ИГ_Лагерь

ния — конус будет прямой, если

будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходят через вершину — пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна — наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

§55. Точка и линия на поверхности

Вобщем случае линия может принадлежать поверхности или не принадлежать. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности (см. рис 103, линия I). Ис-

ключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее при надлежали этой поверхности (см. § 49). Задачи построения линий, принадлежащих поверхности, входят составной частью в задачи построения линий пересечения поверхностей плоскостью и пересечения двух поверхностей (см. § 63, 64).

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой.

Точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. На рис. 104, в точка М принадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности А', лежащей на этой поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М на рис. 104, а), поверхности тора (точка М на рис. 105) и поверхности более сложной формы (точка М на рис. 103).

Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки — точка принадлежит поверхности, если не пройдет — не принадлежит.

Эту задачу можно рассмотреть на примере рисунка 104, а. На комплексном чертеже задана коническая поверхность очерковыми линиями. Задана также точка М горизонтальной и фронтальной проекций. Через горизонтальную проекцию точки проведем горизонтальную проекцию h\ окружности, принадлежащей конической поверхности. Построив фронтальную проекцию h2 этой окружности, убеждаемся, что она прошла через фронтальную проекцию точки. Это подтверждает, что точка принадлежит конической поверхности.

Данная задача может быть решена и другим путем. При тех же исходных данных через фронтальную проекцию М\ точки проводим проекцию одной из образующих f . Построив горизонтальную проекцию А образующей, убеждаемся, что она прошла через горизонтальную проекцию М\ точки М, что позволяет сделать вывод о том, что точка М принадлежит конической поверхности.

Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и других, что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге — деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.

ВОПРОСЫ для САМОПРОВЕРКИ

1 Что называется поверхностью?

2.Как классифицируются поверхности?

3.Что включает в себя определитель поверхности?

4.Как на комплексном чертеже изображаются поверхности?

5.Что такое плоскости и какими элементами пространства ее можно задать на чертеже?

6.Какие особые линии в плоскости Вы знаете?

7.Как они изображаются на комплексном чертеже?

8.Как может быть расположена плоскость относительно плоскостей проек-

ции?

9.Как образуются коническая и цилиндрическая поверхности?

10.Как образуются гранные поверхности?

11.Охарактеризуйте поверхность с ребром возврата.

12.Какие поверхности называются винтовыми?

13.Какие Вы знаете поверхности вращения?

14.Какие линии характерны для поверхности вращения и какова их роль в построении изображений поверхности?

Г л а в а 9 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧЕРТЕЖЕЙ

§ 56. Общие сведения

На комплексном чертеже геометрические объекты проецируются так, что многие элементы, составляющие их (например, отрезки прямых, углы, плоские фигуры), изображаются с искажением. В то же время при решении многих задач часто возникает необходимость преобразовать комплексный чертеж так,

чтобы необходимый элемент расположился параллельно или перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Например, необходимо, чтобы отрезок прямой, представляющий собой ребро многогранника, или многоугольник, представляющий собой грань многогранника, расположились параллельно плоскости проекций. В этом случае на эту плоскость они проецируются в натуральную величину.

Решение таких задач в значительной степени упрощается, если интересующие нас элементы пространства занимают частное положение, т. е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций. Получающиеся в этом случае «вырожденные» проекции помогают получить ответ на поставленную задачу или упростить ход ее решения. Чтобы добиться такого расположения геометрических элементов, комплексный чертеж преобразуют или перестраивают, исходя из конкретных условий. Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. Задача преобразования комплексного чертежа может быть решена перемещением проецирующего тела в пространстве до требуемого положения или изменением в пространстве положения плоскостей проекций относительно геометрического тела. Существует несколько методов решения этих задач. В основном используются способы преобразования чертежа: плоскопараллельный перенос, способ замены плоскостей проекций (см. § 36) и способ вращения.

Так как частных положений у прямой два и у плоскости два, то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа:

прямую общего положения сделать прямой уровня; прямую уровня сделать проецирующей; плоскость общего положения сделать проецирующей;

проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня.

§ 57. Способ плоскопараллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение. При этом, если точка перемещается в плоскости, параллельной П\, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, па-

раллельной оси —-. Если же точка перемещается в плоскости,

параллельной Я ь то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси.

На рис. 107 показан комплексный чертеж прямой АВ. Прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Требуется с помощью плоскопараллельного перемещения задать ей такое положение, чтобы она была параллельна одной из плоскостей проекций, например П2. Через произвольную точку А\ проводим

прямую /ь параллельную оси —-, и от этой точки на прямой от-

кладываем отрезок, равный А\В\. Из точки А\ проводим вертикальную линию связи, а из точки Аг — горизонтальную линию, на пересечении которых и будет новое положение фронтальной проекции А'2. Аналогично проведем вертикальную линию связи из точки В'2 до пересечения с горизонтальной линией, проведенной из точки Вг. Новое положение фронтальной проекции точки В получим на пересечении этих линий в точке В'2.

После преобразования чертежа горизонтальная проекция прямой АВ стала параллельна плоскости Д?, а значит, спроецировалась она на эту плоскость в натуральную величину.

Применяя метод плоскопараллельного перемещения, можно решать многие задачи, связанные с определением натуральной величины отрезков, углов, плоских фигур, а также заданием им нужного положения. Однако он связан с изменением положения геометрической фигуры в пространстве. В практике же встречаются задачи, при решении которых при преобразовании комплексного чертежа удобнее оставить положение проецирующего тела неизменным, а изменить положение плоскостей проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе Я2 -L Я4, а если горизонтально проецирующим, то в системе П\ ± Я4. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А4В4С4 горизонтально проецирующей плоскости 1,(АВС} на плоскости Я , 1 Я ь

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3, а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоско-

ношению к горизонтали проведена первая ось —- _L щ. Вторая Я4

новая ось проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной про-

екции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на Я,

плоскости Я5 нужно замерить на плоскости щ от оси —- и от- Я4