ИГ_Лагерь
.pdfР и с . 125
Рис. 126
ры. На плоскости Щ отмечаем проекции опорных точек: ЛЦ — самой низкой точки сечения; Вц — самой высокой, дающих величину диаметра d окружности сечения с центром в точке 0(0*); Ец = F4 — на экваторе сферы — точек видимости линии сечения относительно плоскости П\\ Q = Д = О4 — горизонтального диаметра СД определяющего большую ось эллипса — горизонтальной проекции окружности сечения. Горизонтальная проекция сече- ния—эллипс—легко строится по большой CiA и малой А\В\ осям. Фронтальная проекция окружности тоже эллипс, который можно построить по сопряженным диаметрам А2В2 и С2Д (высоты этих точек отмечены на плоскости Я2 и на плоскости Я4) с помощью описанного параллелограмма. Видимость окружности сечения относительно плоскости Я2 определяется точками G и Я, полученными в пересечении главного меридиана сферы / с плоскостью 9. Для этого взята вспомогательная плоскость уровня Ф:
Ф э/, Ф о 0 = 2-3; /2 п 22-32 = Я2 и ф .
Линии среза получаются при пересечении поверхности вращения плоскостью, параллельной оси вращения поверхности. Линии среза часто встречаются на поверхностях деталей. На рис. 128 построена линия среза комплексной поверхности, состоящей из поверхностей сферы и конуса, фронтальной плоскостью уровня Ф. Линия среза включает линию пересечения сферы (В2-А2-С2) — часть окружности радиуса г — и линию пересечения
Р и с . 127
конуса (B2-D2-C2) — ветвь гиперболы, которую строят по отдельным точкам. В качестве вспомогательных секущих плоскостей для построения промежуточных точек берут плоскости, перпендикулярные оси вращения поверхностей.
Пересечение поверхностей геометрических фигур может быть осуществлено не одной, а несколькими секущими плоскостями. Как и в случае пересечения одной плоскостью, построение каждой линии пересечения упрощается, если секущие плоскости являются плоскостями частного по-
ложения.
На рис. 129, а по заданной фронтальной проекции выреза, выполненного в правильной треугольной пирамиде тремя фронтально проецирующими плоскостями, построены горизонтальная и профильная проекции. При решении таких задач вначале анализируют форму каждой грани выреза. Сторонами этих многоугольников бу-
г дут: 1) линии пересечения граней пирамиды с плоскостями выреза и
Р и с . 128
2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом. Вершинами — 1) точки пересечения ребер пирамиды с плоскостями выреза и 2) концы отрезков, по которым грани выреза пересекаются друг с другом. На рис. 129, а плоскость / пересекает ребра пирамиды S А и S В в точках / и 2, а с плоскостью ///пересекается по отрезку 3-4; таким образом, форма грани /—четырехугольник 1-2-3-4. Аналогично в плоскости II получается четырехугольник 5-6-7-8. Вершинами четырехугольника 3-4-8-7 в грани III являются концы отрезков, по которым эта грань пересекается с гра-
8 - 4060 |
ИЗ |
очертания выреза. Для получения их проекций на плоскостях П\ и #3 сначала нужно отметить фронтальные проекции (12 — 82) всех вершин, затем построить горизонтальные и профильные их проекции, после чего соединить на П\ и Я3 вершины каждого многоугольника последовательно, с учетом видимости каждого отрезка. Грань / расположена горизонтально, поэтому на Щ проецируется в горизонтальный отрезок. Грань пирамиды SAC про- фильно-проецирующая, поэтому все линии выреза, полученные в ней, на Пг проецируются в одну линию. При обводке чертежа нужно стереть или оставить тонкими линиями части вырезаемых ребер пирамиды.
На рис. 129, б построены проекции правильной четырехугольной призмы с отверстием, ограниченным фронтально проецирующими плоскостями.
Каждая грань выреза (/, II, III, IV) представляет собой плоский многоугольник, сторонами которого являются: 1) линии пересечения соответствующей секущей плоскости с гранями призмы; 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом (отрезки 1-2; 3-4; 5-6; 7-8).
Исходя из этого, имеем: грань /—трапеция 1-2-4-3; грань Я — трапеция 3-4-6-5; грань III— прямоугольник 5-6-8-7; грань IV— шестиугольник 1-2-10-8-7-9. После анализа формы граней выреза производится построение проекций этих фигур на плоскости П1 и Яз. На плоскости П\ все линии контура совпадают с вырожденными проекциями соответствующих граней. Грани II и IV расположены горизонтально, поэтому на плоскости Я3 проецируются в виде горизонтальных отрезков.
На рис. 130, а показано построение выреза в цилиндре. Вырез ограничен тремя гранями. Вертикальная грань ограничена двумя горизонтальными сквозными ребрами 5 5' и 6 6' и прямыми 5 6 и 5' 6' на боковой поверхности цилиндра. Наклонную грань ограничивают часть эллипса на боковой поверхности цилиндра и сквозное ребро 5 5'. Горизонтальная грань представляет собой плоскую фигуру, ограниченную частью окружности и прямой 6 6'.
Линии выреза, лежащие на боковой поверхности цилиндра, проецируются на окружность основания на П\. Профильная их проекция строится по точкам измерением их глубин относительно плоскости симметрии цилиндра <р. Сквозные ребра 5 5' и 6 6' невидимы на П\ и Я3.
На рис. 130, б приведена задача построения выреза в конусе. Призматическое отверстие в конусе имеет три внутренние стенки,
114
границами между которыми служат ребра АА', ВВ' и СС', которые перпендикулярны Я2. Правая стенка (AS) имеет форму трапеции, так как секущая плоскость этой стенки проходит через вершину S и пересекает конус по образующим SD и SD'. Части этих образующих между точками А (А') и В (В') дают контур правой стенки. Нижняя стенка (между ребрами ВВ' и СС') представляет собой часть круга, ограниченного параллелью h. Левая стенка (между ребрами АА и СС') ограничена частью параболы, проекции которой определяются точками F(F') на профильном меридиане конуса и промежуточными точками К (К') на вспомогательной параллели И.
Профильный меридиан конуса «вырезан» на участке между точками Е (Е') и F(F').
На рис. 130, в построены проекции сферы с вырезом. Призматическое отверстие имеет четыре внутренние стенки, границами между которыми служат ребра АА', ВВ', СС', DD', которые перпендикулярны Пг-
Каждая стенка представляет собой часть круга. Верхняя и нижняя параллельны П\ и проецируются на нее в виде части окружности с радиусами, которые определяются по параллелям h и h'.
Экватор вырезан между точками 1, 5 и 2, 6. Правая и левая стенки выреза параллельны /73 и проецируются на нее в виде частей круга с радиусами, которые определяются окружностями Р и Р'. Профильный меридиан вырезан между точками 3, 7 и 4, 8.
Приведенные примеры показывают, что, меняя положение секущих плоскостей, можно получить вырезы заданной формы.
§ 64. Пересечение поверхностей
При пересечении двух поверхностей образуется линия, в общем виде представляющая собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Причем полученные части могут быть и плоскими, и кривыми.
Если пересекаются гранные поверхности, в общем случае получается пространственная ломаная кривая.
Линию пересечения двух плоскостей строят по отдельным точкам. Сначала в пересечении контурных линий одной поверхности с другой определяют и строят опорные точки. Построение этих точек позволяет видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл построить промежуточные (или случайные) точки. При построении точек пересечения двух поверхностей следует помнить, что
116
проекции этих линий всегда располага- |
|
|
ются в пределах площади наложения |
|
|
одноименных проекций пересекающих- |
|
|
ся плоскостей. На рис. 131 изображены |
|
|
две пересекающиеся поверхности. Пло- |
|
|
щадь сечения — заштрихована. В преде- |
|
|
лах этой площади и будет расположена |
|
|
линия пересечения заданных поверхно- |
наложения |
|
стей на данной плоскости проекций. |
|
|
Общим способом |
построения точек |
Р и с . 131 |
линии пересечения |
двух поверхностей |
|
является способ вспомогательных поверхностей — посредников. Посредники пересекают заданные по-
верхности по линиям, желательно по графически простым. Тогда в пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие обеим поверхностям, а значит, и линии их пересечения. В качестве поверхностей — посредников используют или плоскости, или сферы. В зависимости от принятого вида посредника именуют и способ построения линии пересечения: способ вспомогательных секущих плоскостей или способ вспомогательных сфер.
§ 65. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей
При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения. Плоскости общего положения применяются в ограниченных случаях. Например, их удобно использовать при построении линии пересечения конических и цилиндрических, а также пирамидальных и призматических поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости.
Решение задачи построения линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей рассмотрим на примере пересечения конуса вращения со сферой. В качестве поверхностей-посредников примем плоскости частного положения — горизонтального уровня. На рис. 132 сначала отметим очевидные общие точки А и В поверхностей в пересечении их главных меридианов / и 1-S-2, так как поверхности име-
ют общую фронтальную плоскость симметрии Ф {Ф\У, f2 n S2 - |
S2 = |
|
=А2(В2у, A2AI(B2BI) || S2Su A2Al(B2Bl) |
nf^A^B,). |
В |
Эти опорные точки являются наивысшей А и наинизшей |
||
точками линии пересечения, а также точками видимости линии на плоскости П2.
Брать вспомогательные фронтальные плоскости, параллельные П2, для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графические простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г.
Первую такую вспомогательную плоскость Г1 берем на уровне экватора сферы h. Эта плоскость пересекает конус по параллели А'. В пересечении этих параллелей находятся точки видимости линии пересечения относительно плоскости П\.
hi n hi = СКА); С,С2II ад; С,С2 n h2(hb = С2(А).
Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии (рис. 133), то самую высокую А и низкую В точки линии пересечения поверхности легко опре- -
118
Р и с . 133
делить, построив изображения этих поверхностей на плоскости Щ, параллельной осевой плоскости £(Ei) данных поверхностей. Можно строить проекции всей линии пересечения в системе плоскостей П\ _L #4, а затем построить ее фронтальную проекцию в проекционной связи с горизонтальной проекцией, замеряя высоты точек на плоскости #4, для точек А и В (см. рис. 132).
§ 66. Построение линии, пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер
При построении линии пересечен поверхностей особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качертве вспомогательных поверхностей-посредников использовать сферы, соосные с данными поверхностями.
К соосным поверхностям вращения относятся поверхности, имеющие общую ось вращения. На рис. 134 изображены соосные цилиндр и сфера (рис. 134, а), соосные конус и сфера (рис. 134, б) и соосные цилиндр и конус (рис. 134, в).
Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси враще-