ИГ_Лагерь

не занимает частного положения. Задачу решаем последовательным решением третьей и четвертой основных задач. Заменив плоскость П2 на Щ, приводим прямоугольник в частное положение, т. е. в виде проецирующей по отношению к Щ. Выполнив вторую замену, т. е. замену Щ на Щ, определяем истинную величину прямоугольника ABC.

Задачу определения истинной величины прямоугольника можно также решить способом вращения вокруг линии уровня плоскости этой фигуры до совмещения с соответствующей плоскостью уровня (рис. 146, б).

В ряду рассматриваемых задач может быть также решена задача на определение истинной величины фигуры сечения поверхности проецирующей плоскостью. В этом случае достаточно одной замены плоскостей проекций (исходная задача 3). В этом случае истинную величину фигуры сечения можно легко построить путем непосредственного замера расстояний точек фигуры «вдоль сечения» и «поперек сечения» (рис. 147).

Длина фигуры сечения АВ изображается в истинную величину на плоскости П2, так как является отрезком фигуры фронтали секущей плоскости. Расстояние между симметричными точками «поперек сечения» изображается в натуральную величину ,на плоскости Пи так как является отрезками горизонталей секущей плоскости Е.

§ 72. Построение разверток поверхностей

При изготовлении различных конструкций и изделий из листового материала имеет большое значение построение разверток поверхностей. Если представить себе поверхность как гибкую нерастяжимую пленку, то некоторые из них путем изгиба можно совместить с плоскостью без разрывов и деформаций. Такие поверхности относятся к развертывающимся, а полученную в результате развертывания поверхности плоскую фигуру называют разверткой этой фигуры. Те поверхности, которые нельзя совместить без разрывов и деформаций, относятся к неразвертываемым (см. § 45).

В практике возникает необходимость изготовления из листового железа не только развертывающихся плоскостей. Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические или цилиндрические поверхности. При развертывании конических и цилиндрических поверхностей общего вида в практике их аппроксимируют вписанными гранными поверхностями. В этом случае, чем больше граней содержит вписанная по-

верхность, тем точнее ее развертка. Построенные таким образом развертки поверхностей называют приближенными.

Чтобы построить развертки неразвертывакмцихся поверхностей, эти поверхности разбивают на части, которые можно при- ближенно заменить развертывающимися поверхностями. После этого строят развертки этих частей, которые в сумме дают условную развертку неразвертывающейся поверхности.

При развертывании поверхности на плоскости каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке: линия поверхности переходит в линию развертки; длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями, остаются неизмеренными. Таким образом, процесс построения развертки сводится к отыскиванию натуральной (истинной) величины каждого элемента поверхности и изображению их на плоскости.

Большое практическое значение имеют поиски применения наиболее простых способов построения разверток поверхностей, так как это ведет к экономии материалов и снижению затрат труда.

§ 73. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

Развертки пирамидальных и конических поверхностей строят способом триангуляции (способом треугольников). Построе^ ние разверток этих поверхностей_сводится к многократном^построению истинных величтатреугольников. из которых состоит поверхность развертываемой пирамиды или которой заменяют развертываемую коническую поверхность.

НгГрис. 148 построена полная развертка пирамцды SABC, усеченной фронтально проецирующей плоскостью Z(I2)-

Сначала нужно построить развертку боковой поверхности всей пирамиды (фигуру S С А ВС), состоящую из натуральных величин боковых граней. Для этого необходимо определить истинную величину боковых ребер. На рис. 148 истинная величина ребер AS, BSTCS построена способомпрямоугольного треугольника. В данном случае одним катетом взято превышение • точки S над точками А, В я С, я вторым катетом — горизонтальная проекция соответствующего ребра. Гипотенузы S2C*, S2B* и S2A* дают истинную величину боковых ребер. Основание пирамиды расположено горизонтально, поэтому на плоскости П{ имеем истинную величину и самого основания ДABC, и его сторон АВ, ВС, АС.

Р и с . 148

Каждая боковая грань на развертке строится как треугольник по трем сторонам. CS — самое короткое боковое ребро, поэтому рациональнее мысленно разрезать пирамиду_по этому ребру.

Для нанесения на развертку точек D,E и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью Б, нужно определить истинные расстояния этих точек от вершины S. После построения развертки боковой грани поверхности усеченной^асти_пирамиды нужно пристроить к ней треугольники ABC и D Е F, дающие истинную величину основания и сечения пирамиды.

На рис. 149 способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка представляет собой симметричную фигуру, так как поверхность имеет плоскость симметрии I . В этой плоскости лежит самая короткая образующая S—6. По ней и сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая S—0 является осью симметрии развертки поверхности.

Натуральные величины образующих определены с помощью прямоугольных треугольников, как в предыдущей задаче на рис. 149. От оси симметрии S—0 строим шесть в одну сторону и шесть в другую сторону примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Каждый из треугольников строим по трем сторонам, при этом две стороны равны истинным величинам образующих, а третья хорде, стягивающей дугу окружности основания между^соседними точками деления. Построенные на развертке точки 0, 1, 2, ... соединяются.

Построение развертки значительно упрощается, если поверхность представлена прямой пирамидой правильной формы или прямым круговым конусом. На рис. 150 приведена развертка четырехгранной прямой пирамиды. Построение ее упрощается тем, что образующие пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее спроецировались в натуральную величину. Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить стороны AS и сделать засечки радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А соответственно, получим точку В и т. д. "Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон (на рис. 150 — на базе стороны АВ). Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (Мг) проведем горизонтальную линию до пересечения с ребрами A2S2 и BiS2. Получим точки 1\ и 2г. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD, на которой нанесем точку М в том положении, которое она занимает на горизонтальной проекции линии 1, 2. •

Р и с . 150

На рис. 151 приведен пример построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса / на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки — точку S, радиусом L проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окруж-

развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из точки М2 проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получим точку М2. Расстояние от основания конуса до точки М2 по образующей является высотой точки, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки М на развертке.

Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

§ 74. Развертки призматических и цилиндрических поверхностей

Развертки призматических и цилиндрических поверхностей строят способом нормального сечения. Поверхность рассекают плоскостью, перпендикулярной ее образующим (ребрам), и определяют истинную величину нормального сечения. Линию нормального сечения развертывают в прямую. Тогда образующие (ребра) поверхности при развертке ее на плоскость располагаются перпендикулярно развертке линии нормального сечения, которую принимают за базу отсчета размеров образующих (ребер).

На рис. 152 построена полная развертка поверхностей треугольной призмы ABCDEF. Так как боковые ребра призмы BE, AD и CF параллельны плоскости П2, то они в истинную длину изображены на фронтальной плоскости проекций. Плоскость нормального сечения Х(Е2) является фронтально проецирующей. Нормальное сечение PQR призмы построено в натуральную величину на плоскости Щ, параллельной плоскости X и перпендикулярной плоскости П2. Линию нормального сечения разворачиваем в прямую и через точки P,Q,R и Р проводим прямые,

перпендикулярные развертке линии нормального сечения. На каждом из построенных перпендикуляров откладывают по обе стороны от линии Р Р отрезки боковых ребер, измеренные на плоскости Пг (до нормального_сечения и_после него). Отмечаем точки ребер на развертке А и D\ С и F; В и Е, соединяем их отрезками прямых, которые дают истинную величину сторон основания призмы. Присоединяя к развертке _бшсовой_поверхности призмы оба основания (треугольники А В С и D Е F), получаем полную развертку призмы. На развертку призмы нанесена точка М, принадлежащая грани призмы ACFD, с помощью вспомогательной прямой, параллельной ребрам призмы и пересекающей нормальное сечение в точке 1.

На рис. 153 построена развертка боковой поверхности эллиптического цилиндра, в который для построения развертки вписана двенадцатиугольная призма. Поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии. Самая длинная образующая — нулевая, самая короткая — шестая, по ней и сделан разрез поверхности. Развертка — фигура симметричная относительно нулевой образующей. Истинная величина половины нормального сечения поверхности плоскостью 2 построена на плоскости Па — эллипс. Разворачиваем дугу_ полуэллипса в прямую 0—6 с помощью хорд 04—i4, ..., 5а—6л, заменяющих кривые

участки эллипса. В точках0,1, ...,6 на развертке восстанавливаем перпендикуляры, по которым откладываем натуральную длину участков образующих поверхности (до нормального сечения и после него), измеренную на плоскости П2. Концы отрезков соединяем плавными кривыми, которые являются разверткой оснований поверхности.

С помощью седьмой образующей на развертку нанесена точка поверхности.

Построение разверток призматических и цилиндрических поверхностей значительно упрощается, если они представлены простыми прямыми фигурами. Для примера на рис. 154 приведена развертка трехгранной призмы правильной формы. Раз-