Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

тов заметна лишь при малых температурах, где они дают вклад в остаточное сопротивление, обусловленное факторами, не зависящими от температуры.

При наклепе и отжиге твердых растворов, даже слабоконцентрированных, их электрическое сопротивление изменяется в большей степени, чем сопротивление чистых металлов в тех же условиях; еще более значительно изменение электрического сопротивления при наклепе упорядоченных твердых растворов (рис. 1.81):

при наклепе порядок в расположении атомов вследствие относительного перемещения пачек скольжения и отдельных атомных плоскостей нарушается.

Пластическая деформация гетерогенных (неоднофазных) структур может и несколько увеличивать электропроводность – вследствие образования ориентированной структуры с частичным разрушением перегородок из плохопроводящей фазы.

При большом количестве статистически расположенных дефектов (аморфный металл) рассеяние приобретает коллективный характер. При этом правило Матиссена может нарушаться. По электропроводности аморфные металлы ближе к жидким металлам, чем к кристаллическим.

У аморфных металлических сплавов при ρ = (1...2) 10−4 Ом см, что в 2 – 3 раза превышает ρ соответствующих

кристаллических сплавов и слабо зависит от T. Это связано с особенностями структуры аморфных металлов. В кристаллических металлах длина свободного пробега электрона составляет примерно 50 периодов решетки даже при T, близкой к Тпл. Отсутствие дальнего порядка в металлических стеклах обусловливает малую длину свободного пробега, соизмеримую с межатомным расстоянием.

Электропроводность полупроводников

Электропроводность полупроводников в слабых электрических полях может быть обусловлена движением электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне; также возможна проводимость по примесям σ:

σ = eneμe + enhμh + σ′,

91

дырок.

Вслучае большой концентрации носителей заряда газ оказывается вырожденным; при этом подвижность почти не зависит от температуры.

Вболее важном случае невырожденного больцмановского распределения носителей заряда наиболее вероятна тепловая ско-

рость носителей заряда (для определенности электронов)

v = 8kBT(πm* ) 1 2 . Зависимость длины свободного пробега l от энергии электрона E может быть аппроксимирована в виде

l = AT p (E − EC )q , A = const , (1.40)

где EC – граница зоны (для электронов – зоны проводимости), а

числа p и q зависят от того, на чем (фононах, дефектах и т.д.) происходит рассеяние. Тогда после усреднения по энергиям можно

получить

μ = BT p+q−12.

Такая температурная зависимость содержит фактор T p из зависимости (1.40), фактор T q , полученный из (E − Ec)q при усреднении

(так как среднее отклонение энергии частиц от дна зоны – порядка T), а фактор Т –1/2 появился в результате деления на среднюю скорость. В частности, для рассеяния на продольных акустических (LA-) фононах при T > ΘD l пропорционально Т1 (числу фо-

нонов), т.е. p = –1, q = 0 и соответствующая подвижность μ = BT −32. При рассеянии на ионизованных дефектах длина пробега не зависит от температуры и обратно пропорциональна резерфордовскому сечению, т.е. (E – Eс)2, q = 2, p = 0, и μ пропорциональна Т3/2, кроме того, подвижность не зависит от знака заряда примеси. С двумя указанными (обычно основными) механизмами рассеяния на LA-фононах и ионизованных дефектах конкурируют и некоторые другие. Так, в ионных кристаллах при высоких температурах может оказаться основным рассеяние электронов на ТО-фононах, тогда значение μ пропорционально exp[=ωE (kBT )],

где ωE – характерная частота оптических фононов.

92

Значительно уменьшить подвижность электрона в полярном кристалле может образование полярона, который обладает большой m*.

Рассеяние в полупроводниках может быть обусловлено не только ионизованной, но и нейтральной примесью; сечение рассеяния обратно пропорционально скорости электрона, так что подвижность оказывается не зависящей от E и Т и примерно равной

μ ≈ e(20=a0n0 ), где n0 – концентрация примесей. Такое рассеяние

наиболее эффективно для быстрых электронов (которые меньше взаимодействуют с ионизованными примесями) при низких температурах (когда мало фононов).

Рассеяние происходит также на дислокациях (особенно если они оказываются заряженными), на границах зерен и др.

Электропроводность аморфных полупроводников

Предположим, что плотность состояний имеет вид, изображенный на рис. 1.34, б. В рамках этой модели в аморфном полупроводнике различают три механизма проводимости.

1. Проводимость, связанная с носителями, которые возбуждены в нелокализованном состоянии. В этом случае перенос осуществляется аналогично тому, как это имеет место в кристаллических полупроводниках. Опыт показывает, что во многих аморфных полупроводниках ток переносится дырками. Тогда

σ = σ0 exp[−(EF − EV )(kBT )],

где σ ≈100...500 Ом-1 см–1 не зависит от Т; при этом значение μ пропор-

ционально T −1.

Проводимость, связанная с носителями, возбужденными в локализованные состояния, расположенные в «хвостах» зон, т.е. вблизи EA или

EB (см. рис. 1.34, б). Если ток переносится также дырками, то проводи-

Прыжковая проводимость, связанная с носителями, которые совершают перескок между локализованными состояниями вблизи уровня Ферми с различными энергиями (рис. 1.82). Для прыжка в более высокоэнергетическое состояние электрон должен получить энергию E от фонона: при

Т = 0 К прыжковая проводимость равна нулю.

93

В прыжковой проводимости принимают участие только электроны с энергиями в интервале

порядка kBT около уровня Ферми.

Число таких электронов n = g (EF )kBT, где g (EF ) – плот-

ность состояний вблизи уровня Ферми. Вероятность перескока электрона пропорциональна фак-

тору Больцмана exp[− E (kBT )],

Рис. 1.82. О механизмах прыжковой

(перескоковой) проводимости где E – разность энергий, и за-

висит от перекрытия волновых функций. Отсюда прыжковая проводимость по локализованным состояниям вблизи уровня Ферми опреде-

ляется формулой Мотта:

σ = e2 pR2 g (EF ) .

vph ~ 1012...1013 c–1 – множитель, зависящий от спектра фононов; α – ко-

эффициент, зависящий от степени перекрытия волновых функций; R – расстояние, на которое осуществляется перескок.

Средняя энергия активации перескоков E тем меньше, чем выше плотность состояний. При сильной локализации электрон перескакивает лишь на ближайшее локализованное состояние, и тогда

94

Область 1 соответствует переносу по нелокализованным состояниям, 2 – по состояниям в «хвостах» зон, 3 и 3' – по локализованным состояниям вблизи уровня Ферми. При этом на участке 3' выполняется закон Мотта. Если плотность состояний, связанных с дефектами, велика, то следует ожидать, что не будет такого интервала температур, где процесс 2 был бы доминирующим. В этом случае участок 3 переходит в участок 1.

Электропроводность пористых полупроводников

У сильнолегированных полупроводников (оксидов с избытком металла) суммарный ток электропроводности складывается из тока, протекающего через объем кристаллов и контакты между ними; тока, проходящего по поверхности кристаллов; и, наконец, эмиссионного тока свободных электронов в порах оксидного слоя (рис. 1.84).

При низкой температуре электропроводность осуществляется в основном вследствие переноса электронов по приповерхностному слою кристаллов, который представляет собой, по существу, поверхностную зону вырожденного полупроводника, резко отличающуюся по своим свойствам от свойств объема. В высокотемпературной области электронный ток идет в основном по объему кристаллов (включая контакты между ними) и по порам слоя.

Электропроводность пористых слоев окислов чрезвычайно чувствительна к условиям приготовления образца, его пористости, плотности проходящего через слой тока, наличия и состава примесей и поверхностных пленок (рис. 1.85).

95

1.4.2. Теплопроводность твердых тел

Из анализа динамики электронной, фононной и фотонной составляющих плазмы твердого тела получены зависимости для теплопроводности металлов, полупроводников и диэлектриков.

Тепловая энергия в твердом теле передается в основном при переносе фононов, свободных электронов, фотонов.

В кинетической теории газов и газовой плазмы мощность потока тепловой энергии w при движении частиц

где λ – коэффициент теплопроводности,

здесь сумма берется по сортам частиц, переносящих энергию; CV – теплоемкость, v – скорость, l – средняя длина свободного пробега частиц. Фактор 1/3 связан с усреднением по направлениям движения частиц.

Длину пробега для данного сорта рассеяний ji выражают через эффективное сечение соударения Σji и концентрацию рассеи-

вающих центров ni :

l ji =1 (Σji ni ) .

Длину пробега частиц j определяют по длинам пробега l j относительно соударений с различными сортами рассеивателей:

l ji =1 ∑(1 l ji ) . i

Эти же выражения можно использовать при описании переноса энергии в плазме твердого тела.

Фононная теплопроводность

Фононная теплопроводность играет примерно ту же роль, что и теплопроводность вследствие наличия тяжелых частиц в газовой плазме; она существенна в диэлектриках и полупроводниках. Соответствующий коэффициент, согласно (1.42),

λph = CVg vphlph ,

96

где lph – средняя длина пробега фонона в решетке; vph – средняя ско-

рость фононов (при T << ΘD совпадающая со скоростью звука, а при T ≥ ΘD имеющая близкие к ней значения). В общем случае при вычислении lph следует сложить частоты соударений с фононами, дефектами

структуры, поверхностью кристалла и др.

Фонон-фононное рассеяние играет основную роль в правильных кристаллах при T ≥ ΘD . Если T ≥ ΘD , то число фононов N ph ~ T , С ≈ const,

поэтому λph T −1. Коэффициент пропорциональности может быть оценен

несколькими способами; удобным приближением является формула Дугдела и Макдоналъда для трехфононных процессов

λ−ph1 −ph = 9αγT (vsCV a) ,

где a – коэффициент линейного термического расширения; γ – параметр Грюнайзена; vs = (vL + 2vT )3 – средняя скорость звука (здесь vL – скорость продольных волн; vT – скорость поперечных волн); CV – удельная

теплоемкость при постоянном объеме.

Рассеяние фононов на электронах также дает вклад в решеточное теплосопротивление. Оценка величины и температурной зависимости этого вклада показывает, что при высоких температурах

λ−ph1 −ph = (ekB )2 ze2 (ρe−ph T ),

где ze – эффективное число электронов проводимости на атом; ρe−ph – электрон-фононный вклад в ρ.

Так как ρe−ph примерно пропорционально T, при высоких температурах

λph−e не зависит от температуры. В переходных металлах λ−ph1 −e может быть соизмеримым или даже большим, чем λ−ph1−ph . При низких темпера-

турах λ−ph1 −e пропорционально T 2 .

Столкновения между фононами без переброса не препятствуют тепловому потоку, так как при рассеянии фононы «передают» друг другу часть переносимой энергии, а также импульса как указателя направления перемещения этой энергии. Поэтому нормальные фонон-фононные рассеяния

не дают вклада в l ph, а при отсутствии других механизмов рассеяния (пра-

вильный кристалл больших размеров) теплопроводность могла бы неограниченно нарастать. Такой рост λph наблюдается при T << ΘD , когда про-

цессы переброса «вымораживаются», т.е. их вероятность стремится к ну-

97

теплосопротивления), а также сложная структура электронных зон и электронного спектра, и негладкий характер в пределах теплового слоя

(ширина которого порядка kBT ). Примером проявления последнего могут

служить межзонные s − d -переходы, существенно определяющие внешнее число Лоренца в переходных металлах.

Величина и вид температурных зависимостей L являются однозначными функциями плотности электронных состояний и ее производных (изменение фононного спектра учитывается зависимостью ΘD = ΘD (T ) ).

Проявление неупругого характера рассеяния при T ≥ ΘD также связано с рассеянием на магнонах. В модели Касуя L = L0 при T ≥TC (и так как ρ = AT + D , то λe = L0 (A + DT −1 ) , что обеспечивает рост теплопровод-

ности с температурой). Однако ниже точки Кюри L зависит от температуры вследствие проявления вкладов неупругого рассеяния.

В парамагнитных переходных металлах рассеяние на парамагнонах также имеет неупругий характер. L зависит от температуры и параметров широкой s- и узкой d-зон. При низких температурах теплосопротивление,

обусловленное парамагнонным рассеянием, изменяется как λe−−1 ph , про-

порциональное Т.

При высоких температурах L, связанное с рассеянием электронов на парамагнонах, меньше L0 и стремится к нему в пределе T → ∞ :

(LL0 )ρm ≈1(1+ T ) ,

( определяется параметрами s- и d-зон). Отметим, что для металлов, у которых уровень Ферми лежит вблизи максимума плотности состояний, моттовская составляющая, связанная с s – d-рассеянием, приводит к уве-

личению L по сравнению с L0 .

При низких температурах l меняется из-за возникновения больших различий во времени релаксации для электропроводности τσ и теплопровод-

ности τλ : при учете только нормальных электрон-фононных соударений

тых металлов при высоких температурах подчиняется закону Видемана – Франца – Лоренца: λe−−1i = ρi (L0T ) , где ρi – остаточное сопротивление.

С ростом Т этот вклад быстро убывает и для достаточно чистых металлов при не заметен на фоне других составляющих. Эксперименталь-

ные температурные зависимости теплопроводности металлов представлены на рис. 1.86.

99