Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

Коэффициент поглощения æ – см. (1.87) – почти не зависит от ω и пропорционален a.

Высокочастотные излучения

Если электрическое поле меняется столь быстро, что электроны не успевают претерпевать соударения, т.е. если ωτ >1 (где τ – время свободного пробега свободных электронов в классической формуле для электропроводности σ = ne2 τm* , то возникает частотная зависимость электро-

проводности σ. В некоторых достаточно общих допущениях для этого случая на основе анализа кинетического уравнения Больцмана можно получить

где σ(0) – обычная статическая электропроводность металла. В высоко-

частотном пределе значение ε можно считать приближенно равным единице, поскольку описываемая этим фактором поляризация среды неэффективна из-за инерционности (оптическим частотам соответствуют быстропеременные поля). Тогда, подставив (1.97) в (1.85), (1.86), получают

Анализ (1.98), (1.99) показывает, что высокочастотная часть спектра разбивается на две подобласти: область релаксации с ω, лежащей в преде-

лах 1 τ < ω< ωpl , и область ультрафиолетовой прозрачности с

ω> ωpl . В области релаксации æ 1 (ω2σ) .

R≈1− 2(ωpl τ) ≤1.

Вкоротковолновой области ω> ωpl вещественная часть становится

положительной, отражательная способность спадает до нуля, æ спадает примерно как ω2pl (ω2τc) (рис. 1.121).

Межзонные переходы в металлах

Внутризонные переходы, описываемые рассмотренной ранее моделью свободных электронов, доминируют в некоторых простых металлах (рис. 1.122). Однако даже для них уже заметно влияние межзонных переходов, т.е. переходов с одной ветви дисперсионной зависимости E = E(k)

151

Пороговую энергию отсчитывают на дисперсионной зависимости E = E(k) по вертикали (т.е. при постоянстве k) от самого высокого занятого электронного состояния (вблизи уровня Ферми) до нижнего свободного состояния (рис. 1.124). При запороговых значениях энергии квантов становятся возможными переходы из состояний под уровнем Ферми в состояния над ним. Поглощение, отражение и другие оптические характеристики для ме-

152

талла при этом определяются как внутризонными, так и межзонными переходами, так что комплексная диэлектрическая проницаемость может быть представлена как

где ε1f и ε2f определяются из соотношений для газа свободных электронов, а ε1b и εb2 описывают вклад

межзонных переходов. В соответствии с соотношениями (1.88), (1.89) эти переходы вносят вклад не только в поглощение, но и в изменение коэффициента отражения.

В переходных металлах уровень Ферми пересекается d-состояниями, и переходы между различными полосами включаются уже при малых значениях энергии квантов (например, для Ni при =ω0 =0,3 эВ), и в этом

случае R ~ 0,3...0,5 (рис. 1.125), т.е. в

коротковолновой области =ω> =ω0

переходные металлы плохо отражают свет.

Межзонные переходы в рентгеновском спектре

При больших энергиях квантов

( =ω≥102...104 эВ) становятся возможными прямые переходы с участием низколежащих зон внутренних электронов, представляющих собой несколько уширенные атомарные уров-

ни. Переходы между внутренними уровнями и разрешенными зонами (валентной и проводимости) дают полосы поглощения в рентгеновском диапазоне, причем разница между металлами и диэлектриками для этого фотопроцесса несущественна: большую роль играет внутреннее строение атомов. У легких элементов с малым числом внутренних электронных орбиталей наиболее глубокие уровни по энергии соответствуют области вакуумного ультрафиолета и мягкого рентгена ( =ω 100...1000 эВ). Тяжелые элементы с большим зарядом ядра имеют более широкий энергетический

153

æ = (1c)(ω2pl ωτ)ω2τ(ω2τ + ω2 ).

В области частот, где отсутствует дисперсия

æ = (1c)ω2pl ωτ ω2

(формула Друде для коэффициента поглощения электронами проводимо-

сти), рис. 1.127.

Отклонения от классической модели Друде описываются в терминах комплексного удельного сопротивления ρ =1σ : в этой модели ρ(ω) рас-

падается на два члена, один из которых не зависит от частоты и определяется расстоянием, а другой не зависит от рассеяния – инерционный член

ρ(ω) = ωτ(ε0ω2pl )−iω(ε0ω2pl ) .

Кроме поглощения взаимодействие длинноволнового излучения с носителями заряда в полупроводнике приводит к отражению в соответствии с законом Хагена – Рубенса (1.96) (как и в металле), но коэффициент отражения здесь зависит от степени легирования (рис. 1.128).

Рис. 1.128. Коэффициент отражения Ge Рис. 1.127. Поглощение Друде при разных степенях легирования свободными носителями в

полупроводнике (Ge)

Примесное поглощение

Если примесный атом, создающий уровень в запрещенной зоне, нейтрален, то под действием кванта излучения электрон из валентной зоны может быть заброшен на акцепторный уровень или с донорного уровня – в зону проводимости. Такие переходы аналогичны фотоионизации в плазме

и сопровождаются поглощением в области частот ω≥ Ei = , где Ei – рас-

155

стояние от примесного уровня до границы запрещенной зоны. Спектр такого перехода представляет собой ступеньку, простирающуюся за пороговое значение =ω = Ei

в область больших энергий; как правило, сечение перехода максимально у порога.

У примесного атома могут возникать возбужденные состояния. Переходы между ними, между основным и возбужденными состояниями могут давать вклады в виде линий. Переходы между указанными уровнями и зонами (валентной проводимости) дают вклады в виде ступенек. К указанным состояниям и переходам нейтрального атома примеси добавляются спектры ионизованных примесных атомов.

Часто соответствующие линии сильно уширены, а края ступенек размыты (при росте концентрации примеси линии пре-

вращаются в полосы и зоны, см. разд. 1.1). Вклады уровней примеси про-

падает, и пропадает соответствующий вклад в спектры.

На рис. 1.129 видно, что одни переходы (длинные стрелки) имеют энергию, близкую к AEg , а другие (короткие стрелки) – намного меньше. Соот-

ветствующие вклады лежат вблизи порога фундаментального поглощения =ω = Eg (ближний инфракрасный и видимый диапазоны) и в далекой

инфракрасной области спектра.

Экситоны

Экситоны также имеют ряд уровней (основное и возбужденное состояния), расположенных у дна зоны проводимости, и дают подобные вклады в двух областях спектра – при =ω≤ Eg (образование экситона при фото-

возбуждении электрона валентной зоны) и в далеком инфракрасном диапазоне (фотораспад экситона с образованием свободных носителей заряда). Кроме уровней структурных дефектов, примесных, экситонных могут образовываться уровни комплексов – примесь-экситон и т.п.

В сильнолегированных вырожденных полупроводниках уровень Ферми расположен в глубине зоны проводимости (на E ). В этом случае невозможны переходы на занятые разрешенные уровни края этой зоны, т.е. видимый край фундаментального поглощения смещается в противо-

положном направлении – в сторону больших энергий квантов (примерно на

E).

156

Взаимодействие излучения с фононами

При взаимодействии кванта света с кристаллической решеткой возможны два механизма. В первом, однофононном, механизме каждый попадающий в кристалл фотон создает один фонон, причем, поскольку импульс фотона близок к нулю, создается фонон тоже с нулевым импульсом, т.е. один из оптических (поперечный или продольный) фононов (энергия

акустического фонона при k = 0 равна нулю). Во втором механизме каждый поглощенный фотон может привести к излучению или поглощению двух, трех и более как оптических, так и акустических фононов, сумма импульсов которых близка к нулю, а сумма энергий равна энергии фотона.

В области частот, где вносит вклад однофононное поглощение (однофононный резонанс, полоса остаточных лучей), т.е. в далекой инфракрасной области спектра, имеется связанный с этим процессом пик поглощения, а спектр отражения имеет отчетливо выраженные особенности, изменяясь почти от нуля до 100 %. Этот частотный интервал определяется зна-

чениями энергии оптических LO- и TO-фононов при k 0 − =ωL и =ωT . В

простейшем приближении одномерной двухатомной цепочки ионного кристалла, взаимодействующего со знакопеременным электрическим полем, можно показать, что

ε(ω) = ε(∞) 1−(ω2L − ωT2 )(ω2 − ωT2 ) ,

где ε(∞) – высокочастотная диэлектрическая проницаемость, ε(∞) = = ε(ω>> ωL ). В интервале частот ωT < ω < ωL показатель преломления N является чисто мнимой величиной, а коэффициент нормального отражения R = (N −1)(N +1)2 =1, т.е. кристалл отражает все падающее излучение (рис. 1.130, а). При учете первого из ангармонических членов в законе межатомного взаимодействия частотная зависимость ε(ω) принимает вид

(рис. 1.130, б)

ε(ω) = ε(∞) 1−(ω2L − ωT2 )iωγ(ω2 − ωT2 ) = ε1 + iε2 .

Многофононное поглощение

Аналогичные качественно, но более слабые пики поглощения и такие же особенности спектра отражения, как при однофононном поглощении, наблюдаются при частотах, соответствующих многофононному поглоще-

нию; эти частоты ωi лежат по обе стороны от ωT : ωi > ωT при испускании нескольких фононов; ωi < ωT , когда при поглощении фотона наряду с ис-

пусканием фононов поглощается один или несколько тепловых фононов Частоты ωi и волновые числа всех частиц, участвующих в акте взаи-

модействия, таковы, что выполняются законы сохранения энергии и квази-

157

трической проницаемостью

ε(0): ω− ≈ ω2pl ωT2 ω2L = ω2pl ε(∞).

При ωpl >> ωT высокочастотная

ветвь ω+ имеет в основном плазмон-поляритонный характер, ω+ ≈ ωpl , а низкочастотная

соответствует LO-фонон-поля- ритонам, экранированным сво-

ω = ωT атомы и электроны колеблются в фазе, а в ветви ω = ω− – в противофазе.

Результирующие спектры неметаллов

проводимости (пик 1 соответствует энергии d-зоны), во втором – со свободными электронами в зонах (подобно металлам). В третьем интервале основной механизм взаимодействия – межзонные вертикальные и невертикальные (с участием фононов) переходы. Кроме того, в спектрах поглощения достаточно чистого кристалла на границе третьего и четвертого интервалов (на краю основного поглощения) возможно возникновение экситонной линии 10 (или водородоподобной серии линий), линии 11, вызванной оптическим возбуждением комплексов, а также примесной поло-

сы 12.

Пики 2, 3, 4 соответствуют энергиям прямых (вертикальных) переходов между экстремальными точками зон. В четвертом интервале основной вклад дают внутризонные переходы (сплошной спектр 19, плазменный минимум 5 вблизи плазменного края 6) и фотоионизация примесных центров (совокупность линий 13). В пятом интервале и прилежащих к нему областях главный механизм – взаимодействие с колебаниями решетки кристалла (однофононный резонанс) – это полоса остаточных лучей 8 с минимумом 7. Справа и слева от полосы 8 в спектре поглощения могут возникать

159

более слабые линии, обязанные своим происхождением испусканиям или поглощениям нескольких фононов (колебаний решетки) под действием кванта света. Пики 14, 15 соответствуют суммарному механизму, когда под действием фотона испускается несколько фононов, а пики 16, 17 – разностному механизму, когда под действием кванта света одновременно испускаются и поглощаются два или более фононов.

Спектры отражения и поглощения в четвертом и пятом интервалах чувствительны к примесям и свободным носителям в кристалле. Край основного поглощения 18 у образца с большой концентрацией свободных носителей сдвигается в коротковолновую сторону, полосы 10, 11, 12 маскируются сильным поглощением свободными носителями. Полоса остаточных лучей в спектре отражения образца с большой концентрацией свободных носителей также маскируется сильным (как в металлах) отражением и поглощением свободных носителей. Энергия, при которой возникают особенности 5 и 6, непосредственно связана с концентрацией и эффективной массой носителей заряда в кристалле.

1.6.4. Магнитные свойства твердых тел

Магнитные свойства твердых тел определяются в основном ориентацией постоянных магнитных диполей, создаваемых элементарными токами в электронных оболочках атомов. Согласно закону Ампера, магнитный момент кругового витка с током, моделирующего электрон, движущийся по орбите со средним радиусом r и угловой частотой ω:

μ = er2ω2 .

Волновая природа электрона приводит к квантованию момента количества движения электрона mer2ω, который (момент) кратен

=, откуда следует, что магнитный момент, связанный с движением одного электрона, должен быть кратным магнетону Бора:

μB = =e(2me ) ..

Магнитный момент, связанный со спином электрона, также можно считать равным μB . В многоэлектронных атомах полный

магнитный момент μ является векторной суммой элементарных моментов, связанных как со спинами, так и с орбитальными движениями; в не целиком заполненных электронных оболочках μ может быть отличен от нуля, тогда атом и представляет собой магнитный диполь.

160