Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

Диагональные компоненты εii описывают удлинения или сжатия, остальные компоненты εij являются компонентами деформации сдвига. Угол

сдвига, или полный сдвиг в какой-то плоскости, равен соответствующей недиагональной компоненте тензора деформации εii .

В одномерном случае, когда деформация и напряжение достаточно малы, деформация пропорциональна приложенному напряжению (закон Гука): σ = Cε , где C – модуль Юнга.

В трехмерном случае, если относительная деформация бесконечно мала, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформации, т.е. для монокристаллов:

ное сочетание ij = m (ij =1, 2, 3) и kl = n(kl =1, 2, 3), и заменить одним

индексом от 1 до 6 по следующей схеме: 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3; 23, 32 → 4; 31,13 → 5; 12,21 → 6. Компоненты жесткости Cijkl преобразуют

также. В матричном обозначении закон Гука имеет вид

σi = Cijεj (i, j =1, 2, ..., 6) .

Полное число независимых упругих констант сокращается в зависимости от симметрии кристалла. Так, если кристалл обладает наименьшей триклинной симметрией, то полное число упругих констант равно 21 (максимальное число независимых констант), а для кристаллов кубической симметрии оно равно 3. Основное свойство кубического кристалла состоит в том, что направления x, y, z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Это приводит к тому, что C11 = C22 = C33 = C44 = C55 = C66 . Остальные компоненты Cij равны нулю, так что для кубического кристалла

имеются лишь три независимые компоненты C11 , C12 , C44 , и набор постоянных упругой жесткости сводится к матрице

81

Через C11 , C12 , C44 выражаются различные механические характеристики кубических кристаллов: модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона v и др. (например, объемный модуль упругости B = (C11 +C12 )3 ; постоянная

сдвига τ = (C11 −C12 )2 и т.д.).

Если для кристалла выполняются следующие условия: 1) все силы взаимодействия между частицами, составляющими кристалл, – центральные (для ковалентных кристаллов это условие не выполняется); 2) частицы сферически-симметричны и расположены в центрах симметрии структуры; 3) в исходном состоянии какие-либо напряжения в кристалле отсутствуют, то это дает шесть дополнительных соотношений между коэффициентами упругости (соотношения Коши):

C12 = C44 . В ковалентных кристаллах силы связи имеют нецентральный характер и C12 ≠ C44 . Для металлов соотношения Коши также не выпол-

няются, т.е. в металлах силы взаимодействия не обладают сферической симметрией. Для многих ионных кристаллов, однако, соотношения Коши выполняются хорошо, причем тем лучше, чем меньше доля ковалентной или металлической связи.

При больших деформациях, превышающих предел упругости, соотношение между напряжением и деформацией – нелинейное, что является следствием отклонения от гармонического характера взаимодействия атомов при большом отклонении от положений равновесия. В реальном кристалле с дефектами, если напряжение превышает некоторый предел, называемый пределом текучести, то появляется остаточная (пластическая) деформация, т.е. необратимое изменение формы и объема, остающееся после снятия напряжения. На типичной кривой напряжение-деформация (рис. 1.72) точка А соответствует пределу упругости, точка В – пределу текучести. На участке ВС кривая горизонтальна, что означает текучесть (деформация возрастает без изменения напряжения). Начиная с точки С кривая снова идет вверх. Если в некоторый момент времени в точке М снять нагрузку, то кривая разгрузки пойдет по прямой МР. Вторичная на-

82

83

товой дислокации, вышедшей в

другую плоскость скольжения и

повернувшей затем в другую

плоскость, параллельную пер-

вичной.

Пределом прочности называют критическое напряжение σp ,

при котором происходит разрыв материала. Теоретическое значение σp идеального кристалла

оценивают как напряжение, при котором наступает разрыв всех межатомных связей на поверхно-

сти разрыва. Такая оценка дает значение σp ~ 0,1 Е (где Е – мо-

дуль упругости). Обычно экспериментальный предел прочности на несколько порядков ниже. Это

обусловлено наличием дефектов, создающих слабые места, и неравномерностью внутренних напряжений. Если возникла трещина размером L > Lкр , то она будет распространяться до полного разрыва материала,

поскольку на образование трещины площадью L2 затрачивается энергия 2αL2 (где α – поверхностная энергия), при этом в объеме L3 упругая энергия снижается на величину L3σ22(E ) . Отсюда критический размер

трещины Lкр ≈ αEσ2 .

Образование критической, зародышевой трещины происходит вследствие флуктуаций; при этом в пластических материалах разрыву предшествует пластическая деформация, облегчающая образование зародышевой трещины. В хрупких материалах зародышевая трещина образуется без предварительной пластической деформации. Обычно возникает множество зародышевых трещин, которые растут и сливаются, образуя макроскопический разрыв.

1.4. Процессы переноса. Транспортные свойства твердых тел

1.4.1. Электропроводность

На основе представлений о квазичастицах и их статистических свойствах, а также решений кинетического уравнения проанализированы зависимости для электропроводности реальных твердых

84

тел: металлов (простых и переходных), полупроводников и диэлектриков, как чистых веществ, так и легированных, кристаллических, аморфных.

Концентрация квазисвободных электронов в полупроводниках настолько меньше их числа в металлах, что электропроводность последних оказывается существенно выше. В соответствии с материалами, изложенными в разд. 1.1, для данного металла при из-

вестной поверхности Ферми зависимость σ(T ) выражается только во влиянии Т на длину (или время) свободного пробега при E = EF .

В полупроводниках σ невырожденного электронного газа описывается формулой σ = nee2 τm* , где ne сильно зависит от T и наличия дефектов. При близких по порядку величины сечениях взаимодействия ∑ej и концентрациях n j рассеивателей значения

τ = (n j ∑ej ve )−1 для металлов гораздо меньше, чем для полупро-

водников, из-за того, что скорость электронов, соответствующая EF , гораздо выше тепловой скорости электронов полупроводни-

ков.

Электропроводность металлов

Для металла электросопротивление складывается из вкладов рассеяния электронов на дефектах, фононах, электронах, магнонах

и др.:

ρ = ρd +ρph +ρe + ρm +...

(правило Матиссена). В металлах при высоких температурах важную роль играет рассеяние на фононах ρph . При T ≥ ΘD спектр

фононов не меняется, а энергетический спектр электронов, переносящих ток (как и средние сечения электрон-фононного рассеяния), практически не зависит от температуры (энергии Ee , EF ), число

же рассеивающих фононов пропорционально Т, т.е. связанная с электрон-фононным рассеянием составляющая электросопротивления ρph T. Поэтому электросопротивление часто считают про-

порциональным Т. Однако реальные зависимости σ = σ(T ) значительно сложнее (рис. 1.75 – 1.76).

85

(соотношение Блоха – Грюнайзена), интеграл в (1.39) равен x4/4

при малых и константе при больших значениях x; вид зависимости ρ(T )ρ(ΘD ) представлен на рис. 1.77.

На ρ(T ) оказывают влияние температурное расширение решетки и связанное с ним изменение ΘD . Поэтому при преобладании электрон-фононного рассеяния при T > ΘD часто имеется более

быстрое, чем линейное, нарастание электросопротивления. Рассеяние электронов в переходных металлах может быть связа-

но с рассеянием электронов на магнонах, т.е. с разупорядочением ориентации спинов атомов, дополнительный источник беспорядка приводит к значительному увеличению ρ. Поскольку при низких температурах имеет место упорядочение, а при T ≥TC (где TC –

температура Кюри) происходит полная хаотизация ориентации спинов, это сопротивление падает с уменьшением Т при T <TC , а

при T >TC наступает насыщение.

В чистых металлах и их сплавах при различных условиях (Т, p) могут существовать фазы, отличающиеся строением кристаллической решетки. При переходе из одной фазы в другую в значениях электропроводности наблюдаются скачки значения ρ как в одну, так и в другую сторону, причина этому – различное взаимодействие разных кристаллических структур с электронным газом, а так-

87

же переходы типа порядок-хаос при плавлении металла (при этом с ростом температуры и степени беспорядка p растет). На значения ρ влияет также «история» обработки образца (наклеп, деформация, закалка, намагничивание).

Сверхпроводимость

При низких температурах T <Ts (где Ts – температура сверх-

проводящего перехода) некоторые металлы, полупроводники и сплавы скачком теряют свое электросопротивление. Причина этого, согласно теории БКШ (Бардина – Купера – Шриффера), состоит в образовании куперовских пар – пар электронов, обменивающихся виртуальными фононами. Естественно, для устойчивости таких пар необходимо сильное электрон-фононное взаимодействие, т.е. в обычном, несверхпроводящем состоянии указанные вещества являются достаточно плохими проводниками (в них эффективно электрон-фононное рассеяние). Ts зависит от магнитного поля: по-

следнее затрудняет переход в сверхпроводящее состояние. При Т = 0 сверхпроводимость существует только, когда H < Hs , при

При переходе в сверхпроводящее состояние магнитное поле вытесняется из сверхпроводника (идеальный диамагнетик, эффект Мейснера), толщина переходного слоя на границе

λ = λ0 1−(TTs )4 −12 ,

где λ0 5 10−8 м; магнитное поле спадает по закону B = B0e−xλ (здесь х – расстояние от границы).

Электропроводность сплавов металлов

В сплавах металлов электросопротивление зависит от того, является ли данный образец твердым раствором (легирующий элемент

88

равномерно распределен по объему), либо он состоит из отдельных фаз с разным химическим составом. Например, отожженная сталь состоит из смеси фаз α-Fe и Fe3C, а закаленная – твердый раствор углерода в α-Fe. В случае смеси фаз электросопротивление обычно близко к значению ρ для наиболее проводящей фазы (для стали α-Fe), хотя при выпадении плохо проводящей фазы по краям зерен такие «перегородки» могут существенно увеличить сопротивление образца.

Твердые растворы с небольшим содержанием примеси обычно представляют собой поликристаллы с определенным количеством точечных дефектов, образующих рассеивающие центры, электросопротивление при легировании растет. Это является общим правилом даже в том случае, когда в металле А с низкой электропроводностью растворяется металл В с высокой электропроводностью. Повышение ρ при образовании твердого раствора (легировании) может быть весьма значительным. Например, введение 0,2 % (ат.) As или Fе в золото приводит к росту значения ρ при температуре

0 °C в 2 раза.

Электрическое сопротивление слабоконцентрированного твердого раствора ρ = ρ0 +ρ′ , где ρ0 – сопротивление основного ком-

понента (растворителя); ρ′ – остаточное сопротивление, равное c Δρ (здесь с – атомарное содержание примеси; Δρ – добавочное

сопротивление на 1 % (ат.) примеси); второе слагаемое в формуле не зависит от температуры.

Из закономерностей рассеяния электронов на ионизованных и нейтральных дефектах следует, что возрастание сопротивления, вызванное содержанием 1 % (ат.) различных металлов (кроме переходных), растворенных в одном и том же растворителе, зависит от валентности растворителя и растворенных металлов: чем больше различие между их валентностями, тем больше добавочное сопро-

тивление, т.е. Δρ = a +b(z − zp )2 , где а и b – константы; z и zp –

валентности легирующего компонента и металла-растворителя (правило Линде). Правая часть диаграммы на рис. 1.78 (примеси непереходных металлов) является наглядным подтверждением этого правила: через соответствующие точки для ρ можно провести параболу. Левая часть иллюстрирует аномалию при

89