tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1
.pdf§ 1. Случайные события |
11 |
|
|
иполитических рисков и т. д. Понимая это, люди пытаются, по возможности, учесть эту неопределенность, предусмотреть ее в своих планах.
Издавна в неопределенных ситуациях люди обращались к шаманам, жрецам, оракулам, ясновидящим и т. п., прибегали к различным видам гаданий, бросали специальные кости, рассматривали внутренности жертвенных животных, кофейную гущу и т. п. При этом считалось, что высшие силы, провидение управляют процессом гадания
имогут подсказать требуемые ответы и разрешить неопределенность. Отчасти эти процедуры существуют и поныне, однако из массовой практики они давно ушли. Некоторая неопределенность присуща
иповедению самих людей в повседневной жизни. В схожих ситуациях один и тот же человек может поступать по-разному, может получать различные результаты. Мы можем задать вопросы: «Сколько попыток нужно предусмотреть в соревнованиях по прыжкам в длину, чтобы более объективно выявить сильнейшего?», «Сколько заданий надо включить в тест проверки знаний, чтобы его результаты давали объективное представление?». Поэтому, изучая свойства, способности, квалификацию людей, необходимо учитывать неопределенность.
Для обсуждения описанных положений и действий с неопределенными исходами наука выработала некоторые полезные идеи, понятия
итермины.
Определение 1.1.1. Действия (ситуации) с неопределенным исходом называют случайным экспериментом.
Это название не надо понимать буквально. Иногда действие (опыт) и в самом деле производит какое-то активное лицо (или механизм). Например, подбрасывание монеты или извлечение шаров с цифрами для назначения выигрышных номеров — в лотерее. Часто такого лица нет, если речь идет о сроке службы изделия или годовом показателе инфляции. Тогда говорят, что эксперимент проводит «природа».
Пространства элементарных событий (исходов). Описание случайного эксперимента начнем с пространства элементарных событий. Представим себе мысленно, перебором в уме, все способы (исходы), которыми этот эксперимент может завершиться. Мы говорим сейчас только о таких окончаниях опыта, которые не состоят из более простых исходов, т. е. об исходах неделимых, элементарных.
Вместо слова исход часто используют и другой термин: событие. Дело в том, что в теории вероятностей нас часто будет интересовать не отдельный элементарный исход, а некоторая их совокупность. Такие совокупности принято называть просто событиями. Отдельный элементарный исход тоже событие, событие элементарное.
12 |
Глава 1. Основы теории вероятностей |
|
|
Определение 1.1.2. Совокупность всех элементарных исходов данного случайного эксперимента называют пространством его элементарных исходов.
Различные случайные эксперименты приводят к разным типам пространств элементарных исходов. В одних экспериментах число всех элементарных исходов может быть конечно, в других — бесконечно, но счетно, в третьих в качестве пространства элементарных исходов может выступать вся числовая ось, полуось или интервал. В более сложных ситуациях пространство элементарных исходов может быть областью, или всей двумерной плоскостью, или даже n-мерным пространством. Возможны и другие типы пространств элементарных исходов, но мы их касаться не будем.
Рассмотрим несколько примеров.
Начнем с самых простых случайных экспериментов. Рассмотрим опыт с подбрасыванием монеты. Предположим, что монета будет брошена четыре раза. При каждом бросании монета может выпасть либо гербом — тогда пишем г, либо решкой — и тогда пишем р. Результат четырех последовательных бросаний может быть, например, таким: гррр, либо гргр, либо ггрр и т. д. Ясно, что всего различных элементарных исходов в этом опыте 24 =16. Каждый элементарный исход — это четырехбуквенное «слово» в «алфавите» из двух букв г и р. Эти 16 «слов» (последовательностей длины 4 из символов г и р) и составляют в этом опыте пространство элементарных исходов. Если мы решим подбросить монетку n раз (n — натуральное число), пространство элементарных исходов составит 2n слов длины n, для написания которых использованы только буквы г и р.
В ряде случаев, подобно разобранному примеру, пространства элементарных исходов описываются довольно просто. Часто для их описания полезны формулы комбинаторики. Другие примеры пространств элементарных исходов см. в упражнениях к п. 1.1 и задачах
к§ 1.
Вопыте с подбрасыванием монеты нас могут интересовать не только отдельные элементарные исходы или события. Например, событие «герб и решка выпали по два раза» состоит из шести элементарных исходов: ггрр, гргр, гррг, рргг, ргрг, рггр; исход «герб выпал не менее трех раз» составляют пять элементарных исходов: гггг, гггр, ггрг, гргг, рггг; и т. д. На формальном языке можно сказать, что события — это подмножества в пространстве элементарных исходов.
Заметим, что выше мы обсуждали не столько реальный, физический опыт с подбрасыванием монеты, сколько его математическую идеализацию. Материальный опыт может оканчиваться не только
§ 1. Случайные события |
13 |
|
|
так, как было сказано. Например, какая-то из монет может потеряться, закатиться под диван или упасть в какую-нибудь ямку; опыт может быть прерван на середине и т. д. Поэтому случайный эксперимент и его пространство элементарных исходов (пространство элементарных событий) — это математический образ реального мира (математическая модель, как сейчас выражаются), сохраняющий лишь те черты действительности, которые представляются существенными. Соответствие между математической моделью и реальностью здесь примерно такое же, как между треугольниками и прямыми в геометрии и треугольными участками земли в огороде или в поле и их прямолинейными границами.
Пространства элементарных исходов, подобные рассмотренному выше, возникают во многих областях деятельности. Так, результат ответов на часть вопросов единого государственного экзамена по математике можно записать в виде «слова», использующего две буквы п и н. При этом п означает правильный ответ, а н — неправильный. Точно так же можно записать результат выборочного контроля n изделий «словом» из n букв г и н. При этом г соответствует годному изделию, а н — негодному. Результат стрельбы спортсмена-биатлони- ста на огневом рубеже тоже может быть записан пятибуквенным (по числу мишеней) «словом» из двух букв. Одна из этих букв будет означать разбитую мишень, а другая — неразбитую. В социологических опросах часто пытаются узнать, поддерживает ли респондент то или иное решение или нет. Здесь также пространство элементарных исходов можно записать в виде «слова», в котором будут использоваться только две буквы. Длина этого слова будет равна числу опрошенных. Другими словами, изучение пространства элементарных исходов, возникающего при бросании монетки, оказывается полезным в самых разных областях деятельности. В частности, к подобным пространствам, как мы узнаем ниже, приводит схема испытаний Бернулли.
Рассмотрим теперь другой случайный эксперимент: срок службы определенного изделия. Упоминалась стиральная машина, срок службы которой надо, вероятно, исчислять в часах работы. Можно говорить о сроке службы автомобильной покрышки. Видимо, ее срок службы надо измерять уже не в часах, а в километрах пробега. Политолога может заинтересовать вопрос, сколько лет понадобится странам Европейского Союза, чтобы унифицировать свои налоговые системы, и т. д.
Ясно, что упомянутое в каждом случае «время ожидания» (какоголибо события, например, поломки, отказа, принятия решения и т. д.) может быть только положительным числом. По-видимому, для каждо-
14 |
Глава 1. Основы теории вероятностей |
|
|
го реального срока службы можно заранее указать его ограничение сверху. Скажем, никакая стиральная машина или холодильник не прослужат сто лет. Очень правдоподобно, что они не прослужат и пятидесяти лет. Но двадцать пять лет холодильник прослужить может, так же как стиральная машина — десять. Где же провести границу? Чтобы не создавать себе подобных трудностей уже на этом этапе, предпочитают говорить, что срок службы (время ожидания)
вподобных экспериментах может быть любым неотрицательным числом. А неосуществимость слишком больших длительностей обеспечивают, назначая им ничтожно малые (практически нулевые) вероятности. Но об этом речь пойдет ниже, когда мы будем говорить о вероятностях и их распределениях. Таким образом, для перечисленных выше примеров сроков службы в качестве пространства элементарных исходов можно рассматривать все неотрицательные числа. Это пространство содержит уже бесконечное и несчетное число элементарных исходов.
Часто в одном опыте бывает необходимо следить за несколькими показателями одновременно. Например, при индивидуальном пошиве одежды закройщик измеряет (снимает мерку) нескольких характеристик человеческой фигуры. Готовую одежду, чтобы она хорошо сидела, тоже надо подбирать по нескольким (двум, трем или даже больше) указанным на вещи размерам. (Обычно это рост, периметр поперечного сечения груди или талии и т. д.) В таком случайном опыте, как измерения описанным образом наудачу взятого человека, пространством элементарных исходов будет числовая плоскость, если этих размеров 2; трехмерное числовое пространство, если их 3, и т. д. Вновь, как и выше, можно было бы ограничить себя какой-то областью указанных пространств, задав некоторые минимальные и максимальные значения по каждому измеряемому параметру. Но так как указать правильные границы такой области невозможно, этого обычно и не делают. Вместо этого практически невозможным комбинациям измерений (далеким частям упомянутых пространств) придают исчезающе малые (практически нулевые) вероятности. Событием
втаком опыте может быть, например, пятидесятый размер пиджака у наудачу выбранного человека. Это означает, что его индивидуальные размеры, упомянутые выше, попадают в определенные диапазоны «от — до».
Рассмотрим еще один важный пример случайного эксперимента.
Выбор из конечной совокупности. Этот случайный эксперимент составляет основу выборочного метода. К выборочному методу обра-
§ 1. Случайные события |
15 |
|
|
щаются, когда надо обследовать какую-либо совокупность объектов или изделий, но сплошной их контроль невозможен или нецелесообразен по каким-то причинам, например из-за многочисленности обследуемой совокупности или потому, что в процессе контроля изделие портится или уничтожается. (Чтобы проверить качество артиллерийского снаряда, им надо выстрелить.) Ввиду практической важности выборочного метода мы будем обсуждать его многократно, рассматривая его свойства по мере изложения вероятностной теории.
Обозначим через N общее число объектов в интересующей нас совокупности. Ее также называют генеральной совокупностью, популяцией и т. п. (В разных областях приложений бывают употребительны разные названия.) Предположим, что для последующего индивидуального исследования мы решили отобрать n объектов (индивидов). Эту отобранную группу называют выборкой, число n — ее объемом. Принципы и правила, по которым производится выбор и образуется выборка, мы будем обсуждать позже. А сейчас поговорим о пространстве элементарных исходов. Сделаем это на каком-нибудь простом примере.
Предположим, что генеральная совокупность составляет N =5 различных объектов. Обозначим их А, Б, В, Г, Д. (Порядок их перечисления здесь не имеет значения.) Допустим, что мы решили выбрать 2 элемента, так что n = 2. Перечислим (в алфавитном порядке) все возможные элементарные исходы: А и Б, А и В, А и Г, А и Д, Б и В,
Б и Г, Б и Д, В и Г, В и Д, Г и Д. Всего C52 =10 различных исходов. При выборе n элементов из N число таких элементарных исходов равно
CNn . При сколь-нибудь значительных N и n это число очень велико. Можно говорить не только об элементарных, но и о других событи-
ях, связанных с этим опытом. Например, о таком событии: элемент А оказался выбранным. Это событие составляют элементарные исходы
Аи Б, А и В, А и Г, А и Д — всего 4. Допустим теперь, что объекты обладают каким-либо качеством. Скажем, объекты А и Г — «красные», а остальные — «зеленые». Вот из каких элементарных событий состоит событие «среди избранных элементов есть красные»: А и Б, А и В,
Аи Г, А и Д, Б и Г, В и Г, Г и Д. Не вошедшие в этот перечень элементарные события составляют событие «Все выбранные элементы — зеленые».
Пространства элементарных исходов могут быть и более сложными. Рассмотрим, например, такой случайный эксперимент: монету бросаем до появления герба. Вот элементарные исходы (по порядку указываем исходы бросания): г, рг, ррг, … , р … рг, … Здесь число элементарных исходов бесконечно (но счетно).
16 |
Глава 1. Основы теории вероятностей |
|
|
Упражнения
Опишите пространство элементарных исходов и укажите их общее число в следующих случайных экспериментах.
1.Стандартную игральную кость подбрасывают два раза подряд.
2.В партии из 5 деталей 2 детали бракованные. Из партии наугад, по очереди выбирают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные.
3.Билет на экзамене включает 3 из 20 контрольных вопросов по курсу. Сколько несовпадающих (хотя бы частично) билетов может составить экзаменатор? Сколько полностью несовпадающих билетов может составить экзаменатор?
4.Спортивное состязание проводится до 3 побед в 5 партиях (без ничьих).
Предложите математическую модель для описания пространства элементарных исходов в следующих случайных экспериментах, регулярно происходящих в жизни.
5.Поставщик услуг ежедневно фиксирует число поступивших заказов.
6.Страховая компания ежедневно фиксирует число страховых случаев по полисам ОСАГО (обязательного страхования автогражданской ответственности).
7.Инвестиционный портфель состоит (для простоты) из двух ценных бумаг. Ежедневно фиксируется биржевая стоимость каждой из этих бумаг на момент закрытия биржи.
8.Человек садится на пустую скамейку в сквере. Как описать его положение на скамейке?
9.Опытный стрелок стреляет в тире по круглой мишени. Выпишите элементарные исходы, составляющие указанные ниже
события A в различных случайных экспериментах.
10.Стандартную игральную кость подбрасывают два раза подряд. событие A заключается в том, что сумма очков, выпавшая в первом
ивтором броске, не превышает 4.
11.В условиях задачи 2 событие A заключается в том, что число выбранных деталей превышает 3.
12.В условиях задачи 4 событие A заключается в том, что в матче будет сыграно ровно 4 партии.
Укажите множества элементарных исходов, составляющие указанные ниже события A в различных случайных экспериментах.
13.В условиях задачи 7 событие A заключается в том, что завтра цены на обе ценные бумаги повысятся.
§ 1. Случайные события |
17 |
|
|
14.В условиях задачи 7 событие A заключается в том, что завтра цены хотя бы на одну из ценных бумаг повысятся.
15.В условиях задачи 8 событие A заключается в том, что человек сядет ближе к центру, чем к краю.
16.В условиях задачи 9 событие A заключается в том, что стрелок попал в девятку.
1.2. События и действия с ними
Мы уже приводили некоторые примеры событий и говорили, что события состоят из элементарных событий. Поэтому события — это подмножества в пространстве элементарных исходов (элементарных событий). События часто имеют форму высказываний, которые описывают свойства элементарных исходов. (Событие образуют элементарные исходы, обладающие этими свойствами.) Действия с событиями — это то же самое, что логические действия с высказываниями. В этом пункте мы рассмотрим наиболее употребительные действия с событиями (высказываниями), но прежде введем некоторые обозначения.
Пусть Ω (читается — омега большое) обозначает все пространство элементарных исходов определенного случайного эксперимента. Пусть ω (читается — омега малое)1 обозначает произвольное элементарное событие из Ω. (Мы будем образно говорить иногда, что ω — произвольная точка пространства Ω.) Пусть A, B, C, … обозначают произвольные события, т. е. подмножества из Ω. Принадлежность точки ω множеству A будем обозначать так: ω A. Если множество A является частью (подмножеством) множества B, будем обозначать это так: A B.
События (и действия с ними) удобно изображать символически, в виде фигур на листе бумаги, как это показано ниже, на рис. 1.1—1.4. На этих рисунках выделенный прямоугольник изображает все пространство элементарных событий (исходов) Ω, а круги и их комбинации (объединения, пересечения и дополнения) — события. Такие рисунки иногда называют диаграммами Эйлера или Эйлера—Венна. Три наиболее употребительные операции над событиями (высказываниями) носят названия пересечения, объединения, дополнения (или отрицания).
1 Буквы греческого алфавита Ω и ω традиционно используются в учебной литературе для обозначения всего пространства элементарных исходов и отдельного исхода, для того чтобы подчеркнуть, что они совсем не обязаны быть числами.
18 |
Глава 1. Основы теории вероятностей |
|
|
Определение 1.2.1. Пересечением событий A и B называют событие, элементарные исходы которого одновременно принадлежат как A, так и B.
Для обозначения пересечения событий A и B используется выражение A ∩B (читается: «A и B» или «пересечение A и B»). Символически определение 1.2.1 можно записать так:
A ∩B = {ω: ω A и ω B}.
Поясним эту формальную запись. В правой части выражения указано, что пересечение событий A и B включает в себя те элементарные исходы ω, которые одновременно соответствуют и событию A, и событию B. Знак равенства в данном случае означает, что события в правой и левой частях равенства состоят из одних и тех же элементарных исходов, т. е. совпадают.
Пересечение A и B на рис. 1.1 выделено штриховкой.
Рис. 1.1. Пересечение событий A и B
Определение 1.2.2. События A и B называются непересекающимися, если они не имеют общих элементов.
Рис. 1.2. Непересекающиеся события A и B
Непересекающиеся события не могут в эксперименте произойти одновременно. Поэтому их еще называют несовместными.
Символически пересечение несовместных событий записывают
так:
A ∩B = .
§ 1. Случайные события |
19 |
|
|
Здесь — знак «пустого события», или события, в котором нет ни одного элементарного исхода. Такое «событие» полезно ввести, поскольку не всегда можно сказать заранее, будет ли результат цепочки операций над событиями содержать какие-то элементарные исходы или нет. Пустое событие примерно так же полезно, как и число нуль, изображающее отсутствующее количество.
Определение 1.2.3. Объединением событий A и B называют такое событие, элементарные исходы которого принадлежат либо событию A, либо событию B, либо тому и другому одновременно.
Для обозначения объединения событий A и B используют запись A B (читается: «A или B», «объединение A и B»). Символически определение можно записать так:
A B = ω: ω A или ω B
Объединение событий A и B на рис. 1.3 выделено штриховкой.
Рис. 1.3. Объединение событий A и B |
Определение 1.2.4. Дополнением (отрицанием) события A называют множество всех элементарных исходов из Ω, которые не принадлежат A.
Для обозначения дополнения (отрицания) A употребляют обозначения A¯ (читается: «отрицание A», «дополнение A» или «A с чертой»).
Рис. 1.4. Дополнение (отрицание) события A
20 |
Глава 1. Основы теории вероятностей |
|
|
Символически определение можно записать так:
A¯¯ = {ω: ω / A}.
Дополнение события A на рис. 1.4 выделено штриховкой.
Упражнения
1.Стандартную игральную кость подбрасывают один раз. событие A — выпавшее число очков кратно 2, событие B — выпавшее число очков кратно 3. Найдите A B, A ∩B и A¯¯.
2.Монету подбросили 3 раза. событие A — решка выпала только один раз. Событие B — выпало не менее одного герба. Найдите A B,
A ∩B и A¯¯.
3.Игральную кость подбросили 2 раза. событие A — при каждом броске выпало четное число очков, событие B — в сумме на двух костях выпало не менее 7 очков. Найдите A B, A ∩B и A¯¯.
Докажите (привлекая для иллюстрации диаграммы Эйлера), что
4.A A = A, A ∩A = A, A A¯¯=Ω, A ∩A¯¯= .
5.A ∩B =B ∩A.
6.A ∩(B C) =( A ∩B) ( A ∩C).
7.A B = A¯¯∩¯B.
8.Запишите символически (используя операции с событиями), что из двух событий A и B произошло только A.
9.Запишите символически (используя операции с событиями) событие, состоящее в том, что из трех событий A, B, C произошли ровно два.
10.Социологи, психологи, политологи, медики часто интересуются сочетанием у обследуемых тех или иных характеристик. Пусть нас интересуют только две характеристики. Обозначим их через A и B. Скажем, характеристика A обозначает мужской пол, а характеристика B — наличие высшего образования.
Сформулируйте словами, кто составляет следующие подмножества обследуемых:
а) A ∩¯B¯;
б) A¯¯∩B;
в) A B.
Запишите, используя операции пересечения, объединения и дополнения следующие подмножества обследуемых:
а) женщины без высшего образования; б) женщины с высшим образованием и мужчины без высшего об-
разования; в) мужчины и женщины без высшего образования.