ИГ_Лагерь

Р и с . 50 Р и с . 51 Р и с. 52

При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть прямые параллельные (рис. 52). Если прямые т и п в пространстве параллельны, то и проецирующие их плоскости Е"1 и 2" тоже будут параллельны. При пересечении их с плоскостью проекций ri получаем rri || ri.

Проекцией плоскости является плоскость проекций. Плоскость состоит из бесконечного множества точек. При проецировании этого множества проецирующие лучи заполняют все пространство, а их точки пересечения с плоскостью проекций ri — всю плоскость проекций.

Так как положение любой плоскости в пространстве определяется ее тремя точками, не лежащими на одной прямой, то проекция трех таких точек плоскости (рис. 53, а) устанавливает однозначное соответствие между проецирующей плоскостью 0 и плоскостью проекций п', которое позволяет определить проекции (рис. 53, б) любой точки D или прямой этой плоскости.

Если плоскость параллельна плоскости проекций, то проекции ее плоских фигур при центральном проецировании подобны самим фигурам (рис. 54, а), а при параллельном — равны им (рис. 54, б).

Если плоскость угла параллельна плоскости проекций, величина проекции угла и при центральном, и при параллельном проецировании равна натуральной величине. На рис. 54, а

ZABC = ZA'B 'С', так как ААВСаоА'В'С', а на рис. 54, б ZABC = =А'В'С', так как ААВС= АА'В'С'.

При параллельном проецировании проекция фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций (рис. 55).

Прямые и плоскости (поверхности) могут занимать в пространстве проецирующее положение, если с ними совпадают проецирующие лучи. При центральном проецировании это прямые и плоскости, проходящие через центр проекций, пирамидальные и конические поверхности, у которых вершины совпадают с центром проецирования (рис. 56). При параллельном проецировании — это прямые и плоскости, параллельные направлению проецирования, призматические и цилиндрические поверхности, ребра и образующие которых параллельны направлению проецирования (рис. 57).

Все эти геометрические фигуры можно рассматривать состоящими из проецирующих лучей, каждый из которых изображается точкой. Отсюда следует, что проекциями прямых, плоскостей, поверхностей, занимающих проецирующее положение, есть точки или линии их пересечения с плоскостью проекций («вырожденные» проекции).

§ 29. Ортогональные проекции

Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай проецирования параллельного, когда все проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций. Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций, но при прямоугольном проецировании проекция отрезка, если он не параллелен плоскости проекций, всегда меньше самого отрезка (рис. 58). Это объясняется тем, что сам отрезок в пространстве является гипотенузой прямоугольного треугольника, а его проекция — катетом: А'В' = АВ cos а.

52

кость AA\AA2, перпендикулярную к обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П\ с фронтальной плоскостью П2 вращени-

Я2 ем вокруг оси —- (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки ока-

П1

жутся на одной линии, перпендикулярной оси П2 Прямая А\А2,

соединяющая горизонтальную А\ и фронтальную А2 проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки А относительно этих плоскостей (рис. 61, 6) ее высотой h(AA\ = h) и глубиной /(АА2 —f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине / Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

Рис. 61

§ 33. Элементы трехпроекционных комплексных чертежей точек

Для определения положения геометрического тела в пространстве и получения дополнительных сведений на их изображениях может возникнуть необходимость в построении третьей проекции. Тогда третью плоскость проекций располагают справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно к горизонтальной плоскости проекций П\ и фронтальной плоскости проекций Я2 (рис. 62, а). В результате пересечения фронтальной Пг и профильной Я3 плоскостей проекций полу-

чаем новую ось —-, которая располагается на комплексном

чертеже параллельно вертикальной линии связи А\А2 (рис. 62, б). Третья проекция точки А — профильная оказывается связанной с фронтальной проекцией Аг новой линией связи, которую называют горизонтальной. Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной горизонтальной линии

Полученный комплексный чертеж точки называется трехпроекционным.

В трехпроекционном чертеже глубина точки ААг проецируется без искажений на плоскости П\ и Щ (см. рис. 62, а). Это обстоятельство позволяет построить третью — фронтальную проекцию точки А по ее горизонтальной Ах и фронтальной Аг проекциям (рис. 62, в). Для этого через фронтальную проекцию

Р и с. 63

точки нужно провести горизонтальную линию связи Л2Л3 1А2А,.

проекции и отложить ее по горизонтальной линии связи от оси

II2

проекций ——. Получим профильную проекцию Аз точки А. •"з

Таким образом, на комплексном чертеже, состоящем из трех ортогональных проекций точки, две проекции находятся на одной линии связи; линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций; две проекции точки вполне определяют положение ее третьей проекции.

Необходимо отметить, что на комплексных чертежах, как правило, не ограничивают плоскости проекций и положение их задают осями (см. рис. 62, в). В тех случаях, когда условиями задачи этого не требуется, проекции точек могут быть даны без изображения осей (рис. 63, а, б). Такая система называется безосной. Линии связи могут также проводиться с разрывом (см. рис. 63, б).

§ 34. Положение точек в пространстве трехмерного угла

Расположение проекций точек на комплексном чертеже зависит от положения точки в пространстве трехмерного угла. Рассмотрим некоторые случаи:

точка расположена в пространстве (см. рис. 62). В этом случае она имеет глубину, высоту и широту;

58

точка расположена на плоскости проекций П\ — она не имеет высоты, П2 — не имеет глубины, Я3 — не имеет широты;

П2

точка расположена на оси проекции,- — — не имеет глуби-

имеет высоты и широты.

§ 35. Конкурирующие точки

Две точки в пространстве могут быть расположены по-раз- ному. В отдельном случае они могут быть расположены так, что проекции их на какой-нибудь плоскости проекций совпадают. Такие точки называются конкурирующими. На рис. 64, <г приведен комплексный чертеж точек А и В. Они расположены так, что проекции их совпадают на плоскости П\ [А\ = В\]. Такие точки называются горизонтально конкурирующими. Если проекции точек А и В совпадают на плоскости Яг [Аг = В2] (рис. 64, б), они называются фронтально конкурирующими. И если проекции точек А и В совпадают на плоскости Я3 [А3 = В}] (рис. 64, в), они называются профильно конкурирующими.

По конкурирующим точкам определяют видимость на чертеже. У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих — у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих — у которой больше широта.