Курнаев Введение в пучковую електронику 2008

(электрон-фононного, нейтрон-фононного – при торможении нейтрона и т.п.), когда один фонон при сохранении квазиимпульса получит значение q, выходящее за пределы первой зоны Бриллюэна. При U-процессах избыточный импульс =G передается кристаллу как целому, закон сохранения импульса выполняется. Процессы переброса можно представить себе как рождение (или уничтожение) фонона с одновременным брэгговским отражением, при котором «избыточный» импульс =G передается сразу многим атомам решетки.

Рис. 1.48. Процесс переброса при фонон-фононном взаимодействии: а – в представлении повторяющихся зон; б – после приведения к первой зоне Бриллюэна

Процессы фонон-фононного взаимодействия связаны с ангармонизмом колебаний, т.е. с отличиями формы трехмерной потенциальной ямы для иона от соответствующей закону Гука (в которой потенциал пропорционален квадрату смещения). В анизотропном кристалле параметры фононфононного рассеяния носят тензорный характер и определяются фурьеобразом тензора ангармонического члена в потенциале иона (ангармонический член характеризует отличие потенциальной ямы от соответствующей закону Гука и является тензорной величиной, так как в разных направлениях это отличие может быть различным). При заданных параметрах двух уничтожающихся и одного рождающегося фононов частота рассеяний пропорциональна числу фононов, при трех уничтожающихся – квадрату числа фононов и т.д.

Зависимость E от q для фононов, подобно дисперсионной зависимости для электронов в кристаллах, определяет многие свойства фононов. Как и в случае электронов, она периодична в q-пространстве, и достаточно ограничиться первой зоной Бриллюэна, форма которой совпадает с ячейкой Вигнера – Зейтца в обратном пространстве. Зависимость E = E(q) также неоднозначна и состоит из ряда ветвей. Число ветвей равно 3r (где r – число атомов в базисе), каждая из которых задает однозначную функцио-

нальную зависимость ω= ω(q) . Поскольку при любом заданном (квазиди-

скретном) значении q существует несколько состояний фононов, соответствующих разным ветвям, они имеют разные частоты ω и разные константы взаимодействия с другими колебаниями. Поэтому в зависимости от характеристик ветви колебания при таких значениях q, когда колебания –

51

чисто продольные или чисто поперечные, различают продольные (L, Longitudinal) и поперечные (T, Transversal), а также акустические (А) и оптические (О) фононы, т.е. ТА-, ТО-, LА-, LO-фононы.

Число мод оптических фононов равно 3(r – 1), оно может быть весьма большим в кристаллах с многоатомным базисом, например органических кристаллах (где имеется много мод внутримолекулярных колебаний). В изотропной среде групповые скорости (скорости фононов) не зависят от направления, так что поверхности равной частоты в q-пространстве имеют сферический вид; поскольку продольные колебания имеют большую скорость звука, сферы для продольных фононов при той же энергии больше, чем для поперечных (рис. 1.49, а). В кристалле упругие свойства обычно оказываются анизотропными, и потому форма поверхности постоянной частоты может значительно отличаться от сферической, причем поперечные фононы с различными поляризациями имеют разные изоэнергетические поверхности (кроме некоторых направлений высокой симметрии), рис. 1.49, б. К границам зон Бриллюэна изоэнергетические поверхности (определенные для каждой ветви колебаний отдельно) подходят под прямым углом, причем искажение за счет брэгговского отражения сфер, соответствующих свободным фононам, происходит аналогично искажению электронных изоэнергетических поверхностей (рис. 1.50):

∂N p ∂E = fBE ∂ζph ∂(=ω)= g (ω){exp =ω(kBT ) −1}=,

где fBE – функция распределения Бозе – Эйнштейна; ∂ζph ∂(=ω)= = g (ω) – плотность состояний фононов.

Плотность состояний

В решетке конечного размера число различающихся мод колебаний (число различающихся фононов) ограничено. Чтобы понять закономерность распределения этих мод по частотам (или волновым векторам q),

52

вновь рассмотрим линейную цепочку N + 1 атомов длиной Na . На этой цепочке могут возбудиться только такие колебания (продольные или поперечные), для которых на Na уложится 1, 2, 3,…, N полуволн. Соответст-

вующие волновые числа q = π(Na),2π(Na),...,πa разделены одинаковыми интервалами q = π(Na) = 2π4 , которые при N → ∞ стремятся к нулю. Число состояний в области от q до q + dq равно (Naπ)dq , а на

единицу длины одномерного кристалла в интервале dq распределение g(q) плотности состояний по модулю | q | имеет вид

(dζd q )d q = g ( q )d q = 2Ld q(2πL) = d qπ, q < πa; g ( q )d q = Φ, q > πa.

Плотность состояний (на единицу длины и единичный интервал | q |) равномерно распределена по отрезку 0 < q < πa . Аналогичная ситуация

имеет место в трехмерном случае: состояния расположены равномерно по зоне Бриллюэна в q-пространстве, причем каждому состоянию соответст-

т.е. плотность состояний полностью определяется дисперсионными зависимостями ω= ω(q) .

Для зависимости ω от q в соответствии с (1.18), (1.19)

тывалась только одна ветвь колебаний, однако даже в одноатомных кристаллах имеется одна ветвь продольных и две ветви поперечных колебаний. Соответствующие разным ветвям плотности состояний должны быть сложены. Такое описание плотности состояния известно как модель Дебая.

Окончательно для малых частот ωωmax из (1.29) в пренебрежении отличиями скоростей продольных и поперечных колебаний vL = vT = vT = v0 в модели Дебая получают

53

Зависимости g (ω) в реальных кристаллах заметно отличаются от зако-

на (1.30): они являются суммой вкладов от целого ряда ветвей колебаний, если достаточно мала ширина частотного интервала, где ветвь дает вклад

в g (ω) , т.е. колебательная ветвь почти горизонтальна (например, оптиче-

ская). В этом случае можно пренебречь разницей в частоте и считать вклад данной полосы дельта-функцией частоты при ω = ωE (рис. 1.51).

Такое простейшее приближение называют моделью Эйнштейна. При частотах, где ∂E∂ω = 0 , на фукнции g = g (ω) имеются резкие перегибы

(особенности Ван Хова), там велик знаменатель в (1.26), или, другими словами, малому интервалу m соответствуют большие объемы q-про- странства.

Рис. 1.51. Дисперсионное соотношение для оптической ветви колебаний (а), соответствующая плотность состояний (б) и модель Эйнштейна (в)

Суммарное число состояний на единицу объема в каждой полосе, соответствующей одной ветви колебаний, известно и равно N (где N – число элементарных ячеек на единицу объема в кристалле), т.е. плотность состояний в полосе нормирована:

∞

∫ g (ω)dω = N .

0

Если полоса расположена между ωmin и ωm , то эти величины можно

взять за пределы интегрирования. В частности, в модели Дебая, где суммируются три полосы колебательного спектра, можно найти верхний пре-

54

Характерную максимальную энергию фононов =ωD – подгоночный па-

раметр модели Дебая – можно выразить через температурные единицы,

что дает температуру Дебая

θD = =ωD kB ,

(сфера радиусом qD занимает в q-пространстве тот же объем, что и зона Бриллюэна). Фононы с волновым числом q ≈ qD , частотой ω ≈ ωD , энергией E ≈ kBθD находятся вблизи границ зоны Бриллюэна.

Учитывая связь плотности состояний по модели Дебая с распределением фононов по энергиям и свойства функции Бозе – Эйнштейна fBE , легко

заключить, что при T < θD таких приграничных фононов практически не

будет (высокоэнергетическая часть спектра будет «зарезана» экспоненциальным фактором в fBE в области =ω < kBT ):

спектр имеет максимум при ω kBT = , т.е. при росте температуры сдвигается в высокоэнергетическую область. При T ≥ θD условие =ω< kBT выполняется почти для всех фононов, т.е. распределение почти до ω = ωm соответствует (1.31), максимум ∂N∂E находится на ω= ωm , а форма

спектра фононов не зависит от температуры – при неизменном распределении N ph по энергиям пропорционально температуре увеличивается

число фононов. При этом большинство фононов имеют волновые векторы вблизи границ зоны Бриллюэна q ≈ qD , а при T << θD таких высокоэнер-

гетичных фононов нет, и волновые векторы q, qD лежат у середины зоны Бриллюэна. Поскольку фононы с q qD и q < qD по-разному взаимодействуют друг с другом и с электронами, процессы переноса (теплопроводность, электропроводность и др.) различны при T << θD и T > θD .

При T ≥ θD у большей части фононов длина волны составляет порядка нескольких межатомных расстояний, а при T << θD длины волн фононов могут быть гораздо больше и по порядку величины равны aθD T .

Несмотря на то, что в модели Дебая используется довольно грубое упрощение спектра (рис. 1.52), а θD является подгоночным параметром, эту

величину часто используют для характеристики степени заполнения фононами спектра состояний. Для уточнения иногда полагают θD зависящей

55

от Т (рис. 1.53). Хорошее приближение дает также сочетание модели Дебая для акустических фононов и модели Эйнштейна – для оптических.

Плазмоны и экранированные электроны

Вследствие кулоновского отталкивания средняя плотность электронного заряда около данного электрона понижена, т.е. вокруг электрона образуется область распределенного некомпенсированного положительного заряда. Это приводит к ослаблению, экранированию дальнодействующей составляющей кулоновского поля точечного заряда.

В результате коллективно взаимодействующий электронный газ можно представить как газ слабо взаимодействующих друг с другом, но экранированных зарядов и газ слабо взаимодействующих друг с другом плазмонов. Плазмоны являются бозе-частицами,

энергия плазмона =ωpl определяется плазменной частотой колеба-

а импульс p = =k – волновым вектором k.

Экранирование соответствует исключению из фурье-разложения кулоновского потенциала длинноволновых мод k < kc; экраниро-

56

1023 см–3, и ωpl , согласно (1.32), составляет 10...30 эВ (табл. 1.6).

В неметаллах также возможны колебания с участием всех валентных электронов (так, для C, Si, Ge – по четыре на атом).

Из-за квантованности плазмоны не могут возбуждаться при нагреве (когда характерные порции энергии теплового возбуждения слишком малы). Возбуждение плазмонов происходит, например, при движении по кристаллу высокоэнергетичных (E ≥10...20 эВ)

электронов, при этом последние теряют порции энергии =ωpl , 2=ωpl и т.п. В отсутствие таких источников возбуждения

плазмоны не появляются, однако при этом вместо квазисвободных электронов с кулоновским взаимодействием следует рассматривать электроны с экранированным потенциалом – см. (1.4).

Таблица 1.6

Энергия плазмонов

В собственных полупроводниках возможны также низкочастотные плазменные колебания с Ne , соответствующей концентрации

57

электронов проводимости, которая гораздо меньше атомной; энергия таких плазмонов составляет порядка 0,01 эВ (инфракрасный диапазон волн). Плазменную частоту в этом случае определяют с учетом диэлектрической проницаемости ε:

ωpl = e 2 Ne(m*εε0 ) 12 .

Анизотропия решетки сказывается на свойствах плазмонов

(см. рис. 1.54).

реходных металлов и полупроводниках с узкой зоной проводимости, электроны проводимости находятся именно в поляронном состоянии. Поляроны, созданные электроном и дыркой, могут объединяться в систему из двух связанных поляронов – «поляронный» экситон. Поскольку искажение (деформация) решетки связано с движением фононов, считают, что электрон окружен облаком виртуальных оптических фононов, которые вместе с электроном образуют квазичастицу – полярон.

58

Эта квазичастица характеризуется импульсом =k . Дисперсионное соотношение для большого полярона (т.е. с размером поляризованного облака существенно большим, чем порядок решетки) в приближении непрерывной среды при малых k имеет вид

где ωL – частота продольных оптических колебаний при k = 0; mpol –

масса полярона; постоянная α, равная удвоенному среднему числу виртуальных фононов, имеет вид

rp ≥ α , и mpol >> m*. Электрон в малом поляроне создает себе в результате поляризации потенциальную яму глубиной

E′ = α2=ωL 4 .

Экситоны

Под экситоном понимают электрически нейтральное элементарное возбуждение в кристалле, обусловленное появлением пары связанных друг с другом электрона и дырки. Если энергия возбуждения электрона валентной зоны меньше ширины запрещенной зоны, то он не сможет перейти в зону проводимости, однако электрон способен удалиться от атома, оставаясь связанным силами притяжения с образовавшейся дыркой. Связанная пара электрон-дырка может перемещаться вдоль кристалла, но, будучи электрически нейтральной, не создает тока. В то же время такая пара, как и любая квазичастица, обладает энергией и квазиимпульсом. Движение экситонов вызывает перенос энергии в решетке.

Энергия экситона квантована и характеризуется набором дискретных квантовых чисел, энергетические уровни располагаются в запрещенной зоне, причем они не являются локальными, поскольку экситонное состояние соответствует возбуждению всего кристалла. Увеличение энергии экситона сопровождается переходом на более высокие энергетические уровни, и при достаточной энергии электронно-дырочная пара разрывается с образованием свободных электрона в зоне проводимости и дырки в валентной зоне.

59

При образовании экситонного состояния существенную роль играет величина энергии связи между электроном и дыркой. Выделяют две различные модели, соответствующие предельным случаям. Экситон характеризуется волновым вектором k, соответствующим движению экситона как целого, и расстоянием между электроном и дыркой β; экситоны подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, образуя бозе-конденсат, экситонные молекулы, электрон-дырочные капли.

Экситон с удаленными друг от друга частицами β >> a – экситон Ваннье – рассматривается как два заряда, находящихся в среде с диэлек-

трической проницаемостью ε и взаимодействующих по кулоновскому закону, т.е. как водородоподобный атом, но с малой массой ядра (сравнимой с

массой электрона) и с уменьшенными в ε2 раз силами притяжения. Энергия экситона Ваннье

E = Eg −μe4(32π2ε02ε2=2n2 )+ = 2 k2 2(me* + mh* ) , (1.35)

где первый член – ширина запрещенной зоны, второй – энергия связи, третий – кинетическая энергия движения экситона; μ – приведенная масса,

μ−1 = (me* )−1 +(mh* )−1 ; n =1, 2, 3,... – квантовое число, характеризующее

энергетический уровень экситона (рис. 1.57). Радиус экситона с квантовым числом n выражается формулой

В результате либо образуются свободный электрон и дырка, либо испускается фотон, а избыточная энергия передается решетке.

60