Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

начальной и конечной частиц-мишеней. Согласно теореме из раздела 6.4, амплитуду Mνμ можно записать в виде

(2p)-3 Msnm¢,s (q; p¢, p) = z d4x eiq×x dYp¢,s¢ , T{Jn (0), Jm (x)}Yp,s i + . . . (13.5.2)

ãäå Jμ(x) — электромагнитный ток, а точки указывают на возмож-

ные слагаемые, изображаемые диаграммой типа «чайка», типа тех, которые возникают в теории заряженных скалярных полей, когда два фотона взаимодействуют не с отдельными токами, а в одной вершине. Повторим теперь стандартные аргументы полологии, изложенные в гл. 10 и уже использовавшиеся в разделе 13.1. Вставляя полный набор промежуточных состояний между операторами токов в правой части (13.5.2), интегрируя по x и выделяя одночастичные промежуточные состояния, получим:

à Nνμ представляет вклад всех других состояний кроме одночастич-

ных и любых слагаемых, изображаемых диаграммами типа «чайка». (Формулу (13.5.3) следует понимать в смысле матричного умножения, с не выписанными явно спиновыми индексами.) Относительно Nνμ мы знаем очень мало, не считая того, что эта величина не содержит сингулярности при qμ ® 0, явно представленной первыми

двумя слагаемыми, и поэтому может быть разложена в ряд по степеням qμ.

Используем теперь условие сохранения тока (или калибровоч- ную инвариантность):

В применении к (13.5.3) эти условия приводят к желаемому условию на Nνμ:

qμNνμ (q; p¢, p) = -Gν (p¢, p¢ + q)G0 (p + q, p) + G0 (p¢, p¢ - q)Gν (p¢ - q, p) .

(13.5.8) Заметим также, что Mνμ удовлетворяет условию «кросс-симметрии»:

и так как полюсные слагаемые в (13.5.3) очевидно ему удовлетворяют, это же верно и для Nνμ:

Мы воспользуемся этими соотношениями для нахождения первых членов в разложении Nνμ по степеням импульсов.

Прежде всего, следует что-то сказать о разложении одночастичных матричных элементов тока Gμ(p¢,p) по степеням импульсов р и р¢. Инвариантность относительно пространственного отражения

(если, конечно, она имеет место) требует, чтобы разложение G0 è Gi (i = 1,2,3) содержало слагаемые соответственно только четного или нечетного порядка по импульсам. Согласно формуле (10.6.3), слагаемое нулевого порядка по импульсам в G0σ¢,σ равно edσ¢,σ, ãäå

е — заряд частицы. Тогда из условия сохранения тока вытекает, что во втором порядке по импульсам

Следовательно, слагаемые в G первого порядка по импульсам имеют вид e(p¢ + p)dσ¢,σ/2m плюс возможное слагаемое первого порядка, ортогональное к (р¢ - р). Из инвариантности относительно вра-

щений вытекает, что это слагаемое должно быть пропорционально (р¢ - ð) ´ Jσ¢,σ, ãäå J - знакомая спиновая матрица заряженной час-

тицы. Суммируя все результаты, имеем следующее разложение:

где «1» — единичная спиновая матрица, а слова «квадратичные» и «кубичные» означают порядок отброшенных слагаемых по степеням малых импульсов р и р′. Коэффициент μ/j в (13.5.2) действителен, т. к. ток эрмитов. Если коэффициенты записаны в указанном виде (j − спин заряженной частицы), то μ − величина, известная как магнит-

ный момент частицы.

Обратимся теперь к Nνμ и рассмотрим разложение равенства (13.5.8) по степеням малых импульсов qμ, p è ð′. Полагая n = 0 в (13.5.8), видим, что qμN0μ по крайней мере квадратично по этим ма-

лым величинам. Не существует постоянного вектора, ортогонального qμ, òàê ÷òî N0μ должно быть по крайней мере первого порядка по малым импульсам. Тогда из условия кросс−симметрии (13.5.10) вы-

текает, что Ni0 также должно быть по крайней мере первого порядка по малым импульсам. Полагая μ = i в (13.5.8) и учитывая (13.3.12),

получаем:

Òàê êàê Gi − по меньшей мере первого порядка по малым им-

пульсам, то так же ведут себя полюсные слагаемые в формуле (13.5.3) для Gik. Таким образом, в нулевом порядке остается единственное

неполюсное слагаемое Nik:

С помощью этого выражения можно вычислить сечение рассеяния мягких фотонов. Но нет нужды реально проводить это вычисление. Ведь теперь мы знаем, что амплитуда рассеяния фотонов в пределе нулевого импульса зависит только от массы и заряда частицы-ми- шени и квадратична по заряду. Поэтому мы можем немедленно использовать результаты любого расчета сечения рассеяния фотонов на частицах любого спина во втором порядке теории возмущений,

например, результат (8.7.42) для дифференциального сечения рассеяния фотонов в квантовой электродинамике:

Теперь видно, что эта формула универсальна и верна в низкоэнергетическом пределе для частиц-мишеней массой m и зарядом е произвольного типа и спина, даже если эти частицы составные и сильновзаимодействующие, например, атомные ядра. Гелл-Манн, Гольдбергер и Лоу8 показали, что эти результаты можно расширить и получить следующее за главным слагаемое в разложении амплитуды рассеяния мягких фотонов, выразив его через массу, заряд и магнитный момент частицы-мишени.

13.6. Приближение внешнего поля*

Интуитивно очевидно, что тяжелая заряженная частица вроде ядра атома приближенно может рассматриваться как источник классического внешнего поля. В этом разделе мы покажем, как обосновать такое приближение, и выскажем соображения о границах его применимости.

Рассмотрим фейнмановскую диаграмму или ту ее часть, где с проходящей через всю диаграмму от начального до конечного состояний линии тяжелой заряженной частицы испускаются N лежащих вне массовой поверхности фотонов с 4-импульсами q1, q2, ..., qN и поляризационными индексами μ1, μ2, ..., μN. Сумма всех таких

диаграмм или поддиаграмм (без N фотонных пропагаторов) приводит к амплитуде

=G ms1¢,,sm2 ,...,mN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ,

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении

где матричный элемент вычислен с учетом всех взаимодействий, в которых может принимать участие тяжелая частица, включая сильные ядерные взаимодействия. Такая амплитуда имеет кратный полюс при q1, q2, ..., qN ® 0, возникающий от слагаемых в матричных

элементах произведения токов, в которых промежуточные состояния содержат точно такую же тяжелую частицу, как начальное и конечное состояния. Когда все компоненты q1, q2, ..., qN малы по сравнению со всеми энергиями и импульсами, связанными с динамикой (возможно, составной) тяжелой частицы, этот кратный полюс доминирует в (13.6.1). С помощью методов раздела 10.2 находим *:

à “+ перестановки” означают, что производится суммирование по

всем перестановкам N фотонов. Для применений к атомным системам важно заметить, что (13.6.1) годится для частиц произвольного спина, имеющих, как атомные ядра, и сильные, и электромагнитные взаимодействия.

* В теории возмущений знаменатели происходят от знаменателей пропагаторов:

в то время как числители пропагаторов содержат множители åuu†, приво-

дящие вместе с матрицами в вершинах испускания фотонов к матричным элементам (13.6.3). Матрица G μ отличается от матрицы Gμ из предыдущего

раздела множителем 2р0.

Отметим также, что для частиц произвольного спина и заряда Ze матричные элементы электрического тока между состояниями с одинаковыми 4-импульсами имеют вид *

Важно, что все матрицы (13.6.5) коммутируют, так что их произведение может быть вынесено за скобки в сумме по перестановкам:

+перестановки .

Âстаршем порядке по q дельта-функцию можно записать в виде:

d4 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p) =

p0d3 (p¢ + q1 +. . .+qN - p)d(p × (q1 + q2 +. . .+qN )) .

(13.6.7)

К счастью, оказывается, что результат суммирования в этом случае значительно проще чем отдельные слагаемые. При p×(q1 + q2 + ... + qN) = 0 находим:

* Легче всего это доказывается следующим образом. Во-первых, в той системе отсчета, где частица покоится, из требования инвариантности относительно вращений следует, что пространственные компоненты матрич- ных элементов тока обращаются в нуль, а временная компонента пропорциональна δσ′,σ, и более никуда зависимость от σ′ è σ не входит. Во-вто-

рых, константа пропорциональности находится из (10.6.3), после чего преобразование Лоренца приводит к (13.6.4).

Общая формула (13.6.8) может быть легче всего получена как фу- рье-преобразование тождества

θ(τ1 − τ2)θ(τ2 − τ3). . . θ(τN−1 − τN) + перестановки = 1.

Подставляя (13.6.8) в (13.6.6), приходим к окончательному выражению для амплитуды (13.6.1):

G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® (Ze)N (2p)N dσ′σpμ1 pμ2 . . . pμN

(13.6.9)

´ d3 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p)d(p × q1)d(p × q2 ). . . d(p × qN ) .

Этот результат применим как к релятивистским, так и к медленно движущимся тяжелым частицам, и может быть использован при выводе приближенной формулы Вейцзеккера−Вильямса9 äëÿ ðàñ-

сеяния заряженных частиц. В частном случае нерелятивистской тяжелой заряженной частицы с |p| n p0 формула (13.6.9) дополнительно упрощается:

G μσ1′,,σμ2 ,...,μN (q1, q2 , . . . , qN ; p) ® (Ze)N (2p)N nμ1 nμ2 . . . nμN

(13.6.10)

´ d3 (p¢ + q1 + q2 +. . .+qN - p)d(q10 )d(q20 ). . . d(qN0 )dσ′σ ,

где n — единичный времениподобный вектор,

n0 = 1, n = 0.

Предположим теперь, что в начальном и конечном состояниях присутствует одна тяжелая нерелятивистская частица * зарядом Ze и нормированной волновой функцией в импульсном представлении χσ(p). Используя фурье−представление дельта-функции в (13.6.9),

находим, что матричный элемент G для такого состояния имеет вид

Поэтому, в силу факторизации правой части выражения (13.6.11), результат добавления тяжелой заряженной частицы в данном состоянии с точки зрения фейнмановских правил в импульсном пространстве эквивалентен добавлению любого числа вершин нового типа. В этих вершинах легкие дираковские частицы зарядом −å,

например, электроны, взаимодействуют с внешним полем, причем каждая такая вершина вносит в полную амплитуду множитель ** (теперь уже учтены как фотонный пропагатор, так и электрон−

фотонная вершина)

(13.6.13)

ãäå k è k′ − начальный и конечный 4-импульсы электрона. Полная

амплитуда рассеяния должна быть усреднена по координате тяжелой

* Имеется в виду — помимо легких частиц. — Прим. ред.

** Первый множитель здесь − обычный множитель i, сопровождающий

по фейнмановским правилам константы в лагранжиане взаимодействия тяжелой заряженной частицы.

частицы Х с весовой функцией åσ|yσ(X)|2. Множитель (13.6.13) экви-

валентен тому, который возник бы из-за нового слагаемого в лагранжиане взаимодействия:

Естественно, это сводится к обычному кулоновскому потенциалу:

Если тяжелых заряженных частиц несколько (как в случае молекулы), следует выразить А μ(x) как сумму слагаемых типа (13.6.16),

каждое со своим зарядом Ze и координатой X.

Полезно представлять, какие диаграммы суммируются при использовании приближения внешнего поля. Рассмотрим взаимодействие отдельного электрона (неважно, релятивистского или нет) с отдельной тяжелой заряженной частицей, например, протоном или дейтроном. Если пренебречь всеми другими взаимодействиями, то фейнмановские диаграммы рассеяния электрона за счет взаимодействия с внешним полем содержат произвольное число вставок вершин внешнее поле-электрон (13.6.14) в электронную линию (рис. 13.4).

Но, как следует из суммы по перестановками в формуле (13.6.2), такие диаграммы в приближении внешнего поля возникают из диаграмм лежащей в основе этого приближения теории, где фотонные линии, подсоединенные к электронной линии, подсоединяются к линии тяжелой частицы всеми возможными способами (рис. 13.5). «Непересекающиеся лестничные диаграммы» (обозначенные буквой L) на рис. 13.5 не являются доминирующими в этой сумме, если только электрон и тяжелая заряженная частица не являются нерелятивистскими. (Такие диаграммы на языке старой теории возмущений содержат вклады от промежуточных состояний, в которых присутствуют