ИГ_Лагерь
.pdfпоказан комплексный чертеж профильно проецирующей плоскости (i|11| #3, у аЛ; Л е а).
Плоскости уровня отличаются тем, что на плоскости проекций, им перпендикулярную, они проецируются в прямую линию, на которой располагаются точки, прямые и фигуры, расположенные в плоскости уровня. Эти прямые являются вырожденными проекциями заданной плоскости. На плоскость проекций, параллельную заданной плоскости, все изображения этой плоскости проецируются без искажений, т. е. в натуральную величину.
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться. Параллельными будут плоскости, если одна из них задана пересекающимися прямыми, параллельными пересекающимся, задающим вторую плоскость; на рис. 91 показаны парал-
лельные плоскости: Zi(ab) и |
(cd), причем а || с, a b || d. |
|
Если плоскости пересекаются, то линия |
их пересече- |
|
ния — прямая. Плоскости, |
перпендикулярные |
между собой, |
представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями составляет 90°. Построение линий пересечения плоскостей рассматривается в гл. 10 (§ 62).
§48. Особые линии в плоскости
Кособым линиям в плоскости можно отнести линии, параллельные плоскости проекций. Их называют линиями уровня.
Линию, принадлежащую плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью плоскости (рис. 92, а). Построение горизонтали всегда начинают с ее фронтальной проекции:
Р и с. 92
h(AxY) е 9(ABC)-, h2 е Аг, h2 ± А2АХ; h2 п В2С2 = 12; l2lx || А2АХ, l2l\ п ВХСХ = /,; Ai п k = hx.
Линию, принадлежащую плоскости и параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталъю плоскости (рис. 92, б). Построение фронтали начинают с горизонтальной проекции:
Д/U) е X (DEF); Fi е/ь / , 1 FXF2, / , n DXEX = 1,; 1,121| FXF2, ljl2 п Г^Ег = 12; Ь n F2 =/2.
Рассматривая особые линии в плоскостях частного положения, можно убедиться, что соответствующие линии уровня в этом случае будут и проецирующими.
На рис. 92, в показана горизонталь h фронтально проецирующей плоскости Е. В данном случае она будет также фронтальной проецирующей прямой, т. е. h Э 2ь I J . П2.
§ 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости
Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рис. 93 показана плоскость Z(at>). Прямая / принадлежит плоскости I, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.
Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости. На рис. 93 прямая т || так как она параллельна прямой /, принадлежащей этой плоскости.
6 - 4 0 6 0 |
81 |
Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в § 61.
Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рис. 94 показан комплексный чертеж плоскости I, заданной двумя параллельными прямыми / и и. В плоскости расположена линия т. Точка А лежит в плоскости I, так как она лежит на прямой т. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.
§50. Коническая и цилиндрическая поверхности
Кконическим относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей / по криволинейной направляющей т. Особенностью образования конической поверхности является то, что при этом одна точка образующей всегда неподвижна. Эта точка является вершиной конической поверхности (рис. 95, а). Определитель конической поверхности включает вершину S и направляющую т, при этом /' е S; /' п т.
Кцилиндрическим относятся поверхности, образованные прямой образующей /, перемещающейся по криволинейной направляющей т параллельно заданному направлению S (рис. 95, б). Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как ча-
82
стный случай конической поверхности с бесконечно удаленной вершиной S.
Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей т и направления S, образующих /, при этом /'|| S; Г с\ т.
Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность называют проецирующей. На рис. 95, в показана фронтально проецирующая цилиндрическая поверхность.
На цилиндрической и конической поверхностях заданные точки строят с помощью образующих, проходящих через них. Линии на поверхностях, например линия а на рис. 95, в или горизонтали h на рис. 95, а, б, строятся с помощью отдельных точек, принадлежащих этим линиям.
6* |
83 |
§51. Торсовые поверхности
Торсовой называется поверхность, образованная прямолинейной образующей /, касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называемой ребром возврата (рис. 96, а, б). Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмической частью служит указание касательности образующих к ребру возврата.
Коническая поверхность является частным случаем торса, у которого ребро возврата т выродилось в точку S — вершину конической поверхности. Цилиндрическая поверхность — частный случай торса, у которого ребро возврата — точка в бесконечности.
§52. Гранные поверхности
Кгранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей / по ломаной направляющей т. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).
Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей т и крайними относительно него положениями образующей I) и ребро (линия пересечения смежных граней).
Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие, и направляющие: Г э S; In т.
Определитель призматической поверхности, кроме направляющей т, содержит направление S, которому параллельны все образующие I поверхности: /|| S; In т.
Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр — куб (рис. 99, а), тетраэдр — правильный четырехугольник (рис. 99,
[рань
Ребро
Р и с. 97 |
Р и с. 98 |
б), октаэдр — многогранник, (рис. 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.
Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольник с общей вершиной S.
На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).
Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольников, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.
При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.
Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей
S-5.
§53. Винтовые поверхности
Квинтовым относятся поверхности, создаваемые при винтовом движении прямолинейной образующей. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами.
Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей / по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси /; при этом образующая I пересекает винтовую ось под прямым углом (рис. 102, а). Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.
Наклонный геликоид образуется движением образующей по винтовой направляющей т и ее оси i так, что образующая I пересекает ось i под постоянным углом ф, отличным от прямого, т. е. в любом положении образующая / параллельна одной из образующих направляющего конуса с углом при вершине, равным 2ф (рис. 102, б). Наклонные геликоиды ограничивают поверхности витков резьбы.
Рис. 102
§54. Поверхности вращения
Кповерхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии / вокруг прямой /, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую / и ось L Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении любой кривой вокруг оси / (рис. 103).
Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности, если / 1 П\. В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.
|
Кривые поверхности вращения, |
||||
|
образующиеся в результате пересе- |
||||
|
чения |
поверхности |
плоскостями, |
||
|
проходящими через ось вращения, |
||||
|
называются меридианами. Все мери- |
||||
|
дианы одной поверхности конгру- |
||||
|
энтны. Фронтальный меридиан на- |
||||
|
зывают |
главным |
меридианом; он |
||
|
определяет фронтальный очерк по- |
||||
|
верхности |
вращения. |
Профильный |
||
|
меридиан |
определяет |
профильный |
||
Р и с . 103 |
очерк поверхности |
вращения. |
|||
Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели А4.
Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.
Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой / вокруг пересекающейся с ней прямой — оси / (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей / и параллели Л. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.
Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой / вокруг параллельной ей оси / (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.
Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка А на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f , точка В — экватору Л, а точка М построена на вспомогательной параллели И'.
88
Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (или кольцо) (рис. 105, б).
Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) — вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) — вращением гиперболы вокруг действительной оси.
В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр,необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет — цилиндр будет наклонным.
Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси враще-