Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

Из анализа (1.4) следует также, что кривая E = E(k) имеет разрывы при значениях k, кратных πa ; это условие соответствует целому числу длин волны де Бройля, укладывающихся на длине постоянной решетки: nλB 2 = a (n =1, 2, 3, ...), что совпадает с форму-

лой Вульфа – Брэгга, описывающей брэгговское отражение лучей от плоскостей кристаллической решетки; такая волна не может распространяться в кристалле из-за отражения.

Области значений k между точками брэгговского отражения называют зонами Бриллюэна. Для рассмотренной одномерной це-

и т.д. (представление расширенных зон Бриллюэна, рис. 1.5, а).

Из (1.4) видно, что E является периодической функцией от k с периодом 2 πa , т.е. зависимость E(k) неоднозначна, а форма кри-

вых зависимости E(k) для первой зоны Бриллюэна полностью повторяется при сдвиге на n2πa (рис. 1.5, б – представление повторяющихся зон), т.е. первая зона Бриллюэна содержит всю информацию о зависимости E = E(k). Это позволяет выразить энергию электрона, находящегося в любой зоне Бриллюэна, через значение k, лежащее в пределах первой зоны.

С ростом энергии E электрона ширина разрешенных зон увеличивается, а запрещенных уменьшается. Это соответствует более сильному расщеплению верхних, наружных, состояний электронов.

Прежде чем переходить к реальному трехмерному случаю, полезно рассмотреть еще одну гипотетическую двумерную решетку, например гексагональную.

Рис. 1.5. Различные варианты представления зонной структуры: а – представление расширенных зон Бриллюэна, б – повторяющихся, в – приведенных (цифры – номера зон)

11

Границы зоны Бриллюэна (в представлении расширенных зон),

соответствующие условию полного брэгговского отражения в (kx , ky )-

пространстве, показаны на рис. 1.6. На рис. 1.7 изображена параболи-

ческая зависимость E =k2(2m) для

свободных электронов. Рассмотрение двумерного анало-

га модели Кронига – Пенни дает «сглаживание» резких «складок» на

поверхностях зависимости E = E(k), приведенной к первой зоне Бриллюэна (рис. 1.8), что может приводить, в частности, к появлению запрещенных зон, как и в одномерной модели. Однако возможным становится и такой случай, когда запрещенная зона для движения в одном направлении не совпадает с запрещенной зоной для движения в другом, в результате в суммарном энергетическом спектре запрещенная зона пропадает из-за перекрытия двух разрешенных зон.

Рис. 1.7. Параболоид энергии для свободного электрона (E ~ k2) над двумерной гексагонной решеткой в k-пространстве (а); приведение параболоида к первой зоне Бриллюэна (б). Параболоид и k-плоскость разделены на зоны Бриллюэна в соответствии с рис. 1.6

12

Рис. 1.10. Иерархия дисперсионных зависимостей: I – свободные атомы; II – сильная связь; III – реальная ситуация; IV – почти свободные электроны; V – свободные электроны

Так как энергетические зоны можно представить как результат уширения уровней при сближении атомов (рис. 1.9) и имеется соответствие между дискретными состояниями изолированного атома и зонами Бриллюэна в твердом теле (рис. 1.10), считают, что одна зона происходит от 1s-состояний, одна – от 2s-, три – от 2p-, одна – от 3s-, пять – от 3d и т.д.

13

Приближения сильной связи и почти свободных электронов

Среди методов определения электронной структуры наиболее простыми являются методы, основанные на представлении периодического поля кристалла как малого возмущения. Если искажение атомных орбиталей при образовании кристалла не очень велико, то в реальных расчетах может применяться приближение сильной связи, в котором как исходные используются волновые функции изолированных атомов, а взаимодействие атомов в кристалле рассматривается как возмущение. В варианте этого приближения применяют в качестве волновых функций линейные комбинации атомных s-, p-, d-орбиталей (метод ЛКАО).

Противоположным предельным приближением, справедливым при большом перекрытии волновых функций, является метод почти свободных электронов (ПСЭ), где предполагается, что периодический потенциал создает малое возмущение соответствующих свободным электронам волновых функций, а потому именно они принимаются за нулевое приближение.

1.1.2. Движение электронов под действием внешних сил в кристалле

На основе дисперсионных зависимостей описаны характеристики движения электронов в твердом теле: динамические (скорость, эффективная масса, импульс) и статические (изоэнергетические поверхности, плотность состояний в пространстве энергии), определяющие транспортные свойства твердых тел.

Движение электрона в кристаллах, где на его состояние помимо внешнего поля существенно влияют взаимодействия с другими частицами, отличается от движения свободного электрона. Однако для описания поведения электрона в твердом теле уравнение движения удобно представить так же, как и для свободного электрона, т.е. в виде второго закона Ньютона.

При движении в силовом поле F скорость изменения энергии частицы

14

где vгр – скорость частицы, соответствующая групповой скорости волнового пакета:

( k – набла-вектор в k-пространстве; ω = E= – круговая частота колебаний). С учетом (1.5), (1.6) ускорение частицы

vгр dt = d ( k E=)dt =(1=) k dEdt =(1=) k Fvгр =

=∑ei ∑Fj∂2 E(∂k j∂ki )

il

Таким образом, вектор ускорения имеет компоненты

Сравнение (1.7) со вторым законом Ньютона показывает, что тензор с компонентами

my =2 ∂2E(∂k j∂ki )

имеет размерность массы; его называют тензором эффективной массы для электрона в периодическом поле (рис. 1.11). В твердых телах с сильной анизотропией все компоненты этого тензора отличны от нуля.

Так, в Ge и Si зона проводимости (рис. 1.12) описывается двумя значениями масс me* и me*|| :

E (k)= =22 (kx2 +ky2 )me* +kx2 me*|| .

Это уравнение эллипсоида вращения с большой полуосью, расположенной в Ge вдоль направления [111] и в Si вдоль [100]. Малая полуось эллипсоида располагается в произвольном направлении в перпендикулярной плоскости, например [001] и [010] в Si и [110] и [112] в Ge.

В ряде случаев (например, для кристаллов с кубической симметрией) обоснованно приближение изотропного твердого тела,

для которого my = 0 при i ≠ j , а диагональные компоненты my

15

Относительные массы частиц в Ge и Si

16

17

значением энергии образуют изоэнергетические поверхности в пространстве (рис. 1.13).

Наибольшую роль играют поверхности с энергией, равной энергии Ферми EF – поверхности Ферми (рис. 1.14, 1.15, электроны с

E = EF определяют многие макроскопические свойства кристал-

ской решетке такие сферы искажаются в большей или меньшей степени (см. рис. 1.14, в основном за счет того, что границы зон Бриллюэна пересекаются изоэнергетическими поверхностями под прямыми углами). Сложный вид приобретают изоэнергетические поверхности, выходящие за пределы первой зоны Бриллюэна, после их приведения к первой зоне (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Приведение сферы к первой зоне Бриллюэна: а – сфера в представлении повторяющихся зон; б – д – приведение к первой зоне от второй, третьей и четвертой зон Бриллюэна соответственно

18

Так, поверхность Ферми алюминия в представлении расширенных зон близка к сферической. Эта поверхность, однако, захватывает четыре зоны Бриллюэна и после отображения в первую зону образует составленную из отдельных изолированных участков многосвязную сложную поверхность.

Плотность состояний

В пространстве импульсов (которому соответствует k-прост- ранство в представлении расширенных зон) число состояний определяется волновыми свойствами электрона, приводящими к конечному размеру электрона в k-пространстве: число состояний –

удвоенное число элементарных объемов =3. Для двумерной системы

dζ = (2h2 )dpxdpy = 2(2π)2 dkxdky

(фактор 2 учитывает два направления спина). Таким образом, плотность состояний равномерно распределена по k-пространству. Для нахождения распределения частиц по энергии

dN dE = f (E )d ζdE

при известной функции распределения f(E) необходима плотность распределения не по импульсам, а по энергии g (E)= d ζdE :

где k E – градиент в трехмерном k-пространстве; F(E) – площадь

изоэнергетической поверхности.

Такое интегрирование проводится для каждой энергетической полосы; там, где полосы перекрываются (т.е. одной энергии соответствуют разные значения k), плотности состояний складываются (рис. 1.17). Для энергий из «запрещенных зон», которым не соответствует ни одно разрешенное состояние, плотность состояний обращается в нуль (рис. 1.18).

19