Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå Di - параметр, характеризующий взаимодействия i-ого типа:

Этот результат можно было бы получить путем простого размерного анализа, не прибегая к рассмотрению структуры фейнмановских диаграмм. Пропагатор поля есть четырехмерный фурьеобраз среднего по вакууму от хронологического произведения пары свободных полей, так что обычным образом нормированное поле f, (массовая) размерность * которого равна Df, имеет пропагатор размерности -4 + 2Df . Поэтому, если пропагатор ведет себя как k−2+2sf ,

при k много большем массы, то поле должно иметь размерность -4 + 2Df = -2 + 2sf, èëè Df = 1 + sf. Ваимодействие типа i, включа-

þùåå nif таких полей и di производных, будет иметь размерность di + åfnif(1 + sf). Но действие должно быть безразмерно, поэтому

каждое слагаемое в плотности лагранжиана должно иметь размерность +4, чтобы сократить размерность - 4 элемента объема d4x.

Отсюда следует, что константа связи данного взаимодействия должна иметь размерность 4 - di - åfnif(1 + sf), что как раз равно параметру Di. Амплитуда в импульсном пространстве, отвечающая связной

диаграмме Фейнмана с Ef внешними линиями типа f есть фурьепреобразование по 4åfEf координатам среднего по вакууму от

хронологического произведения полей с полной размерностью åfEf(1 + sf), так что она имеет размерность åfEf(-3 + sf). В этом выражении -4 приходится на размерности дельта-функции в импульсном пространстве, а åfEf(-2 + 2sf) — на размерность пропага-

торов внешних линий, так что суммарная размерность интеграла по импульсному пространству вместе со всеми константами связи равна

* В этой главе под словом «размерность» всегда подразумевается массовая или импульсная размерность ** в степенях массы или импульса в системе единиц, где $ = с = 1. Мы используем общепринятую нормировку полей, в том смысле, что слагаемое в лагранжиане свободного поля с наибольшим числом производных (определяющее асимптотическое поведение пропагатора) имеет безразмерный коэффициент.

** Т. е. размерность такой же степени массы или импульса. Англоязычный термин dimensionality in powers of momentum имеет устойчивый русскоязычный эквивалент массовая, или импульсная, размерность. — Прим. ред.

680 Глава 12. Общая теория перенормировок

åEf (-3 + sf ) - (-4) - åEf (-2 + 2sf ) = 4 - åEf (sf + 1) .

f f f

Полная размерность всех констант связи для заданной фейнмановской диаграммы равна åiNiDi, так что размерность собственно интеграла по импульсному пространству есть 4 - åfEf(sf + 1) - åiNiDi.

Поскольку нас интересует область интегрирования, в которой все импульсы совместно стремятся к бесконечности, индекс расходимости интеграла по импульсам равен его размерности. Это и подтверждает формулу (12.1.8).

Если для всех взаимодействий параметры Di ³ 0, формула

(12.1.8) дает верхнюю границу D, зависящую только от числа внешних линий каждого типа, т. е. от физического процесса, ам-

f

Например, для простого варианта квантовой электродинамики, рассмотренного в предыдущей главе, в табл. 12.1 приведены типы слагаемых в лагранжиане. Для всех взаимодействий здесь Di ³ 0, и поэтому фейнмановская диаграмма с Eγ внешними фотон-

ными линиями и Ee внешними дираковскими линиями будет иметь индекс расходимости, ограниченный условием (12.1.10):

Таким образом, только конечное число типов диаграмм с определенными наборами внешних линий может оказаться расходящимся. Все они будут перечислены в разделе 12.2. Мы собираемся показать, что в теориях, где размерности констант связи Di ³ 0 для всех взаимодействий и где число типов расходящихся

диаграмм ограничено, все расходимости автоматически устраняются переопределением конечного числа физических констант и перенормировкой полей. По этой причине такие теории называют перенормируемыми. В разделе 12.3 мы перечислим все перенормируемые теории и обсудим значение перенормируемости как критерия отбора физических теорий.

Термин «перенормируемое» применим также к отдельным взаимодействиям. Перенормируемые взаимодействия — это те,

у которых параметр Di ³ 0, т. е. взаимодействия, константы связи

которых имеют неотрицательную размерность. Иногда различают взаимодействия с Di = 0, которые называют просто перенормируемыми, и с Di > 0, которые называют суперперенормируемы-

ми. Поскольку добавление во взаимодействие дополнительных полей или производных всегда уменьшает параметр Di, может

существовать лишь ограниченное число перенормируемых взаимодействий, содержащих поля любого данного типа. Мы видели, что в простейшем варианте квантовой электродинамики все взаимодействия перенормируемы, а слагаемые с`yy суперпере-

нормируемы.

С другой стороны, если для какого-то взаимодействия Di < 0,

индекс диаграммы (12.1.8) неограниченнно возрастает по мере добавления соответствующих вершин. Независимо от того, сколь большими мы выберем разные Ef, в конце концов при достаточ- ном количестве вершин типа i, для которых Di < 0, выражение

(12.1.8) станет положительным (или нулем), и интеграл разойдется. Подобные взаимодействия, константы связи которых имеют

Табл. 12.1. Слагаемые плотности лагранжиана квантовой электродинамики. Здесь di, niγ è nie — числа производных, полей фотонов и полей электронов,

соответственно в данном члене взаимодействия, а i — размерность соответствующего коэффициента (напомним, что sγ = 0 è se = 1/2).

отрицательную размерность, называются неперенормируемыми,* так же, как и теории, включающие любые неперенормируемые взаимодействия. Это не означает, что такие теории безнадежны; мы увидим, что бесконечности в них также можно поглотить переопределением параметров теории, с той разницей, что необходимо бесконечное число констант связи.

Следует иметь в виду, что вычисленный нами индекс диаграммы определяет структуру расходимости фейнмановских диаграмм при интегрировании только по тем областям импульсного пространства, в которых все внутренние 4-импульсы совместно стремятся к бесконечности. Однако расходимости могут возникать и от областей, в которых к бесконечности стремятся только 4-импульсы линий, принадлежащих некоторой поддиаграмме. Например, для комптоновского рассеяния в квантовой электродинамике (Ee = 2, Eγ = 2) из формулы (12.1.11) следует, что индекс расходимости D £ −1, и, действительно, диаграммы типа пока-

занной на рис. 12.1, а сходятся. Однако диаграммы рис. 12.1, б или 12.1, в логарифмически расходятся, т. к. они содержат поддиаграммы (выделенные пунктирными прямоугольниками) с D ³ 0.

Расходимости этих диаграмм объясняются аномально плохим асимптотическим поведением подынтегральных выражений в специальных (под)областях импульсного пространства. В этих областях восемь компонент двух независимых внутренних 4-импуль- сов стремятся к бесконечности таким образом, что в действительности к бесконечности стремится толькот один 4-импульс — тот, который циркулирует в петлях, вставленных либо во внутренние линии, либо в электрон-фотонную вершину *.

Было показано 2, что требование фактической сходимости амплитуды, соответствующей любой диаграмме, заключается в том, чтобы подсчет степеней приводил к значению индекса расходимости D < 0 не только для всего многократного интеграла для полной амплитуды,

* В пертурбативной статистической механике неперенормируемые взаимодействия носят название несущественных, так как они становятся менее важными в пределе низких энергий. Перенормируемые или суперперенормируемые взаимодействия называются соответственно маргинальными и существенными.

** Этот импульс можно взять в качестве независимого внутреннего импульса. — Прим. ред.

Рис. 12.1. Некоторые двухпетлевые диаграммы комптоновского рассеяния. Здесь сплошные линии отвечают электронам, а волнистые — фотонам. Интеграл по импульсному пространству для диаграммы а сходится, а для диаграмм б и в расходится из-за подинтегрирования, отвечающего поддиаграммам в пунктирных рамках

но и для любого интеграла меньшей кратности, определяемого фиксацией любых одной или более линейных комбинаций импульсов в петлях. (Диаграммы, приведенные на рис. 12.1, б и 12.1, в, не удовлетворяют этому условию, поскольку для подинтегрирований по импульсам в петлях внутри пунктирных прямоугольников D ³ 0.) Мы не будем

приводить здесь довольно длинное доказательство, поскольку оно хорошо изложено в имеющихся книгах 3, да и сам метод доказательства имеет мало отношения к тому, как реально делаются вычисления. В следующем разделе мы опишем, как выполняется сформулированное требование.

12.2. Сокращение расходимостей

Рассмотрим фейнмановскую диаграмму или ее часть с положительным индексом диаграммы D ³ 0. Та часть интеграла по им-

пульсному пространству, где все внутренние импульсы совместно устремляются к бесконечности, будет расходиться как z ∞ kD−1dk.

Если продифференцировать D + 1 раз по любому внешнему импульсу, то показатель степенной асимптотики подынтегрального

выражения уменьшится на D + 1 *, что сделает интеграл по этой части импульсного пространства сходящимся **. Правда, еще могут оставаться расходимости, возникающие от поддиаграмм типа показанных на рис. 12.1, б и 12.1, в, но на некоторое время забудем об этой возможности (мы вернемся к ее обсуждению в следующем разделе). Поскольку (D + 1)-кратное дифференцирование делает интеграл конеч- ным, отсюда следует, что вклад такой диаграммы или поддиаграммы может быть записан как полином порядка D по внешним импульсам с расходящимися коэффициентами плюс конечный остаток.

Чтобы понять без лишних усложнений, как все это работает, рассмотрим логарифмически расходящийся одномерный интеграл

ñ D = 1 − 1 = 0. После однократного дифференцирования

òàê ÷òî

J (q) = − ln q + c .

Постоянная c очевидно расходится, но остальная часть интеграла конечна. Точно так же можно оценить интеграл с D = 1

с расходящимися константами a и b.

Далее, полином по внешним импульсам — это как раз то, что возникает от добавления подходящих слагаемых в лагранжиан:

* Например, если внутренняя скалярная линия несет импульс k + p, где р − линейная комбинация внешних 4-импульсов, а k − 4-импульс, по

которому проводится интегрирование, то производная пропагатора [(k + p)2 + m2]−1 ïî pμ äàåò −2(kμ + pμ) [(k + p)2 + m2]−2, и этот множитель ведет себя при k → ∞ êàê k–3, à íå êàê k−2.

** Говорят, что дифференцирование по внешним импульсам уменьшает индекс диаграммы (на единицу при однократном дифференцировании). —

Ïðèì. ðåä.

если диаграмма с Ef внешними линиями типа f имеет индекс расходимости D ³ 0, то ультрафиолетово расходящийся полином сов-

падает с тем, который возник бы при добавлении различных взаимодействий типа i, включающими nif = Ef полей типа f и di £ D

производных. Если в лагранжиане уже имеются такие взаимодействия, то ультрафиолетовые расходимости просто вносят поправки к константам связи этих взаимодействий. Следовательно подобные бесконечности могут быть сокращены путем включения в константы связи подходящих бесконечных слагаемых. Все, что мы когда-либо можем измерить, представляет собой сумму голой константы связи и соответствующего коэффициента одного из расходящихся полиномов, так что если мы потребуем, чтобы эта сумма равнялась измеряемому значению, которое предполагается конеч- ным, голая константа должна автоматически содержать бесконеч- ность, которая сокращает бесконечность от расходящегося интеграла по внутренним импульсам. (Одно уточнение: когда расходимость возникает в диаграмме или поддиаграмме ровно с двумя внешними линиями, возникающей как радиационная поправка к пропагатору частицы, мы должны требовать не равенства некоторой эффективной константы связи ее измеряемому значению, а того, чтобы точный пропагатор имел полюс в том же месте и с тем же вычетом, что и у пропагатора свободных частиц.) Таким образом, все бесконеч- ности поглощаются переопределением констант связи, масс и полей.

Чтобы такая программа перенормировок работала, существенно, чтобы лагранжиан включал все взаимодействия, соответствующие ультрафиолетово расходящимся частям фейнмановских амплитуд. (Исключения из этого правила встречаются в суперсимметричных теориях 4.) Конечно, взаимодействия в лагранжиане ограничены различными принципами симметрии вроде лоренцинвариантности, калибровочной инвариантности и т. п., но точно так же ограничены этими требованиями и ультрафиолетовые расходимости. (Доказательство того, что неабелевые калибровочные симметрии ограничивают бесконечности так же, как и взаимодействия, требует определенных усилий. Мы покажем это в т. II.) В общем случае, нет никаких иных ограничений на ультрафиолетовые расходимости, так что лагранжиан должен содержать все возможные слагаемые, совместимые с принципами симметрии.

Однако существует важный класс теорий всего лишь с конечным числом взаимодействий, для которых также применима

программа перенормировки. Это так называемые перенормируемые теории, у которых для всех взаимодействий размерности констант связи Di ³ 0. Из формулы (12.1.8) имеем:

D £ 4 - åEf (sf + 1) ,

f

поэтому расходящиеся полиномы возникают только в ограниченном числе типов фейнмановских диаграмм или поддиаграмм с достаточно небольшим числом внешних линий, так что D ³ 0. Вклад

таких расходящихся полиномов точно такой же, какой возник бы после замены расходящейся диаграммы или поддиаграммы единственной вершиной, возникающей от слагаемого в лагранжиане с Ef полями типа f и 0,1,...,D производными. Однако, сравнивая с формулой (12.1.9), видим, что это в точности то же самое, что и взаимодействия, удовлетворяющие требованию перенормируемости Di ³ 0, или, иными словами,

0 £ di £ 4 - å nif (sf + 1) .

f

Для того, чтобы в перенормируемой теории сократились все расходимости, обычно необходимо, чтобы в лагранжиане содержались все перенормируемые взаимодействия, разрешенные требованиями симметрии *. Например, если есть скалярное (или псевдоскалярное) поле j и фермионное поле y со взаимодействиями`yyj (èëè`yg5yj), мы не можем исключить взаимодействие j4,

в противном случае не нашлось бы контрчлена для сокращения логарифмической расходимости от фермионных петель с четырьмя прикрепленными скалярными или псевдоскалярными линиями.

* Кроме того, в лагранжиан могут входить взаимодействия и массовые слагаемые, не разрешенные глобальными симметриями, при условии, что они суперперенормируемы, т. е. имеют i > 0. Дело в том, что наличие суперперенормируемого взаимодействия понижает степень расходимости, так что нарушение симметрии не затрагивает те расходимости, которые сокращаются строго перенормируемыми взаимодействиями с i = 0. Отметим, что именно голые строго перенормируемые взаимодействия должны удовлетворять требованиям данной симметрии; в перенормированных взаимодействиях, определяемых через матричные элементы на массовой поверхности, эффект нарушения симметрии в общем случае проявляется явно.

Рассмотрим более подробно, каким образом происходит сокращение расходимостей в простейшей версии квантовой электродинамики. Из формулы (12.1.11) следует, что единственными диаграммами или поддиаграммами, которые могут приводить к расходящимся интегралам, являются следующие.

Ee = 2, Eg = 1

Это электрон−фотонная вершина Gμ(l) (p¢, p) . (Верхний индекс l указывает, что вершина включает только вклады от диаграмм с петлями.) Для нее индекс расходимости D = 0, так что ее расходящаяся часть не зависит от импульса. В силу лоренц−инвари-

антности расходящаяся константа может быть пропорциональна только gμ, поэтому

где L — логарифмически расходящаяся константа, а Gμ( f) конечна.

Это еще не определяет константу L однозначно, так как всегда можно перенести конечное слагаемое dLgμ èç Gμ( f) â Lgμ. Чтобы

завершить определение, заметим, что, как показано в разделе 9.7, матричный элемент оператора Gμ(p,p), а следовательно и Gμ( f) (р,р), на массовой поверхности между дираковскими спинора-

ми свободных частиц пропорционален такому же матричному элементу оператора gμ, поэтому можно определить L из требования

u( , s¢)G( f) u( , s) = 0 . (12.2.2) p μ p

ïðè p2 + me2 = 0.

Ee = 2, Eg = 0

Это электронная собственно-энергетическая вставка å*(ð).

Для нее D = 1, так что расходящаяся часть линейна по импульсу pμ, который несут входящий или выходящий фермионы. Из лоренц−инвариантности (включая сохранение четности) следует, что она может быть функцией только p/ , так что вклад петли можно

записать в виде