правильную монету. Если выпадает герб, выигрывает игрок A, если решка — игрок B. Неожиданная (на первый взгляд) черта этой игры состоит в том, что в выигрыше практически постоянно находится один игрок. Впрочем, с вероятностью 1 когда-нибудь наступит и момент ничьей. Так вот, случайное время (число партий) до наступления первого ничейного момента не имеет математического ожидания. Математическое ожидание этой случайной величины бесконечно.

Можно дать и более формальный пример: пусть случайная величина X принимает значения 11 , 22, …, nn, … с вероятностями 2−1 , 2−2

ит. д. Эта случайная величина не имеет математического ожидания.

2.1.2.Свойства математического ожидания. Перечислим с пояснениями, но без детального доказательства основные свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной. Постоянную величину можно рассматривать как вырожденный случай дискретной случайной величины, т. е. как случайную величину, которая принимает лишь одно значение с вероятностью единица. Ясно, что никакой случайности при этом не наблюдается. Указанное свойство вытекает прямо из определения математического ожидания. Его упоминают потому, что случайные величины на практике часто приходится преобразовывать, и надо уметь вычислять математические ожидания преобразованных случайных величин.

чайной величины X. Тогда EX равно разности площадей, заключенных между осью ординат, прямой y =1 и кривой y =F( x) в интервале (0, +∞), и между осью абсцисс, кривой y = F( x) и осью ординат в промежутке (−∞, 0) (см. рис. 2.7). Это правило позволяет во многих случаях находить математическое ожидание почти без вычислений, используя различные свойства функции распределения.

Упражнения

1.Во многих детских играх для передвижения по игровому полю используется игральная кость. Фишка передвигается на число полей, равное числу очков, выпавшему на игральной кости. На сколько полей в среднем продвинется один игрок за десять ходов? Другими словами, чему равно математическое ожидание суммы числа очков при десятикратном бросании игральной кости?

2.Случайные величины X и Y имеют равномерное распределение вероятностей на отрезке [0, 1]. Вычислите математическое ожидание случайной величины X +Y . Найдите плотность распределения веро-

ятности X +Y . (Эта задача является непрерывным аналогом задачи о математическом ожидании числа очков, выпавших при одном

идвух бросках игральной кости. Заметим, что если найти плотность распределения суммы двух равномерно распределенных случайных величин относительно просто, то переход к сумме трех, четырех

ит. д. подобных случайных величин поиск плотности усложняет. Однако благодаря свойствам математического ожидания вычисление математического ожидания суммы нескольких равномерно распределенных случайных величин остается простой задачей.)

2.2. Дисперсия

Кроме среднего значения случайной величины, которое в определенном смысле характеризует центр распределения вероятностей, представляет интерес и разброс случайной величины относительно этого центра. Для характеристики (количественного описания) данного разброса в теории вероятностей используют второй центральный момент случайной величины. В русскоязычной литературе его называют дисперсией и обычно обозначают DX. В англоязычной литературе используется термин вариация, и дисперсию обозначают

Var( X).

Определение 2.2.1. Дисперсией DX случайной величины X называется величина

Дисперсия, так же как и математическое ожидание, существует не для всех случайных величин (не для всех распределений вероятностей).

Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в определении дисперсии, можно преобразовать, воспользовавшись свойствами математического ожидания:

DX = E( X −EX)2 = E( X2 −2 XEX +(EX)2) = EX2 −(EX)2. (2.2.2)

Формулу (2.2.2) удобнее использовать для вычисления дисперсии случайных величин в практических задачах.

Пример 1. Пусть X — число выпавших очков при бросании одной игральной кости. Дисперсия этой случайной величины может быть легко рассчитана по формуле (2.2.2). Для этого надо вычислить математическое ожидание случайной величины X2 . Эта случайная величина может принимать значения 1, 4, 9, 16, 25, 36 с одинаковой вероятностью 1/6 для каждого из них. Следовательно,

EX2 = 16 (1 +4 +9 +16 +25 +36) = 916 ≈ 15,17,

DX = EX2 −(EX)2 = 916 −(3,5)2 = 2 1112 ≈ 2,92.

Пример 2. Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b], равняется

Если необходимо, чтобы показатель разброса случайной величины выражался в тех же единицах, что и значение этой случайной величины, то вместо DX используют величину pDX , которая называется

средним квадратическим отклонением, или стандартным отклонением случайной величины X.

2.2.1. Свойства дисперсии. Из свойств дисперсии отметим следующие:

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.Для любой неслучайной постоянной a выполняется равенство

D( X +a) = D( X), D(aX) = a2 D( X).

Упражнения

Для следующих случайных величин вычислите их математическое ожидание и дисперсию.

1.Случайная величина X может принимать только два значения: 1 и 0 с вероятностями p и q =1 −p соответственно (0 < p <1).

2.Случайная величина X — число орлов при двух подбрасываниях правильной монеты.

3.Правильную игральную кость бросают дважды. Случайная величина X — наибольшее число очков, выпавшее за два броска.

4.Случайная величина X имеет симметричную плотность распределения вероятностей p(t), т. е. для любого t справедливо равенство p(t) = p(−t). Докажите, что EX =0.

5.Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение вероятностей, т. е. плотность распределения вероятностей этой случайной величины есть

p(t) = p1 e−t22 .

2π

Вычислите EX.

2.2.2. Моменты. Кроме первого и второго моментов при описании случайных величин иногда используются и другие моменты: третий, четвертый и т. д. Мы дадим их определения отдельно для дискретных и для непрерывных случайных величин.

−∞

Чтобы приведенные формулы имели смысл, требуется, чтобы суммы и интегралы сходились абсолютно. Так же как математическое ожидание и дисперсия, моменты существуют не у всех случайных величин.

2.2.3. Асимметрия и эксцесс. В отличие от обычных моментов, центральные моменты не меняются при прибавлении к случайной величине постоянного слагаемого, т. е. они не зависят от выбора начала отсчета в шкале измерения случайной величины. Но от выбранной единицы измерения зависимость остается: если, скажем, случайную величину начать измерять не в метрах, а в сантиметрах, то значения центральных моментов также изменятся. Иногда это бывает неудобно. В таких случаях, чтобы устранить подобное влияние,

моменты тем или иным способом нормируют, например, деля их на соответствующую степень среднего квадратического отклонения. В результате получается безразмерная величина, не зависящая от выбора начала отсчета и единиц измерения исходной случайной величины.

Чаще всего из нормированных моментов используются коэффициенты асимметрии и эксцесса — соответственно третий и четвертый нормированные центральные моменты. Для случайной величины X:

коэффициент асимметрии = E( X −EX )3 ,

(DX )3/2

E( X −EX )4

коэффициент эксцесса = 2 −3.

(DX )

При расчете коэффициента эксцесса тройку вычитают для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения оказался равным 0. (Об этом важном распределении см. далее в гл. 3.)

Принято считать, что коэффициент асимметрии в какой-то степени характеризует несимметричность распределения случайной величины, а коэффициент эксцесса — степень выраженности «хвостов» распределения, т. е. частоту появления удаленных от среднего значений. Иногда значения коэффициентов асимметрии и эксцесса используют для проверки гипотезы о том, что наблюденные данные (выборка) принадлежат заданному семейству распределений, например нормальному.

2.2.4. Квантили. Для случайных величин, принимающих значения на числовой прямой, часто используются такие характеристики, как квантили.

Определение 2.2.3. Квантилью xp случайной величины, имеющей функцию распределения F( x), называется решение xp уравнения

F( x) = p.

Напомним, что по определению F( x) =P( X ¶x), т. е. для нахождения квантили надо решить уравнение

P( X ¶ xp) = p

относительно неизвестного xp. Таким образом, квантилью случайной величины называется такое значение xp, что вероятность не превысить его равна p.

Величину xp часто называют p-квантилью или квантилью уровня p распределения F( x). Среди квантилей чаще всего используются медиана и квартили распределения.

Медианой называется квантиль, соответствующая значению p =0,5, т. е. медиана x0,5 — это такая точка распределения случайной величины, что последняя с одинаковой вероятностью принимает б´ольшие и меньшие значения, чем x0,5 .