Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Для того, чтобы удовлетворить (10.5.2), необходимо выполнение равенства

Отсюда, совместно с лоренцовской инвариантностью, вытекает, что поляризационный оператор ∏*(q) должен иметь вид

Тогда из представления (10.5.13) получаем следующий вид точного пропагатора:

Далее, поскольку поляризационный оператор ∏*(q) содержит вкла-

ды только от однофотонно неприводимых диаграмм, можно ожидать, что эта величина не имеет полюса при q2 = 0. (Важным исключением является случай нарушенной калибровочной симметрии, обсуждаемый в томе II.) В частности, из отсутствия полюса при q2 = 0 в слагаемом, пропорциональном qμqν â ∏*(q) вытекает, что у функции π(q2) также нет такого полюса, и в результате полюс в

точном пропагаторе (10.5.17) остается в точке q2 = 0. Это указывает на то, что фотон не приобретает массы за счет радиационных поправок.

Для перенормированного электромагнитного поля радиационные поправки также не изменяют калибровочно инвариантную часть вычета в фотонном полюсе в (10.5.17), так что

Это условие приводит к определению константы перенормировки электромагнитного поля Z3. Напомним, что лагранжиан электроди-

намики, выраженный через перенормированное поле (10.4.17), имеет вид

L = - 14 Z3 (¶μ Aν - ¶νAμ )(¶μ Aν - ¶νAμ ) + LM dYl , [¶μ - iZ3qlAμ ]Yl i .

Тогда функция p(q2) в однофотонно неприводимой амплитуде имеет

âèä

ãäå pLOOP определяет вклад петлевых диаграмм. Отсюда вытекает,

÷òî

На практике, чтобы сделать p(0) равным нулю, нужно просто

вычислить вклад петель и вычесть константу.

Наконец, формула (10.5.18) показывает, что при q2 ¹ 0 калиб-

ровочное слагаемое в фотонном пропагаторе изменяется за счет радиационных поправок. Исключением является случай калибровки

~

Ландау, когда x = x = 1 äëÿ âñåõ q2.

10.6.Электромагнитные формфакторы

èмагнитный момент

Пусть мы хотим вычислить процесс рассеяния частицы на внешнем электромагнитном поле (или электромагнитном поле другой частицы) в первом порядке теории возмущений по этому полю, но во всех порядках по всем другим взаимодействиям данной частицы (включая электромагнитное). Для этого необходимо знать сумму вкладов всех фейнмановских диаграмм с одной входящей и одной выходящей линией частицы, каждая из которых находится на массовой поверхности, и одной фотонной линией, которая может быть и на массовой поверхности, и вне нее. Согласно теореме раздела 6.4, такая сумма определяется одночастичным матричным элементом электромагнитного тока Jμ(x). Посмотрим, что определяет общий вид этого

матричного элемента.

В силу трансляционной инвариантности одночастичный матричный элемент электромагнитного тока имеет вид

ãäå q − заряд частицы.

В нашем распоряжении есть и ограничения на матричные элементы токов, накладываемые лоренц-инвариантностью. Чтобы получить их, рассмотрим простейшие случаи: спин 0 и спин 1/2. Представленный ниже анализ является примером полезной техники вычислений, используемой и для других токов, например, для токов полулептонных слабых взаимодействий.

Ñïèí íóëü

В случае спина нуль требование лоренц-инвариантности приводит к следующему общему виду одночастичного матричного элемента тока:

dYp′ , Jμ (0)Yp i = q(2p)−3 (2p¢0 )−1/2 (2p0 )−1/2 J μ (p¢, p) , (10.6.4)

ãäå ð0 è ð′0 энергии на массовой поверхности (p0 = p2 + m2 ), à Jμ(p′,p) — 4-вектор, являющийся функцией двух 4-векторов p′μ è pμ. (Для удобства дальнейших выкладок мы выделили из J множи-

тель, равный заряду частицы q.) Очевидно, что самый общий вид такой функции − это линейная комбинация p′μ è pμ или, эквивалентно, p′μ + pμ è p′μ − pμ, со скалярными коэффициентами. Однако значения скаляров р2 è ð′2 фиксированы: р2 = ð′2 = −m2, так что скалярные переменные, которые можно построить из p′μ è pμ,

являются функциями единственной величины р×ð¢ или, эквива-

лентно, величины

k2 ≡ (p - p¢)2 = -2m2 - 2 p×p¢ .

J μ(p,p¢), òàê ÷òî F(k2) è H(k2) действительны. Далее, скалярное произведение (р¢ - ð)×(ð¢ + р) обращается в нуль, а (р¢ - ð)2 = k2 â

общем случае не равно нулю, так что условие сохранения тока принимает простой вид

Кроме того, полагая в формуле (10.6.4) р¢ = ð è μ = 0 и сравнивая с

формулой (10.6.3), находим, что

F(0) = 1. (10.6.8)

Функция F(k2) называется электромагнитным формфактором частицы.

Ñïèí 1/2

В случае спина 1/2 требование лоренц-инвариантности приводит к следующему общему виду одночастичного матричного элемента тока:

dΨp′,σ′ , Jμ (0)Ψp,σ i = iq(2π)−3 u(p′, σ′)Γμ (p′, p)u(p, σ) , (10.6.9)

ãäå Γμ — 4-векторная 4 × 4 матричная функция величин pν, p¢ν è γν, à u - обычная дираковская коэффициентная функция. Мы выделили множитель iq, чтобы нормировка Γμ совпадала с приведенной в

предыдущем разделе.

Как и любую другую матрицу 4×4, можно разложить Γμ в суперпозицию 16 ковариантных матриц 1, γρ, [γρ,γσ], γ5γρ è γ5. Поэтому наиболее общий 4-вектор Γμ можно представить в виде

линейной комбинации следующих величин:

[γ ρ , γ σ ]: [γ μ , p/ ], [γ μ , p/ ′], [p/ , p/ ′]pμ , [p/ , p/ ′]p′μ ,

причем коэффициенты при каждом слагаемом будут функциями единственной скалярной величины (10.6.5). Полученное выражение может быть сильно упрощено, если использовать уравнение Дирака, которому удовлетворяют u и`u:

*Это утверждение очевидно для слагаемых pμp/ , p¢μp/, pμp/ ¢ è p¢μp/ ¢, которые могут быть заменены, соответственно, на слагаемые impμ , imp¢μ , impμ , imp¢μ , совпадающие с уже имеющимися в нашем списке. Кроме

òîãî,

[γ μ , p/ ] = 2γ μp/ − {γ μ , p/} = 2γ μp/ − 2pμ ,

что можно заменить на 2impμ - 2pμ, т. е. линейную комбинацию уже имеющихся слагаемых. Это же относится к [g μ , p/ ¢]. Далее,

[p/ , p/ ¢] = -2p/ ¢p/ + {p/ , p/ ¢} = -2p/ ¢p/ + 2p × p¢,

что можно заменить на 2m2 + 2p×p¢ = -k2. Таким образом, слагаемые [p/ , p/ ¢]pμ è [p/ , p/ ¢]p¢μ также не дают ничего нового. Наконец, чтобы разо-

браться с последним слагаемым, следует воспользоваться соотношением

налево, видим, что это выражение опять сводится к линейной комбинации

pμ, p¢μ è gμ.

Тогда можно отбросить* все слагаемые кроме трех первых, пропорциональных pμ, p′μ è γμ. Мы приходим к выводу, что на массовой оболочке для фермионов функцию Γμ можно выразить в виде линейной комбинации γμ, pμ è p′μ. Выберем ее следующим образом:

òàê ÷òî F(k2), G(k2) è H(k2) должны быть действительными функциями k2.

Закон сохранения (10.6.2) автоматически удовлетворяется для первых двух слагаемых в (10.6.10), так как

(p′ − p)μ γ μ = −i (ip/ ′ + m) − (ip/ + m)

è

(p¢ - p) × (p¢ + p) = p¢2 - p2 .

С другой стороны, (р′ – p)2 в общем случае не равно нулю, поэтому

сохранение тока требует, чтобы третье слагаемое отсутствовало:

Кроме того, устремляя р′ → р в формулах (10.6.9) и (10.6.10),

находим:

÷òî

u(p, σ′)γ μ u(p, σ) = − ipμ u(p, σ′)u(p, σ) . m

Напомним, что

u(p, σ′)u(p, σ) = δσσ′mp0 1

и поэтому

dΨp,σ′ Jμ (0)Ψp,σ i = q(2π)−3 (pμ p0 )δσσ′ F(0) + G(0) .

Сравнивая это выражение с (10.6.3), приходим к условию нормировки

F(0) + G(0) = 1 . (10.6.14)

Полезно отметить, что электромагнитная вершинная матрица Γμ

обычно выражается через две другие матрицы в виде

u(p′, σ′)Γμ (p′, p)u(p, σ) = u(p′, σ′)γ μ F1(k2 )

Можно переписать матрицу, содержащуюся во втором слагаемом, через те матрицы, которые использовались при определении F(k2) è G(k2):

u(p′, σ′) 21 i[γ μ , γ ν ](p′ − p)ν u(p, σ)

= u(p′, σ′) −ip/ ′γ μ + 21 i{γ μ , p/ ′} − iγ μp/ + 21 i{γ μ , p/ }u(p, σ) . (10.6.16)

= u(p′, σ′)i(p′μ + pμ ) + 2mγ μ u(p, σ) .

Сравнивая (10.6.15) с (10.6.10), находим:

G(k2 ) = -2mF2 (k2 ) . (10.6.18)

Условие нормировки (10.6.14) принимает теперь вид

F1(0) = 1.

Чтобы выразить магнитный момент частицы через ее формфакторы, рассмотрим пространственную часть вершинной функции в случае малых импульсов |p|, |p′| n m. Для этого удобно воспользо-

ваться формулой (10.6.16) и переписать представление (10.6.10) (с Н = 0) еще в одном виде:

u(p¢, s¢)Gm (p¢, p)u(p, s) = 2−mi u(p¢, s¢) (p + p¢)m {F(k2 ) + G(k2 )}

(10.6.19)

- 21 [g m , g n ](p¢ - p)n F(k2 ) u(p, s) .

При нулевых импульсах матричные элементы коммутаторов дираковских матриц определяются соотношениями (5.4.19) и (5.4.20):

ãäå J(1) = 1σ − матрица углового момента для спина 1/2. Отсюда в

первом порядке по малым импульсам получаем

Поэтому в случае очень слабого, не зависящего от времени внешнего векторного потенциала А(x) матричный элемент гамильтониана

ãäå B = Ñ ´ A − магнитное поле. В пределе медленно меняющегося

внешнего магнитного поля матричный элемент гамильтониана взаимодействия принимает вид

Магнитный момент m произвольной частицы со спином j определя-

ется утверждением, что матричный элемент оператора взаимодействия частицы со слабым статическим медленно меняющимся магнитным полем имеет вид

Соответственно формула (10.6.22) дает следующее выражение для магнитного момента частицы с зарядом q, массой m и спином 1/2:

Это выражение содержит как частный случай знаменитый результат Дирака 7: для частицы спина 1/2 m = q/2m без учета радиацион-

ных поправок.

Отметим без доказательства, что формфакторы F(k2) è G(k2) протона можно измерить при k2 > 0 путем сравнения экспериментальных данных по рассеянию электронов на протонах с формулой Розенблюта 8 для дифференциального сечения рассеяния в лабораторной системе: