ИГ_Лагерь
.pdfР и с. 38
чается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если ассимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.
Циклоидой называют кривую линию, представляющую собой траекторию точки А при перекатывании окружности (рис. 39). Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АА\, отмечают промежуточное положение
г
ал t 2 3 4 5 6 7 ал/
AAtт2пЛ
Р и с. 39
точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра Ои получают первую точку циклоиды. Соединяя плавной прямой построенные точки, получают циклоиду.
Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды (рис. 40) нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2nR. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.
Эвольвентой называют плоскую кривую, являющуюся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Построение эвольвенты выполняют в следующем порядке (рис. 41): окружность делят на равные части; проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону и проходящие через каждую точку деления; на касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности 2nR, который делят на столько же равных частей. На первой касательной от-
J
6
ж
кладывают одно деление |
, на второй — два и т. д. Получен- |
п
ные точки соединяют плавной кривой и получают эвольвенту окружности.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Как разделить отрезок пополам?
2.Как разделить окружность на четыре, восемь, двенадцать частей?
3.Раскройте принцип построения скругления углов.
4.Что такое сопряжение?
5.Какие виды сопряжений Вы знаете?
6.Какие элементы определяют сопряжение?
7.Какие кривые второго порядка Вы знаете?
8.Что такое овал?
9.Дайте определения лекальных кривых.
10.Раскройте принципы построения эллипса.
11.Какая кривая называется параболой?
12.Какая кривая называется гиперболой?
13.Дайте определение циклоиды.
14.Раскройте принципы построения синусоиды.
15.Какая плоская кривая называется эвольвентой?
Ч а с т ь в т о р а я
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖА
Г л а в а 4
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ЧЕРТЕЖА
§ 23. Определение чертежа
Чертежом называют графический документ, содержащий изображения предметов (деталей, узлов, машин, зданий и сооружений и т. д.), выполненных с учетом правил и требований, позволяющих однозначно различать эти предметы. Таким образом, процесс выполнения чертежей основан на знании специальных законов и умении использовать их при выполнении графических работ. Теоретической основой черчения является наука о методах изображения геометрических фигур на плоскости — начертательная геометрия.
К чертежам предъявляют ряд общих требований. Чертеж должен быть наглядным и давать четкое представление об изображаемом предмете. Чертеж должен быть обратимым, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета. Чертеж должен быть простым для графического исполнения.
Надо также отметить, что знание графических законов способствует развитию пространственного мышления, являющегося основой технического творчества проектировщиков, конструкторов, изобретателей и рационализаторов.
§24. Основные элементы геометрического пространства
Винженерной графике геометрическое пространство рассматривается как множество однородных элементов. К основным формообразующим элементам геометрического пространства относятся точки, линии (прямые и кривые), поверхности (плоские и кривые).
Различают пространство евклидово и неевклидово. Евклидово пространство характеризуется тем, что расположенные в нем параллельные прямые линии или плоскости не пересекаются. Характеристики евклидова пространства не учитывают ряда других геометрических свойств пространства. В более широком понимании эти свойства учитывают проективное пространство, в котором параллельные между собой прямые (плоскости) пересекаются. Эти пересечения происходят в так называемой несобственной точке, которая расположена в бесконечности проективного пространства. Для примера можно привести две параллельные плоскости 2 и Xi (рис. 42). Проведем в плоскости Е прямую К, а в плоскости Ei прямую L так, чтобы они были параллельны. В проективном пространстве эти прямые пересекаются вне собственной точки Е„„. Далее в плоскости Е проведем прямую т, а в плоскости Ei прямую п так, чтобы они были параллельны. Эти прямые также пересекутся вне собственной точки Fx. Нетрудно видеть, что несобственные точки Еж и определяют несобственную прямую сЬ. Учитывая, что несобственные точки принадлежат и плоскости Е, и плоскости Еь можно утверждать, что несобственная прямая также принадлежит этим плоскостям. Таким образом, имеем случай, когда две параллельные плоскости Е и Ei пересекаются по бесконечно удаленной несобственной прямой dx>.
Характеристики проективного пространства позволяют в ряде случаев упростить формулировки, принятые для евклидова пространства. Это можно подтвердить следующим примером. В аксиомах евклидова пространства отмечается, что две прямые определяют единственную точку, если они не параллельны. Для проективного пространства оговорка «если они не параллельны» теряет смысл.
В общепринятом смысле пространство можно рассматривать как бесконечное. Однако геометрическое пространство может быть рассмотрено с позиций размерности. Так, множество положений точки, перемещающейся в заданном прямолинейном направлении, образует бесконечную прямую линию, представляющую собой одномерное пространство. Если же прямую перемещать в заданном направлении, не параллельном самой прямой, она образует бесконечную поверхность (в данном случае плоскость), представляющую собой двухмерное пространство. Задав плоскости (поверхности) направление, не параллельное ей, и перемещая ее в этом направлении, получим трехмерное
44
Р и с. 42
пространство. Таким же путем можно получить четырехмерное и в общем виде многомерное пространство.
Примем следующие обозначения элементов пространства. Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита (А, В, С) или цифрами (/, 2, 3)\ прямые — строчными буквами латинского алфавита (а, Ь, с), а плоскости — прописными буквами греческого алфавита (Г, Л, П, 2, Ф, *F, Q).
Между элементами пространства существуют следующие отношения.
Тождественность обозначается знаком «=». Например А = В, что обозначает, что точка А совпадает с точкой В.
Инцидентность (или принадлежность) обозначается знаком «е». Например, А е а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а.
Параллельность обозначается знаком «||». Например, К [| L обозначает, что прямая К параллельна прямой L.
Перпендикулярность обозначается знаком «JL». Например, all. обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости 2.
Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение, которую обозначают знаком «и». Например, запись А и В = а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а.
Операцию пересечение обозначают знаком «п». Запись тс\п = К обозначает, что в результате пересечения прямых т и
пполучена точка К.
§25. Геометрические тела и их отображение
Геометрическое тело рассматривают как множество всех принадлежащих ему точек, связанных между собой и ограниченных в пространстве соответствующим образом. Оно может пере-
мешаться в пространстве без изменения взаимного положения его элементов.
В инженерной графике рассматриваются одномерные тела (отрезок линии), двухмерные (плоская фигура, отсек поверхности), трехмерные (любая объемная фигура). Основными предметами изображения на плоских чертежах являются трехмерные геометрические тела, окружающие нас в реальном трехмерном пространстве.
Сложные геометрические тела можно рассматривать и как состоящие из более простых трехмерных фигур, которые определяются основными формообразующими элементами пространства — точками, линиями, поверхностями.
Геометрические тела на чертежах получают методом отображения. Отображение геометрического тела — это понятие, в соответствии с которым каждой точке трехмерного пространства соответствует конкретная точка двухмерного пространства на чертеже. Отображение геометрических тел может быть выполнено на плоскость или какую-либо другую поверхность. В курсе инженерной графики рассматривается отображение геометрических тел на плоскость. Изображение геометрического тела на плоскости можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость.
Геометрическая связь между геометрическим телом, расположенным в пространстве, и его отображением на чертеже на плоскости устанавливается по законам проецирования, которые базируются на принципе взаимно однозначного соответствия.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Что такое чертеж?
2.Что является теоретической основой чертежа?
3.Какие требования предъявляются к чертежам?
4.Дайте определение пространства.
5.Чем отличается проективное пространство от евклидова?
6.Что такое несобственная точка, линия?
7.Охарактеризуйте одномерное, двухмерное, трехмерное пространство.
8.Как обозначаются элементы пространства?
9.Какие существуют отношения между элементами пространства?
10.Какие операции выполняются над элементами пространства?
11.Что такое геометрическое тело (фигура)?
12.В чем заключается метод отображения?
Г л а в а 5
ИЗОБРАЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 26. Метод проекций
Теоретические свойства построения чертежа в инженерной графике базируются на правилах построения изображений, основанных на методе проекций. Изображение объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. Проецирование — это процесс, в результате которого получают изображения, представляющие собой проекции на плоскости.
Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты — точки А, В, проецирующие лучи / и плоскость проекции и', на которой получается изображение объектов (рис. 43).
Процесс проецирования заключается в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекций. Точка пересечения проецирующего
луча с плоскостью проекций и определяет проекцию этой точки. Так, проекцией точки А является точка А', т. е. [/ е A; / п и' = А']. Проекцией точки В является точка Вхотя проекция точки В, лежащей в плоскости и', совпала с самой точкой. Чтобы получить проекцию какой-либо фигуры, необходимо построить проекции ее характерных точек и соединить их на чертеже соответствующими линиями.
§ 27. Способы проецирования
Построить проекции предметов на чертеже можно двумя способами проецирования: центральным и параллельным.
Сущность центрального способа проецирования заключается в том, что все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки Р, называемой центром проекций (рис. 44). Полученные проекции А', В', С' называются центральными проекциями точек А, В, С.
Р и с . 44 |
Р и с. 45 |
Сущность параллельного способа заключается в том, что все проецирующие лучи проходят параллельно наперед заданному направлению S, а значит и друг другу (рис. 45). Это можно уподобить случаю центрального способа проецирования, когда центр проекций S удален в бесконечность и все проецирующие лучи становятся параллельными. При построении проекций А', В \ С' этим способом они называются параллельными проекциями точек А, В, С.
При проецировании совокупность проецирующих лучей образует различные геометрические фигуры. При проецировании прямой линии — это плоскость (рис. 46), при проецировании ломаной линии — поверхность призмы или пирамиды (рис. 47, а, б),
Р и с. 46
Р и с. 48
при проецировании кривой линии — коническая или цилиндрическая поверхность (рис. 48, а, б). В отличие от проецируемых фигур эти фигуры называют проецирующими.
§ 28. Свойства проекций
Проекции, полученные при центральном и параллельном проецировании, обладают рядом свойств.
Проекция точки есть точка. При заданном центре Р (или направлении S) проецированию любой точки А пространства соответствует на плоскости проекций п' единственная точка А'. При этом проекция точки В, лежащей в плоскости проекций, совпадает с самой точкой (см. рис. 43).
Проекция прямой есть прямая. На рис. 46 лучи, проецирующие прямую т, создают плоскость X, которая пересекает плоскость проекций п' по линии т', являющейся проекцией на плоскость я'; I е т; £ n п = т'. Проекция прямой определена, если известны проекции хотя бы двух ее точек (рис. 49). Если в пространстве прямая параллельна плоскости проекции п', то ее проекция параллельна самой прямой (рис. 50). При этом при центральном проецировании проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам, а при параллельном — равны им.
При параллельном проецировании сохраняется отношение величин отрезков прямой и их проекций (рис. 51):
АВ/ВС = А'В '/В 'С'. |
Р и с. 49 |
4 - 4060 |
49 |