Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

1.5.Быстрые частицы в твердом теле

1.5.1.Движение быстрых электронов в твердом теле

В твердом теле надтепловые (Ee = mv2 /2 kBT ) электроны

движутся как квазичастицы, испытывая упругие рассеяния, изменяющие лишь направление скорости; ионизующие неупругие столкновения, порождающие электрон-дырочные пары, т.е. увеличивающие число квазисвободных электронов (вторичных); неупругие столкновения, не приводящие к образованию свободных носителей заряда. Электроны также могут рекомбинировать с дырками или заряженными дефектами и выходить за пределы твердого тела. Торможение электрона при взаимодействии с твердым телом описывают длиной потери энергии:

(−dEdx)= El .

Электрон-электронные и электрон-плазмонные неупругие соударения. Валентные оболочки металлов

При движении по плотному электронному газу электрон рассеивается на электронах в парных соударениях, а также порождает коллективные элементарные возбуждения – плазмоны (рис. 1.89). Для относительно невысоких энергий E1 /EF ≤ 25 (т.е. E1 < 100 эВ)

le−1 =1,47(EF β)32 E1 (E1 − EF )2{(me* )12 tg (1β12 ) −1 +β12 (1+β)},

нее расстояние между электронами, выраженное в единицах радиу-

111

так как не учитывает индивидуальных особенностей строения оболочки nl; уточнение связано либо с подробными квантовомеханическими расчетами, либо с использованием полуэмпирических зависимостей.

В соответствии с моделью атома Томаса – Ферми, число элек-

тронов с v < v1 равно n(v1 )= Z213v1* , где Z2 – заряд ядра атома. Из (1.55) следует выражение для dE/dx:

При высоких энергиях электронов суммирование в (1.55) проводят по всем оболочкам; в этом случае (если среднюю энергию

ионизации атома Ii определить из формулы Z2 ln Ii = ∑Znl ln Inl )

Для оценки Ii (эВ) используют полуэмпирическую зависимость Блоха Ii ≈ 13,6 Z2 или экспериментальные данные (рис. 1.91). Если ввести безразмерные параметры

113

то формулу Бете – Блоха можно записать в универсальном для всех веществ виде: dE′dξ = −ln E′E′.

Релятивистские электроны

Для релятивистских электронов (E >> 1 МэВ) выражение (1.57) преобразуется к виду (формула Фано):

−dEdx = (4π(v12 ))n2Z2{ln (v12 E)(2Ii2 ) + ln 1 (1−β2 ) −

при движении электронов возникают квантово-механические дифракционные эффекты: вследствие брэгговского отражения и ин-

решетки, эти электроны при движении по кристаллу встречают гораздо меньшее сопротивление из-за электрон-электронного рассеяния. В этом и состоит причина каналирования электронов, т.е. ано-

114

мально больших длин пробега электронов в определенных направлениях распространения. Интерференционные эффекты приводят к появлению немонотонной зависимости интенсивности прохождения пучка при изменении длины образца (рис. 1.93).

Каналирование релятивистских электронов

При Ee > 10 МэВ λD < a быстрые

электроны можно рассматривать как классические частицы и может происходить такое же каналирование, как и при движении положительных ионов

(см. ниже), но вместо отталкивания от цепочек ионов происходит притяжение. В результате проекции на поперечную плоскость траекторий электронов, движущихся под малыми углами к направлениям цепочек атомов в кристаллах, совершают движение по траекториям, напоминающим спирали или синусоиды (рис. 1.94); при этом столкновения происходят значительно реже, чем при хаотическом расположении атомов или при движении под произвольными углами к кристаллографическим направлениям.

Рис. 1.94. Проекция траектории каналирования электронов с энергией 10 МэВ вдоль оси <110> Cu: для малого (а), среднего (б) и большого (в) угловых моментов

115

Электрон-фотонное взаимодействие

При E << mc2 тормозная способность с учетом энергии на тормозное излучение

При E ≥ 20mc2 ~ 10 МэВ тормозная способность, связанная с излучением, становится больше одноэлектронного возбуждения

(рис. 1.95).

Тормозная способность в соединениях

При относительно высоких энергиях первичных электронов, когда несущественно взаимодействие с валентными электронами, соединения, состоящие из атомов различных элементов, рассматривают как смеси элементов, а тормозную способность считают равной сумме ее значений для составляющих (правило Брэгга):

(−dEdx)Σ = ∑(−dEdx)i Ci ,

i

116

где (dEdx)i – тормозная способность атомов элементов i при концентрации, равной концентрации атомов в соединении; Ci – парциальная доля этого элемента ∑Ci =1 . Правило Брэгга справедли-

i

во и для валентных оболочек, если они в соединении не подвергаются сильной модификации.

Упругое рассеяние электронов на фононах

Оно связано с электростатическим взаимодействием с полем внутри решетки. Высокоэнергетичные электроны отражаются лишь от глубоких потенциальных воронок в непосредственной окрестности решеточных остовов, где поле близко к кулоновскому, и для

E1 =102...105 эВ; такое рассеяние считают упругим. Однако из-

менение импульса (квазиимпульса) электрона при рождении фонона может быть очень большим (с учетом процессов переброса Пайерлса), и электроны могут отклоняться на большие углы рассеяния (в обратном направлении).

Общая картина взаимодействия пучка электронов с твердым телом

Попадающий в твердое тело быстрый электрон испытывает практически упругие рассеяния на фононах на большие углы и неупругие рассеяния на электронах, сопровождающиеся появлением новых квазисвободных носителей заряда с меньшей энергией. Тормозная способность имеет максимум, положение и величина которого зависят от электронной плотности среды (см. рис. 1.90): с уве-

личением E1 до максимума (при Emax ) рост ∂E∂x связан с тем, что расширяется число возможных неупругих переходов и электронных возбуждений (последовательно включаются взаимодействия с валентными и все более глубокими электронными оболочка-

117

ми); при E > Emax на первый план выходит уменьшение сечений взаимодействия быстрого электрона с электронным газом. В ульт-

рарелятивистском случае E mc2 , рост длины свободного пробега ограничивается потерями на излучение жестких рентгеновских и гамма-квантов. В кристаллах может происходить каналирование электронов в определенных кристаллографических направлениях. При своем движении в твердом теле высокоэнергетичный электрон

сэнергией E > Emax на начальном отрезке пути тормозится относи-

тельно слабо, а при приближении E к Emax быстро отдает свою энергию, так что максимум плотности энерговыделения находится не на поверхности, а внутри тела.

Из-за многочисленных рассеяний (обычно малоугловых на электронах и рассеяний на большие углы на фононах) траектория первичного электрона имеет сложную статистически нерегулярную форму

светвлениями (вследствие воз-

первичных электронов практически прекращается, применяют также экстраполированный пробег RxЭ , который получают экстра-

поляцией линейного участка распределения по глубине потока электронов γ = γ(x) (см. рис. 1.97). Вводят и наиболее вероятный

пробег Rxω , соответствующий максимуму производной потока

118

электронов, отнесенный к начальному потоку d γx dx , и средний пробег Rxср ,

∞∞

Рис. 1.97. Зависимость коэффициентов прохождения электронов в Cu от их энергии (а) и от толщины пленки (б)

Для каждого вещества форма распределения γ = γ(x) почти не меняется при вариации начальной энергии падающих частиц E1 в

пределах 103...106 эВ, и его аппроксимируют эмпирической формулой

где RxN зависит от вещества мишени и E1 , а значение р, определяемое свойствами мишени, находят из эмпирической зависимости

p = 3,7 Z2 / A2 lg Z2

(A2 – атомный вес мишени). С помощью (1.64) легко выразить пробеги через один из них, например RxN :

Rx max =[ln (1γx min )]1 p ,

RxЭ =(p +1)RxN p, Rxw =((p −1) p)1 p RxN , Rxср = Γ((p +1) p)RxN ;

здесь γx min – значение λx , которое можно считать практически нулевым в некотором конкретном случае; Г(у) – гамма-функция.

119

Значения RxN определяются, с одной стороны, средней длиной траектории электронов до полного торможения

E1

Rξ = ∫(−dEdx)−1 dE , (1.65)

0

с другой – отклонениями траектории от прямолинейной, связанными с рассеяниями на ионах решетки. Из экспериментальных данных следует зависимость пробега от коэффициента неупругого отражения η:

Rx max = Rξ (0,95 −1,1η).

Энерговыделение в твердом теле

Большая часть энергии поглощенных телом быстрых электронов преобразуется в конечном счете в теплоту, т.е. происходит нагрев приповерхностных слоев. Распределение мощности поглощенной энергии электронного пучка по глубине зависит от ( −dEdx ) и ве-

роятности рассеяния, определяющей характер формы траекторий электронов. Это распределение аппроксимируют функцией Гаусса

распределения; = xm xm ; необходимые параметры находят из эмпирических соотношений

xm = (Rx max − xm )2 = Rx max (2 + ),

120