ИГ_Лагерь

Р и с . 134

ния. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 134 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов.

Вспомогательная сфера-посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения.

Если оси поверхностей пересекаются, то вспомогательные сферы проводят из одного центра-точки пересечения осей. Линию пересечения поверхностей в этом случае строят способом вспомогательных концентрических сфер.

При построении линии пересечения поверхностей Для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:

1) пересечение поверхностей вращения;

2) оси поверхностей — пересекающиеся прямые — параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;

3) нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях.

Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 135 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоско-

Р и с . 135

сти уровня Ф(Ф0 осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости

#2 или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели Л1, лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г2), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П\. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы. Вспомогательные горизонтально или фронтально проецирующие плоскости, проведенные через вершину одной из поверхностей, будут пересекать их по образующим и эллипсам.

В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке

максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (/?тах = ОгВ2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности Л2) и пересекающей другую (по окружности h) .

Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h\ п h]=E2(F2); Е2Ех || Л2Л1; E2El п Л,2 = Ей F2FX п h\ = Fx.

Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности по окружностям А4 и А5, в пересечении которых находятся точки М и N:

А24 п А25 = M2(N2); М2Мг || Л2Лг, M2MX п h{ = Ми N2Nx <л hi = Nx.

Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.

§ 67. Особые случаи построения линии пересечения двух поверхностей вращения

При построении линии пересечения поверхностей вращения — конуса и цилиндра — могут быть различные случаи. На рис. 136 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае (рис. 136, а) цилиндр врезается в конус, потому что, если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором (рис. 136, б) конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра.

В третьем (рис. 136, в) сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности, и в пересечении участвуют все образующие и цилиндра и конуса. В этом случае пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые (эллипсы).

Р и с . 139

ружностями, совпадающими с вырожденной проекцией вертикального цилиндра, на горизонтальной плоскости проекций. Это положение широко используется при изображении пересекающихся труб или отверстий одного диаметра (рис. 138).

В конструкциях технических деталей часто при пересечении поверхностей вращения используют сопрягающую поверхность, которая осуществляет плавный переход от одной поверхности к другой (рис. 139, а, б, в).

Чтобы не строить две близко расположенные линии пересечения сопрягающей поверхности с основными поверхностями, на чертеже проводят условно одну линию, выполняя ее тонкой сплошной линией. Эту линию и называют линией перехода. Линия перехода заканчивается в точках пересечения очерковых линий основных поверхностей (рис. 139, а) и заменяется более простыми (циркульными) кривыми.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Какие задачи называются позиционными?

2.Какова последовательность решения задач на пересечение на комплексом чертеже?

3.Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения горизонтальной плоскостью уровня?

4.Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения фронтально проецирующей плоскостью?

5.По какой линии пересекаются две фронтально проецирующие плоскости?

6.Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей общего по- >жения?

7.Как строится линия пересечения поверхностей плоскостью?

8.Какие линии могут быть получены в сечении прямого кругового цилиндра, конуса, сферы?

9.Что такое линия среза?

10.Что представляет собой вырез?

11.Чем можно задать необходимую форму выреза?

12.Как строят линию пересечения двух поверхностей?

13.Какие вспомогательные поверхности удобно использовать при построении точек линии пересечения двух поверхностей?

14.В чем сущность способа вспомогательных секущих плоскостей в построении линии пересечения двух поверхностей?

15.По каким линиям пересекаются соосные поверхности вращения?

16.Когда можно использовать вспомогательные сферы при построении линии пересечения двух поверхностей?

17.По каким линиям пересекаются два прямых круговых цилиндра одного диаметра, если их оси пересекаются? Почему?

18.Какую линию называют линией перехода и как она вычерчивается при изображении пересекающихся поверхностей?

Гл а в а 11

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

§68. Общие сведения

Кметрическим относятся задачи, связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже. Можно выделить три группы метрических задач.

1.Группа задач, включающих в себя определение расстояний от точки до другой точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. Причем расстояние от прямой до плоскости и между плоскостями измеряется в тех случаях, когда они параллельны.

2.Группа задач, включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой

иплоскостью, между плоскостями (имеется в виду определение величины двухгранного угла).

3.Группа задач, связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа. В основе решения Метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на 19S

плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций. Решение задач значительно упрощается, если хотя бы одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. Если одна из геометрических фигур не занимает частного положения, необходимо выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

§ 69. Определение истинной величины расстояний

Некоторые задачи на определение расстояний рассматривались ранее, например, определялись: натуральная величина отрезка прямой линии методом треугольника (см. § 42), натуральная величина отрезка способом плоскопараллельного переноса (см. § 57). Последняя может быть также решена способом замены плоскостей (см. § 58) или способом вращения (см. § 59).

Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей (см. § 58, задача 2). На рис. 140 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

ра — точку А" — на прямой АВ из условия, что в системе Щ ± Щ он занимает положение линии уровня, т.е. М4К4 ± А4В4. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ.

Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то

удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж (см. § 58, задача 3).

На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости

(ABC):

1) tft 1 Пг -> Пх L Щ, Щ10, ~~±ki, h(A, 1) е в;

Л4

2)М4К4104 — истинная величина расстояний от точки М до плоскости 0;

3)MtKi 1К4К1 или Н'-^Ц

4)Кг построена с помощью высоты точки К, измеренной на

Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними.

На рис. 142 определено расстояние между прямыми а и Ь путем преобразования чертежа прямых. Сначала построено изображение прямых на плоскости Щ1П\. В этой системе плоскостей прямые занимают положение линии уровня:

i/4

В системе плоскостей Щ 1 # 5 прямые занимают проецирующее по отношению к плоскости П$ положение: П$ ± а(Ь);

—^-±0404). Отрезок М5К5 между вырожденными проекциями

-"5 прямых определяет истинную величину расстояния между пря-

мыми а я Ь. Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится,