Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

1.6. Диэлектрические, оптические и магнитные свойства твердых тел

1.6.1.Параметры взаимодействия среды

сэлектромагнитным полем

Для учета взаимного влияния электромагнитного поля (характеризуемого векторами E, B) и среды вводят группу векторов: индукции электрического поля D, напряженности магнитного поля H и плотности электрического тока j, связанных между собой уравнениями Максвелла. Для замыкания системы уравнений используют соотношения, описывающие поведение среды под действием поля. Существует два способа учета этого влияния: мультипликативный (когда свойства среды описываются факторами, связывающими j и E, D и E, B и H) и аддитивный (когда вместо отношений E/D и B/H записывают их разности).

Векторы напряженности и индукции электрического поля E и D связаны для изотропной диэлектрической среды соотношением

где P – вектор поляризации единицы объема; χe – диэлектрическая восприимчивость; ε – относительная диэлектрическая постоянная; в анизотропной среде χe и ε являются тензорами. Аналогично, для магнитного поля

где В, H – векторы индукции и напряженности магнитного поля; M – намагниченность; χm – магнитная восприимчивость; μ – относительная магнитная проницаемость; μ0 – магнитная постоянная.

Выражения (1.82) и (1.83) носят характер не законов, а определений. Для вычисления D и В необходимо с учетом свойств вещества найти значения ε и μ (P и M, или χe и χm ).

Комплексная диэлектрическая проницаемость

Быстропеременное электромагнитное поле иначе, чем квазистационарное, взаимодействует с веществом. Смещение зарядов, вызывающее поляризацию, происходит за конечные времена, так что

142

при высоких частотах состояние среды может «не успевать» подстраиваться под поле; диэлектрическая проницаемость связана с теми механизмами поляризации, которые успевают следить за полем; для наиболее медленных ориентационных процессов критические частоты поля, при превышении которых «отключается» этот процесс, лежат в СВЧ-диапазоне, для ионной поляризации – в инфракрасной, для электронной – в ультрафиолетовой области частот.

Соответствующие значения диэлектрической проницаемости слабо зависят от частоты ω излучения между «критическими» частотами и почти скачком снижаются при «выключении» очередного процесса

(рис. 1.118).

Из-за инерционности процессов поляризации возникает сдвиг фаз между полем и вектором поляризации, что сопровождается поглощением энергии электромагнитного поля. Это описывают, представляя ε в виде комплексной величины:

ε = ε1 + iε2 .

Процессам, аналогичным происходящим в постоянном поле, соответствует действительная часть ε1 , а диссипативные процессы и

сдвиг фаз отражает мнимая составляющая iε2 . Применение ком-

плексных чисел здесь объясняется тем, что при колебательных процессах многие функциональные зависимости выражаются через экспоненциальные функции комплексных переменных, описывающих как осцилляции, так и их поглощение или усиление, а экспонента – удобная для аналитических выкладок функция.

В низкочастотном пределе ε является действительной величиной (см. рис. 1.118). Мнимая часть ε2 значительна в окрестностях

«критических» частот излучения, но мала вдали от этих частот: здесь механизмы поляризации либо слишком быстры, и для них поле квазистационарно, либо слишком медленны, и их можно не учитывать.

143

Комплексный показатель преломления

Кроме ε для описания взаимодействия электромагнитного поля со средой применяют комплексный показатель преломления, который однозначно выражает скорость волны, ее затухание, отражение от границы тела и другие характеристики.

Электромагнитное поле в квазинейтральной изотопной среде описывается решением уравнений:

здесь ω – частота электромагнитных колебаний; 2 – лапласиан; i – мнимая единица; k – волновой вектор,

k = (ωc)[ε +iσ(ε0ω)]12

(волновое число k в общем случае – комплексное). Для вакуума k = ωc ,

что соответствует волне, распространяющейся со скоростью света c. В среде скорость определяется как cN , где N – комплексный показатель преломления:

Коэффициент поглощения

Коэффициент поглощения æ (доля энергии, поглощаемой при прохождения излучения через прозрачный слой вещества малой единичной толщины) определяется как

144

Если излучение падает нормально на поверхность материала, то отношение комплексных амплитуд отраженной и падающей волн есть

E2 E1 = (1− N )(1+ N ) ,

что соответствует вещественному коэффициенту отражения

R = (1− N )(1+ N ) 2 = (n −1)2 + k 2 (n +1)2 + k 2 . (1.88)

Из (1.85), (1.86) получают также выражения через n и k для диэлектрической проницаемости:

Приведенные зависимости найдены при весьма общих допущениях и верны для самых различных сред (как для газовой плазмы, так и для плазмы твердого тела).

1.6.2. Диэлектрические свойства

Постоянное поле

В хороших проводниках с большой электропроводностью σ→∞ наличие в среде ненулевого электростатического поля приводит к возникновению токов – движению зарядов, которые стремятся расположиться так, чтобы уменьшить это поле; поэтому внутри проводников при отсутствии токов внешнего поля нет – оно скомпенсировано полем, созданным наведенными поверхностными зарядами. В терминах (1.82) это соответствует D = P, χe → ∞,

ε → ∞ . Для квазинейтральной непроводящей среды взаимодействие ее с внешним электростатическим полем удобнее выражать не через точечные заряды (которые к тому же связаны), а через пары противоположно заряженных частиц – диполи. Количественная характеристика диполя – дипольный момент

где q – заряд каждой из частиц диполя; R – расстояние между ними. Поле диполя в вакууме (определенное как сумма кулоновских полей, создаваемых точечными зарядами) выражается как

145

В реальной среде диполи образуются ионом и связанным с ним электроном, атомами асимметричной молекулы и другими кванто- во-механическими объектами, в которых заряды делокализованы по пространству; однако электрические поля, создаваемые такими системами, близки к полю (1.91), особенно на значительных расстояниях, что позволяет также характеризовать их постоянным дипольным моментом p.

Ориентация диполей во внешнем электростатическом поле вызывает создание на границах тела нескомпенсированных (связанных) зарядов, которые и создают в среде поле, частично компенсирующее внешнее. Поверхностная плотность зарядов

Σ = (−1V )∑pin = −(1V )Pn ,

i

где сумму берут по всем диполям в приповерхностном единичном объеме V; n – единичный вектор, нормальный к поверхности.

Внутри диэлектрика поле, однако, превышает это ослабленное внешнее поле (E1 < E): с любым элементом объема внутри диэлектрика граничат с одной стороны положительные, с другой – отрицательные заряды диполей, поэтому локальное поле в нем

Eл = (ε + 2)E3 ,

которое при ε >>1 значительно превышает внешнее поле.

В любых атомах (молекулах) в электрическом поле происходит

где α – поляризуемость атомов (молекул), зависящая от их волновых функций. В ионных кристаллах под действием внешнего поля происходит дополнительная к электронной ионная поляризация – смещение разноименных ионов в противоположных направлениях; в ковалентных кристаллах она также описывается формулой (1.92), но с другим значением α.

Суммарный вектор поляризации при применимости (1.92) может быть представлен как

146

откуда, принимая во внимание (1.90), получают соотношение Клаузиуса – Мосотти, связывающее атомную поляризуемость и макроскопическую диэлектрическую проницаемость:

∑Niαi V = 3ε0 (ε −1)(ε + 2).

i

В асимметричных молекулах, обладающих поляризацией и при отсутствии внешнего поля (рис. 1.119), при его наложении происходит преимущественная ориентация диполей по направлению внешнего поля. Полной ориентации препятствуют, во-первых, кристаллические связи: выбирать приходится среди дискретного числа возможных состояний молекул в кристалле, и процесс ориентации представляется совокупностью скачкообразных переходов. Во-вторых, температурные флуктуации оказывают хаотизирующие воздействия, «размазывая» функцию распределения диполей по дискретным или непрерывным (например, в жидкости или газе) углам (угол между направлениями диполя и внешнего поля).

Ориентационная поляризуемость вследствие ориентации диполей дает вектор поляризации

P = Np2E(V 3kBT ),

а диэлектрическая восприимчивость с учетом (1.82) χ0r = = Np2 (V 3ε0kBT ). Суммарную диэлектрическую проницаемость

при одновременном проявлении всех механизмов (электронная, ионная, ориентационная поляризуемость) записывают в виде

где χe и χi связаны с соответствующими векторами поляризации (1.93) соотношениями (1.82). Первые три слагаемых в (1.94) не зависят от температуры, а χ0r ей обратно пропорциональна; поэтому в телах из асимметричных молекул, где χ0r ≠ 0 , значение ε падает с ростом температуры.

147

Граничные частоты

Указанные механизмы поляризуемости проявляются в определенных частотных диапазонах: при повышении частоты излучения ω последовательно выключаются ориентационная, ионная и электронная составляющие поляризуемости (см. рис. 1.118).

Вероятность перехода молекулы в другую ориентацию за один цикл тепловых колебаний равна относительной части молекул, имеющих достаточную для перехода энергию E; характерное время перехода т пропорционально вероятности перехода за один цикл колебаний и обратно пропорционально частоте колебаний. Так как распределение молекул по энергиям – больцмановское (в пренебрежении изменением плотности состояний при изменении энергии примерно на kBT ) , характерная частота

Однако при E ≥ kBT инерционность ориентационной поляри-

зуемости резко возрастает и соответствующий предел сдвигается в более длинноволновую область; поэтому при уменьшении температуры для ряда веществ наблюдается резкий спад низкочастотной диэлектрической проницаемости, соответствующий «выключению» ориентационного механизма.

Граничная частота для ионной поляризуемости ωi – собствен-

ная частота колебаний атомов в поле действия возвращающих сил; она соответствует длинноволновой граничной частоте оптических колебаний (см. разд. 1.2).

Частота ωe , соответствующая границе электронной поляризуе-

мости, связана с колебательными движениями валентных электронов в атомах; аппроксимируя действующую на «отклонившийся» на x электрон «возвращающую силу» Fe в виде Fe = −Ce x , по-

лучают собственную частоту колебаний ω0r = (Ce me )12 (где Ce связана со стационарной поляризуемостью атомов α0r ). При ω ω0r значительно изменяется высокочастотная электронная поляризуемость αe , однако критические изменения в диэлектриче-

148

ской проницаемости, связанной с αe соотношениями Клаузиуса – Мосотти, происходят при частоте ωe несколько сдвинутой в длинноволновую область:

Значения ω0r лежат обычно в радиоволновом, ωi – в инфракрасном, ωe – в ультрафиолетовом диапазонах спектра.

Пьезоэлектричество и электрострикция

В некоторых молекулах кристаллов, которые можно представить как несколько расположенных под углом диполей, при сжатии или растяжении возникает электрическая поляризация, т.е. электростатическое поле; и наоборот: при наложении внешнего электрического поля происходит сжа-

значительно слабее – в кварце SiO2.

Для любого ионного кристалла вне зависимости от того, является он пьезоэлектриком или нет, в электрическом поле наблюдается намного меньшая по величине деформация, пропорциональная не Е, как при пьезоэффекте, а Е2. Это явление (электрострикция) связано с нарушением закона Гука (см. разд. 1.2). Если деформация решетки вызвана изменением температуры, то явление возникновения поляризации называют пироэлектрическим эффектом.

Сегнетоэлектрики

Сегнетоэлектрики – пьезоэлектрики, у которых даже при отсутствии деформации имеются ненулевые дипольные моменты, причем упорядоченное расположение диполей более энергетически выгодно, чем неупорядоченное. При повышении температуры выше точки Кюри вследствие тепловых колебаний упорядоченное расположение диполей нарушается, тогда разрушается сегнетоэлектрическое состояние. Большие значения

объемной поляризации имеют такие кристаллы, как BaTiO3 (Р = 0,26 Кл/м2, ТС = 393 К) и KNbO3 (Р = 0,3 Кл/м2, TC = 710 К). Кристалл сегнетоэлектри-

149

ка не обязательно проявляет макроскопические признаки объемной поляризации, поскольку он разделен на множество доменов (областей) с различными направлениями поляризации; толщина переходных слоев (доменных стенок) составляет одно-два межатомных расстояния. При наличии внешнего электрического поля домены с направлением поляризации, близким к направлению Е, растут за счет доменов с другими направлениями. Сегнетоэлектрики при температуре выше TC, когда спонтанная поляризация отсутствует, обладают очень высокой диэлектрической постоян-

ной (так, для керамики BaSrTiO3 ε = 6 –10).

Электреты

Электреты – постоянно поляризованные диэлектрики, способные длительно сохранять наэлектризованное состояние и создавать электрическое поле в окружающей среде (электрические аналоги постоянных магнитов). Электреты изготовляют из расплавов различных органических и неорганических диэлектриков охлаждением в сильном электрическом поле. Они могут оставаться поляризованными длительное время – от нескольких часов до нескольких лет, однако у некоторых веществ со временем направление поляризации может измениться на противоположное.

1.6.3. Оптические свойства твердых тел

Взаимодействие излучения со свободными электронами

вметаллах. Низкочастотное излучение

Вшироком диапазоне энергии квантов (от длинноволновой части спектра до ультрафиолетовой) оптические свойства металлов связаны с наличием в зоне проводимости большого количества квазисвободных электронов (как в газовой плазме). Металлы обладают высокой электро-

проводностью; это позволяет пренебречь величиной ε в формуле для комплексного показателя преломления (1.85), так что вещественная и мнимая части показателя преломления равны по абсолютной величине:

Наиболее важное следствие, вытекающее отсюда, состоит в том, что отражательная способность твердого тела становится очень большой. Из формул (1.88), (1.95) следует

(соотношение Хагена – Рубенса). Отклонение от идеальной отражательной способности пропорционально (2ε0ωσ)12 , оно намного меньше единицы даже в той области, где ω приближается к инфракрасным частотам.

150