tjurin_teorija_verojatn_978-5-94057-540-5_1

Это равенство доказывает независимость событий A и B (как событий составного опыта).

Важный пример независимых испытаний (испытаний Бернулли) будет рассмотрен в следующем разделе.

Для непрерывных пространств U и V, распределения вероятностей на которых заданы с помощью функций плотности, в идейном плане все происходит аналогично. Пусть p1(u) теперь обозначает плотность вероятностей на множестве U, u U, p2(v) обозначает плотность вероятностей на множестве V, v V. Распределение вероятностей на Ω можно задать с помощью функции плотности p(ω), где ω=(u, v) Ω.

Для независимых экспериментов полагают по определению, что плотность вероятности p(u, v) на Ω есть

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Равномерное распределение на прямоугольнике. Пусть пространства элементарных событий двух опытов — отрезки U и V (как на рис. 1.31). Пространство элементарных событий составного опыта — это прямоугольник со сторонами U и V (рис. 1.31). Пусть вероятности на U и V распределены равномерно. Это значит, что плотность p1 (u) постоянна при u U, плотность p2(v) постоянна при v V. Предположим, что упомянутые случайные опыты независимы. Тогда согласно (3.3.4) функция плотности на этом прямоугольнике тоже постоянна — как произведение двух постоянных. Вне прямоугольника плотность равна 0. Следовательно, распределение вероятностей в составном опыте тоже оказывается равномерным.

Пример 2. Стандартное двумерное нормальное распределение.

была упомянута в п. 2.1. Это распределение возникает при совместном проведении двух независимых опытов, в каждом из которых плотность распределения стандартная нормальная:

Перемножение этих плотностей согласно правилу (3.3.4) дает двумерную плотность (3.3.5).

Заметим, что в непрерывном случае вероятности событий A, B и A ∩B должны вычисляться по определению как двойные интегралы от функции плотности p(u, v) по соответствующей области в пространстве Ω. Однако с учетом вида тех областей в пространстве Ω,

которые соответствуют этим событиям (схематически эти области приведены на рис. 1.32—1.34), и выражения (3.3.4) для совместной плотности p(u, v) указанные двойные интегралы сведутся к произведению однократных.

Упражнения

1.Случайный эксперимент заключается в подбрасывании одной монеты. Его повторяют дважды. Можем ли мы считать эти эксперименты независимыми?

2.Случайный эксперимент заключается в выяснении роста случайно выбранного человека. Влияет ли результат этого эксперимента на результат выяснения роста у другого случайно выбранного человека? Можно ли считать эти эксперименты независимыми?

3.В первом случайном эксперименте выясняется рост случайно выбранного человека, а во втором — вес того же человека. Можно ли считать эти эксперименты независимыми?

4.Рассмотрим психологический тест, состоящий из двух вопросов, по-разному спрашивающих об одном и том же. Результатом первого случайного эксперимента будем считать ответ случайно выбранного человека на первый вопрос, результатом второго эксперимента — ответ того же человека на второй вопрос. Можно ли считать эти эксперименты независимыми?

5.В электоральном опросе выясняют, за кого будут голосовать два случайно выбранных избирателя. Можно ли считать опрос каждого из них независимым экспериментом?

6.Рассмотрим биржевые торги двумя ценными бумагами. Результатом первого случайного эксперимента будем считать цену в данный момент на первую бумагу, а результатом второго — цену на вторую бумагу. При каких условиях эти два эксперимента можно считать независимыми? (Ответ на этот вопрос для различных пар ценных бумаг весьма важен на практике. Эта информация обычно закладывается в основу формирования портфеля ценных бумаг.) Как вы думаете, являются ли независимыми цены на акции двух нефтяных компаний из одной и той же страны?

3.4. Условная вероятность

Так называют вероятность в одном особом виде случайного эксперимента, который получается при наложении на случайный эксперимент специальных условий. Рассмотрим произвольный случайный эксперимент. Сохраним для его элементов принятые обозначения:

ω— произвольный случайный исход, Ω— совокупность (пространство) всех элементарных исходов, A — произвольное событие, P( A) — его вероятность. Пусть B — некоторое событие.

Будем считать, что случайный эксперимент состоялся, если он закончился элементарным исходом, входящим в событие B. Проще говоря, результат опыта засчитываем только в том случае, когда происходит событие B. Это соглашение означает, что мы рассматриваем новый случайный эксперимент. В нем событие B выступает в качестве всего нового пространства элементарных исходов. Спрашивается, какое значение при этом условии (т. е. в новом эксперименте) следует приписать в качестве вероятности событию A? Обозначать подобную условную вероятность будем P( A |B). Словесных формул для этого символа много, и они довольно свободны. Говорят об условной вероятности события A при условии, что произошло событие B; об условной вероятности A при условии B; об условной вероятности A при B; о вероятности A при условии B и т. д. Подчеркнем, что вертикальная черта в формуле P( A |B) не означает деления.

Иногда (для ясности) вероятности на исходном пространстве Ω снабжают эпитетом «безусловные», но, строго говоря, это прибавление излишне.

Дискретный случай. Рассмотрим для начала дискретные пространства элементарных исходов. В этом случае вероятности событий можно определить через вероятности элементарных исходов. Поэтому сейчас для определения условной вероятности достаточно определить условные вероятности элементарных исходов.

Действительно, если P(ω|B) — условная вероятность элементарного исхода ω при условии B, то, следуя соотношению (2.2.5), надо

Определим P(ω|B) — условную вероятность элементарного исхода ω при условии B. Прежде всего ясно, что в нашем условном эксперименте элементарный исход ω из Ω появиться не может, если ω не входит в B. Поэтому для таких исходов условная вероятность равна 0:

Остается определить P(ω|B) для тех исходов ω, которые входят в B. Для этого заметим, что ограничение основного эксперимента условием B хоть и изменяет эксперимент и вероятности элементарных исходов, не изменяет соотношения этих вероятностей: если ω1 и ω2

Пример 1. В наудачу выбранной семье двое детей, один из которых — мальчик. Какова при этом вероятность того, что и другой ребенок — мальчик?

Прежде всего эту задачу надо сформулировать в математическом виде. По традиции многие задачи в теории вероятностей высказываются на обиходном, естественном языке и требуют перевода на язык математики. При этом часто приходится вносить и уточнения, и дополнительные предположения, следуя традициям такого перевода. Отсюда порой могут возникать недоразумения; как правило, они связаны с различными дополнительными предположениями.

Вданном случае надо предположить, что рождение мальчика или рождение девочки — это случайные события и что пол первого ребенка не влияет на пол второго. Предполагают также, что вероятность рождений мальчика и девочки одинакова и, следовательно, равна 0,5. (Последнее предположение не вполне соответствует наблюдениям: по статистике частота рождения мальчиков примерно 0,51. Условие равенства вероятностей не является необходимым: задача может быть решена для любых вероятностей.) При этих предположениях получаем следующую математическую формулировку задачи, считая рождение мальчика «успехом».

Вдвух испытаниях Бернулли, где вероятности «успеха» и «неудачи» одинаковы, произошел по крайней мере один «успех». Какова при этом условии вероятность того, что «успехов» было два?

Решение. Пусть A — событие «успех в обоих испытаниях», B — событие «в двух испытаниях хотя бы один успех». Через элементарные события «уу», «ун», «ну», «нн» события A и B выражаются так:

A =«уу», B =«уу» «ун» «ну». Видно, что A B и что P( A) = 14 , P(B) = 34 . Условную вероятность P( A |B), т. е. вероятность того, что

оба ребенка — мальчики, при условии, что один ребенок — точно мальчик, вычисляем согласно (3.4.4):

P( A | B) = P(PA(∩B)B) = PP((BA)) = 13 .

Рассмотрим похожую задачу. В семье двое детей, младший из которых — мальчик. Какова при этом вероятность того, что и старший ребенок — мальчик?

Из разъяснений, данных для предыдущей задачи, ответ вытекает сразу: эта условная вероятность равна 1/2.

Умножение вероятностей. Соотношение (3.4.4) можно записать в виде

В таком виде его называют теоремой об умножении вероятностей. Поскольку в формулу P( A ∩ B) события A и B входят равноправно, таким же путем получаем, что

P( A ∩B) = P(B | A)P( A).

Эту формулу можно обобщить на случай нескольких (больше двух) событий. Например,

P( A ∩B ∩C) = P( A | B ∩C)P(B ∩C) = P( A | B ∩C)P(B | C)P(C).

Свойства условных вероятностей. Так как условные вероятности — это обычные вероятности, но в измененном (условном) эксперименте, для них справедливы все свойства и формулы вероятностей. Например, для событий A1 и A2 имеем

P( A1 A2 | B) = P( A1 | B) +P( A2 | B) −P( A1 ∩A2 | B);

если же события A1 и A2 не пересекаются (т. е. являются несовместными), то

P( A1 A2 | B) = P( A1 | B) +P( A2 | B)

и т. д.

Условная вероятность и независимость. С помощью условных вероятностей можно по-новому взглянуть на независимость событий, которую мы обсуждали в п. 3.1. Естественно признать, что событие A не зависит от события B, если его условная вероятность при B (при условии, что произошло событие B) не отличается от безусловной: событие A не зависит от события B, если

Раскрывая с помощью определения (3.4.4) левую часть, получим, что

P( A ∩B)

P(B) = P( A),

или

Это равенство ранее (п. 3.1) было положено в определение независимости (стохастической независимости) событий. Мы видим, что взгляд на независимость событий, выраженный формулой (3.4.6), приводит к тому же условию независимости, что и принятый ранее.

Заметим, что из теоремы умножения вероятностей и формулы независимости (3.4.7) следует, что в этом случае верно не только соотношение (3.4.6), но и равенство

Следовательно, независимость A от B влечет и независимость B от A, т. е. независимость событий взаимна.

Упражнения

1.Стандартную игральную кость подбрасывают один раза. Какова вероятность того, что на ней выпало четное число очков, если известно, что на ней выпало больше 3 очков?

2.Монету подбросили 3 раза. событие A — решка выпала толь-

ко один раз. Событие B — выпало не менее одного герба. Найдите

P( A |B).

3.Игральную кость подбросили 2 раза. событие A — при каждом броске выпало четное число очков, событие B — в сумме на двух костях выпало не менее 7 очков. Найти а) P( A |B); б) P(B |A).

4.Страховой компании известно, что в некоторой стране для мужчин вероятность дожить до 40 лет равна 0,8, а до 60 — 0,5. Какова вероятность для мужчины дожить до 60 лет, если известно, что он уже дожил до 40?

3.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Несколько важных формул возникают тогда, когда пространство элементарных исходов оказывается разбитым на несколько попарно несовместных событий; назовем их H1 , H2, …, Hn. По условию

Ω= H1 H2 … Hn

идля любых таких i, j =1, …, n, что i 6= j,

Hi ∩Hj = .

Совокупность H1, H2, …, Hn называют полной группой несовместных событий. Иногда в подобном контексте термин «события» заменяют термином «гипотезы», т. е. предположения. Отсюда идет традиция обозначения этих событий буквами H1 , H2 , …, Hn. (С буквы H начинается английское слово hypothesis — гипотеза.)

Поясним, как возникают подобные разбиения, на примере типовой практической задачи. В социологическом опросе, когда у опрашиваемых выясняется их пол, возраст, образование, социальное положение и место проживания, каждая из этих характеристик может задавать разбиение пространства элементарных исходов (в данном случае всех возможных способов заполнения анкеты) на попарно несовместные события, скажем на анкеты, заполненные мужчинами, и анкеты, заполненные женщинами. Это пример разбиения на два несовмест-

ных события. А разбиение по признаку образования уже дает пример разбиения на большее число подмножеств.

Формула полной вероятности. Пусть A — произвольное событие. событие A может произойти вместе с каким-либо одним и только одним из событий H1, H2, …, Hn. Поэтому

A = A ∩Ω = ( A ∩H1) ( A ∩H2) … ( A ∩Hn).

Поскольку события A ∩ H1 , A ∩H2 , …, A ∩ Hn попарно несовместны, так как попарно несовместны H1 , H2, …, Hn, согласно формуле сложения вероятностей имеем

P( A) = P( A ∩H1) +P( A ∩H2 ) +… +P( A ∩Hn).

Применяя к каждому событию A ∩Hi теорему умножения (3.4.5), получим для P( A) формулу

P( A) = P( A | H1)P(H1) +P( A | H2)P(H2) +… +P( A | Hn)P(Hn). (3.5.1)

Эту формулу называют формулой полной вероятности. Она бывает полезна тогда, когда по каким-либо конкретным причинам оказываются известны (либо легко вычисляются) условные вероятности P( A |Hi) и вероятности P(Hi) событий из полной группы.

Формула Байеса. Вычислим теперь условные вероятности событий Hi при условии, что произошло событие A, т. е. вероятности

Применяя к числителю этого отношения теорему умножения (3.4.5), а к знаменателю — формулу полной вероятности (3.5.1), получаем

Эту формулу сейчас называют формулой Бейеса (в более старом написании — Байеса). В XVIII— XIX веках она играла важную идейную роль. События H1, H2, …, Hn тогда толковали как гипотезы, а их вероятности P(H1), P(H2), …, P(Hn) называли априорными, т. е. доопытными вероятностями. Формула (3.5.2) в таком случае указывает для каждой гипотезы ее апостериорную вероятность, т. е. вероятность после опыта, в котором зафиксировано событие A. Сейчас роль формулы Бейеса в теории вероятностей невелика. Однако в математической статистике так называемый байесовский подход существует как отдельное направление.

Упражнения

1.Вероятность получить отличную оценку по математике у студента, получившего отличную оценку по иностранному языку, равна 0,8, а у студентов, получивших более низкие оценки по иностранному языку, — 0,4. Известно, что отличные оценки по иностранному языку получает четверть студентов. Какова вероятность получить отличную оценку по математике?

2.Витрина магазина оформлена таким образом, что вероятность зайти в магазин для мужчины равна 0,6, а для женщины — 0,4. В то же время вероятность совершить покупку у зашедшего в магазин мужчины равна 0,2, а у зашедшей женщины — 0,7. Какова вероятность того, что зашедший в магазин покупатель совершит покупку? Правильно ли, на ваш взгляд, оформлена витрина магазина?

3.Вероятность того, что женщина на выборах проголосует за определенную партию, равна 0,7. Вероятность того, что за эту же партию проголосует мужчина, — 0,5. Доля женщин среди приходящих на выборы составляет 60%. На какой процент голосов избирателей претендует данная партия?

4.Риэлтер считает, что вероятность выгодно продать квартиру

втечение месяца при условии экономического роста в стране равна 0,8, а в ситуации экономического спада — 0,2. Вероятность экономического роста равна 0,7. Какова вероятность выгодно продать квартиру в течение месяца?

3.6. Выбор из конечной совокупности (продолжение)

Вернемся к обсуждению простого случайного выбора из конечной совокупности, который мы начали обсуждать в п. 1.1, 2.2, 3.2. Случайный выбор n объектов из генеральной совокупности N объектов будем представлять себе как выбор без возвращения одного за другим n элементов. Какова при таком выборе вероятность того, что при k-м выборе (k =1, 2, …) будет выбран элемент со свойством A?

Сформулируем нашу задачу, используя традиционные для теории вероятностей шары и урны. Заодно покажем, что за подобными условными формулировками стоят реальные проблемы.

Задача. В урне N шаров, из них M белых и N −M черных. В остальном шары одинаковы. Шары наудачу, один за другим, извлекают из урны (без возвращения). Найдем ответ на два вопроса.

1.Какова вероятность того, что второй извлеченный шар окажется белым?

2.Какова вероятность того, что k-й извлеченный шар окажется белым?