Курнаев Введение в пучковую електронику 2008
.pdf
Положение уровня EF и в собственном, и в примесном полу-
В модели желе (для простых металлов) зависимость ϕ от единственного параметра rS показана на
рис. 1.150. Примерно одинаковое значение работы выхода имеют элементы групп:
|
|
IIA: для Sr-Ba ϕ = 2,5 эВ; |
|
|
|
IIIA: для Sc-Y-La-Cd ϕ = 3,3 эВ; |
|
Рис. 1.150. Зависимость рабо- |
IB: для Cu-Ag-Au ϕ = 4,4 эВ; |
||
IVB: для Si-Ge-C ϕ = 4,8 эВ. |
|||
ты выхода от r |
(4πr3n =1) |
||
S |
S e |
Для элементов 4-го большого |
|
периода: Fe-Co-Ni-Cu ϕ = 4,3...4,4.
Работа выхода уменьшается последовательно в зависимости от положения элементов в периодах. Так, в периоде IIIB для B-Al-Ga- Yn-Te ϕ = 4,5...3,7 эВ; в IVB для Ge-Sn-Pb-Si ϕ = 4,8...4,0 эВ (рис. 1.151).
Для редкоземельных элементов ϕ = 3,0...3,3 эВ; для Y, Eu, Pr и Sm – 2,5 эВ. Минимальное значение работы выхода имеет Cs,
ϕ = 1,81, максимальное – Pt, ϕ = 5,32.
Рис. 1.151. Работа выхода электрона основных плоскостей монокристаллов 4-го (а), 5-го (б), 6-го (в) периодов периодической системы элементов
181
Оксиды щелочных и щелочно-земельных металлов, например BaO, SrO, CaO и др., имеют значение ϕ < 1,0 эВ; вольфраматы ще- лочно-земельных металлов типа Me3WO6 и вольфраматы бария
имеют значения ϕ в пределах 1,0...2,0 эВ. Так как ϕ зависит от межъядерного расстояния (см. рис. 1.150), очевидно, что она будет различной для разных плоскостей кристаллической решетки; как правило, меньшая плотность упаковки соответствует меньшему значению ϕ. Рекомендованные значения ϕ для некоторых материалов газоразрядной техники приведены в табл. П.1.1 прил. 1.
Влияние поверхностных моноатомных пленок на работу выхода
При адсорбции на поверхности кристалла слоя атомов с относительно слабосвязанными валентными электронами (Cs, Ba, K, Th и др.) на поверхности образуется дипольный слой (рис. 1.152), что
приводит к уменьшению ϕ, т.е. смещение волновой функции электрона адатома в кристалле уменьшает граничный отрицательный заряд от электронного облака. Снижение работы выхода
Δϕ = 4πNpa ,
где N – поверхностная плотность адатомов; pa – дипольный мо-
мент адатома. Значение pa уме-
ньшается с ростом N, так как уменьшается плечо диполя (каждый адатом притягивается большим числом отрицательных зарядов); максимум Npa дости-
гается не при моноатомном покрытии (степень покрытия
θ = 1), а при θ = 0,7 (рис. 1.153,
182
табл. П.1.2 прил. 1). При θ > 2 работа выхода поверхности уже не зависит от θ и равна работе выхода материала покрытия. Аналогичные явления происходят при адсорбции атомов металлов на поверхности полупроводника.
При покрытиях, у которых превышен предел насыщения, для ряда ковалентных полупроводников поверхностные состояния системы адсорбат-полупроводник частично заполнены таким образом, что уровень Ферми на поверхности расположен в запрещенной зоне примерно на 1/3 ее ширины от вершины валентной зоны.
Cs-О-активирование предпочтительнее для создания более устойчивого покрытия, чем монослои Cs, для существования которых требуется поддержание контролируемой среды.
При одновременной или последовательной адсорбции атомов Cs и O последний внедряется в поверхность кристаллической решетки под слой Cs, так что создаются диполи с большим моментом, чем при отсутствии О, вследствие чего работа выхода в минимуме снижается на большую величину. Так, ϕ для грани (211) W достигает минимального значения 1,1 эВ при одинаковых степенях покрытия поверхности Cs и O, равных половине монослоя для каждого. Аналогичные эффекты наблюдаются при адсорбции Cs и O на некоторых полупроводниках (например, на грани (100) Si ϕ снижается с 4,5 до 0,9 эВ).
У других полупроводников (например, GaAs) наименьшие значения ϕ = 0,6...0,7 эВ наблюдаются, когда структура получающихся слоев соответствует оксиду Cs2O.
Покрытие поверхности статистически неравномерно, и работа выхода меняется по поверхности, что проявляется в описанном да-
лее эффекте «поля пятен».
Значения ϕ для ряда пар адсорбент – адсорбат приведены в табл. П.1.3 прил. 1.
1.7.3. Контактные явления. Контактная разность потенциалов
При контакте двух разнородных металлов 1 и 2 с работами выхода ϕ1 < ϕ2 (EF1 < EF 2 ) (рис. 1.154, а) электроны преимуществен-
но перетекают из металла 1 на свободные и ниже расположенные уровни металла 2. В состоянии равновесия уровни Ферми у обоих
183
тел выравниваются, при этом между точками в и г вакуума у поверхности соприкасающихся тел (вне линии контакта) устанавливается разность потенциалов Uk , называемая внешней контактной
разностью потенциалов:
Uk = ϕ2 − ϕ1 .
Выравнивание EF в металлах обеспечивается переходом части электронов ( ne ~ 2 106 см–3) из приповерхностного слоя, т.е. концентрация электронного газа ( ne ~ 1024см–3) не отличается от
невозмущенной и проводимость контакта не отличается от металлической.
Рис. 1.154. Потенциальные диаграммы контакта ме- талл-металл до (а) и после (б) контакта
Для возникновения внешней контактной разности потенциалов (КРП) не обязательно приводить тела в непосредственный контакт. Достаточно создать условия для обмена электронами, например в результате термоэлектронной эмиссии. В цепи, состоящей из последовательно включенных металлических проводников, значение Uk между крайними телами не зависит от работ выхода промежу-
точных (рис. 1.155).
Рис. 1.155. К определению контактной разницы потенциалов в цепи, образованной двумя (а) и более (б) различными металлами
(1 – 4)
184
После выравнивания уровней EF обмен электронами определя-
ется разностью кинетических энергий электронов, находящихся на уровне Ферми, т.е. EF1 − EF 2 . Более быстрые электроны переходят
из первого тела во второе (так как EF1 > EF 2 ), создавая вдоль ли-
нии контакта внутреннюю контактную разность потенциалов:
Ui = (U1 +Uk −U2 )= (EF1 > EF 2 ).
Значения EF1 и EF 2 определяются концентрациями электронов проводимости; следовательно, Ui создается при диффузии элек-
тронов из металла с большей концентрацией электронного газа. В равновесии диффузионный ток равен встречному дрейфовому току, создаваемому полем Ui .
Положение уровня Ферми в металле хотя и слабо, но зависит от температуры, поэтому зависит от температуры и Ui , если считать
постоянной электронную концентрацию ne1 , ne2 , то
Ui = (EF 02 − EF 01)+ (π2
12)(kBT )(1
EF 02 −1
EF 01) ,
где EF 01 = EF1 |T =0 ; EF 01 = EF 2 |T =0 p . Однако в реальных телах еще большее влияние на EF (и на Ui ) оказывают другие факторы,
например, изменение электронной концентрации вследствие температурного расширения решетки (см. разд. 1.2). В металлах Ui не
превышает примерно 10–2 В, тогда как Uk может достигать нескольких вольт. Между электродами Uk может существенно вли-
ять на работу низковольтных газоразрядных устройств (особенно если значения работы выхода изменяются со временем из-за напылений, адсорбции газов и т.д.).
185
Глава 2. ЭМИССИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
СПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.1.Термоэлектронная эмиссия
2.1.1. Электроны в металлах
«Электронный газ» в металлах можно рассматривать в приближении свободных электронов зоны проводимости, возникающей при обобществлении валентных электронов атомов при сближении атомов на расстояния, когда перекрываются электронные облака отдельных атомов. Сплошная зона проводимости возникает из-за расщепления энергетических уровней электронов отдельных атомов в силу запрета нахождения электронов в одинаковом квантовом состоянии. Так как число атомов велико, то расщепленные уровни электронов образуют непрерывную энергетическую полосу, называемую зоной проводимости, в которой электроны можно считать свободными, т.е. не привязанными к какому-либо атому. С другой стороны, оставшиеся без электрона атомы, т.е. ионы, играют роль нейтрализующего электроны фона, так что электронный газ и ионы кристаллической решетки можно считать плаз-
мой. |
Расстояние между ионами: |
1 |
≈ |
|
|
1 |
|
=10−9 |
м |
стано- |
||||||
n1/3 |
( |
|
27 |
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1/3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вится |
меньше длины волны |
де Бройля |
|
электрона: λe = |
h |
≈ |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
6,6 10−34 Дж с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
meve |
|
≈ |
|
|
≈10 |
−8 |
м. |
Следовательно, |
электрон |
|||||||||
1,38 10−23 300 9 10−31 |
|
|
||||||||||||||
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нельзя считать частицей, т.е. плазма является квантововырожденной, подчиняющейся уже не классической статистике Максвелла – Больцмана, а статистике Ферми – Дирака. При этом электрон необходимо описывать волновой функцией:
ψ(rG,t) = ψk (rG) ϕ(t) = V11/2 exp(ikrGG)exp(−iωt) ,
186
где kG = 2Lπ(nx , ny , nz ) − волновой вектор, nx , ny , nz − целые по-
ложительные или отрицательные числа; V = L3 – объем металла; ω – частота волны. Волновая функция имеет смысл вероятности нахождения электрона в данной точке в данный момент времени (квадрат модуля этой функции равен плотности электронного об-
лака). Энергия электрона в состоянии ψk : Ek = |
pk2 |
= |
=2k 2 |
. Функ- |
|
2me |
2me |
||||
|
|
|
ция распределения Ферми − Дирака, т.е. число частиц в одном со-
стоянии: f (E) = |
1 |
|
|
|
|
|
(рис. 2.1). |
|
Импульс электрона |
||||||||||
|
E − EF |
|
|
|
|||||||||||||||
|
1+exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
||||||
можно выразить через квантовое число sG: |
pG = |
sG , так что компо- |
|||||||||||||||||
L |
|||||||||||||||||||
ненты импульса |
px = |
h |
sx , |
py = |
h |
sy , |
pz |
= |
h |
sz , где sx , sy , sz − |
|||||||||
L |
L |
L |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
целые положительные или отрица- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тельные числа. Элементарный ку- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
бик в |
импульсном пространстве |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
имеет |
объем |
h3 |
число |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 , поэтому |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|
возможных квантовых состояний в |
|||||||||||||
Рис. 2.1. Функция распределе- |
|
интервале |
|
|
dpx dpy dpz |
равно |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ния Ферми − Дирака |
|
|
L |
dpx dpy dpz . При T = 0 все элек- |
|||||||||||||||
|
|
h3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
троны находятся внутри так называемой сферы Ферми (рис. 2.2). Если учесть принцип Паули и две возможные ориентации спина,
то число состояний в сфере Ферми: |
2 |
|
L3 |
|
|
4 |
πpF3 |
= N , следова- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
h3 |
|
|
3 |
|
|
|
тельно, |
p |
|
= h |
3n0 |
1/3 |
, где n |
= |
N |
. Тогда энергия Ферми равна: |
|
F |
|
|
||||||||
|
|
|
|
8π |
0 |
|
V |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
187 |
|
|
|
pF2 |
|
h2 |
3n0 |
2/3 |
=2 |
(3π |
2 |
n0 ) |
2/3 |
|
|
||
EF = |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
Энергия Ферми не за- |
||
2me |
2me |
|
2me |
|
|
|||||||||
|
|
8π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
висит от объема металла, а зависит от концентрации свободных электронов. На первый взгляд,
странный вывод. При росте V число
N растет, казалось бы, должно расти число уровней и, значит, повышать-
ся верхний уровень EF , но EF не
зависит от общего числа уровней. Это связано с тем, что уменьшается расстояние между уровнями
E = NE/2F («2» − с учетом спина) и
Рис. 2.2. Сфера Ферми в импульсном пространстве
зона проводимости при N → ∞ становится сплошной. Число час-
тиц с |
энергией |
не |
больше E определим из соотношения: |
|||||
E = |
=2 |
(3π2n)3/2, |
следователь- |
|||||
2m |
||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
но, n(E) = |
1 |
|
2meE 3/2 |
|||||
|
|
|
|
|
. |
|||
3π |
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
= |
|
|
||
Тогда плотность электронов в импульсном пространстве, т.е. распределение по энергии
ρ(E) = |
dn |
|
1 |
|
2m 3/2 |
1/2 |
|
||
|
= |
|
|
|
|
E |
|
. |
|
dE |
2π2 |
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|||
С учетом распределения Ферми − Дирака распределение электронов по энергии имеет вид
Рис. 2.3. Функция распределение электронов по энергии
ρ(E) = |
1 |
|
2m 3/2 |
|
|
E1/2 |
|
|
(рис. 2.3). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2π2 |
=2 |
|
|
E |
− EF |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
188 |
|
|
|
|
2.1.2. Плотность термоэмиссионного тока
Испускание электронов нагретыми проводящими материалами называется термоэлектронной эмиссией. Это явление было обнаружено в 1883 г. Эдисоном. Аналитический расчет плотности термоэмиссионного тока можно получить исходя из модели Зоммерфельда о нахождении электронов в металле как в потенциальной яме. При абсолютном нуле температуры энергия электронов металла не может быть больше энергии Ферми, поэтому ни один электрон не может выйти из металла, а функция распределения обрывается при EF (см. рис. 2.3). При Т > 0 обрыв сглаживается, появляется «хвост» функции распределения электронов с энергиями больше EF, именно у этих электронов, количество которых экспоненциально растет с ростом температуры поверхности, появляется ненулевая вероятность преодоления потенциального барьера на границе металла. Поэтому термоэмиссионный ток заметен только для нагретых тел. Как известно из электростатики, на электрон вне металла около его поверхности действует сила со стороны наведенного симметрично поверхности положительного заряда:
F (x) = − |
e2 |
− так называемая сила «электрического изображе- |
|
4x2 |
|||
|
|
ния», которая стремится вернуть вылетевший электрон обратно в металл. Зависимость потенциальной энергии можно выразить со-
отношением: U (x) = EF +eϕa − e2 . Те электроны, которые имеют
4x
перпендикулярную к поверхности составляющую энергии больше высоты потенциального барьера, будут уходить на бесконечность, т.е. эмитироваться с поверхности (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Энергетическая диаграмма, поясняющая механизм термоэмиссии
189
Таким образом, термоэмиссионный ток обусловлен «хвостом» функции распределения. При низких температурах таких электронов пренебрежимо мало. С ростом температуры «хвост» удлиняется, термоэмиссия растет.
Подсчитаем количество электронов с импульсами от px до px + dpx в единице объема:
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+∞ |
|
f (px , py , |
pz ) = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dpx ∫ ∫dpydpz |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dnx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
h3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
dpx |
∫ ∫ |
dpydpz |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
h3 |
|
|
|
E − EF |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
1 |
+ exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
dpx |
∫ ∫ |
dpydpz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
h3 |
|
|
p2 |
+ p2 |
+ p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
1+ exp |
|
x |
y |
z |
|
− E |
|
|
/ kT |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2me |
|
|
|
|
|
F |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для вычисления этого интеграла перейдем к полярной системе
координат: p2y + pz2 = ρ2 , |
dpydpz = ρdρdϕ , тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
∞ |
2π |
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ |
ρdρ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dnx = |
|
|
dpx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
h3 |
|
|
|
ρ2 |
−2m E |
F |
+ p2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1+exp |
|
|
|
e |
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2mekT |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
|
|
|
|
p2 −2m E |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
= x , |
|
|
x |
|
e |
|
= θ |
, |
|
|
|
|
||
|
|
2m kT |
|
2m kT |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πmekT |
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда |
dnx = |
|
dpx ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
h3 |
|
1+exp(x +θ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Умножим числитель и знаменатель дроби под интегралом на exp(−x −θ) :
|
4πmekT |
∞ d (exp(−x −θ)) |
||
dnx = − |
|
dpx ∫ |
|
. |
h3 |
1+exp(−x −θ) |
|||
|
|
0 |
|
|
Введем переменную ξ = exp(−x −θ) , тогда:
190