Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

ãäå qF − сумма ql для всех полей и их производных в F(y) минус

сумма ql для всех сопряженных полей и их производных. Беря матричный элемент этого соотношения между одночастичным состоянием и вакуумом и используя формулы (10.4.7) и (10.4.8), получаем

Как мы видели в предыдущем разделе, при условии (10.4.14) функции Грина, включающие F, в импульсном пространстве имеют полюсы, отвечающие одночастичному состоянию Yp,σ,n. Äëÿ îäíî-

частичного состояния, соответствующего одному из полей в лагранжиане, мы могли бы взять F = Yl, и в этом случае qF = ql,

однако наши результаты применимы и к произвольным одночастич- ным состояниям, независимо от того, входят ли соответствующие им поля в лагранжиан или нет.

Это почти полностью убеждает нас в том, что несмотря на все мыслимые диаграммы высшего порядка, дающие вклад в амплитуды испускания и поглощения фотонов заряженными частицами, физический электрический заряд строго равен параметру ql в функции Лагранжа (или сумме таких параметров типа qF). Уточнение, которое необходимо сделать, заключается в том, что требование инвариантности лагранжиана относительно преобразований Yl ® exp(iqla)Yl никак не фиксирует общий масштаб величин ql.

Физические электрические заряды определяют отклик полей материи на заданное перенормированное электромагнитное поле Aμ.

Иными словами, масштаб величин ql фиксируется требованием, чтобы перенормированное электромагнитное поле входило в лагранжиан материи LM в линейных комбинациях [¶μ − iqlAμ]Yl, òàê ÷òî òîê Jμ имеет вид

Рис. 10.5. Диаграммы первых поправок к электронному пропагатору и вершинной функции в квантовой электродинамике. Прямые линии отвечают электронам, волнистые — фотонам

Можно вывести соотношение между Γμ è S′, используя тожде-

ñòâî

+ δ(x0 − z0 )TnΨn (y) J0 (x), Ψm (z) s ,

где дельта-функции возникают от дифференцирования ступенча- тых функций. В силу закона сохранения (10.4.2) первое слагаемое обращается в нуль. Второе и третье слагаемые можно вычислить с помощью коммутационных соотношений (10.4.9), которые в данном случае имеют вид

а для сопряженного коммутатора имеем:

Тогда формула (10.4.21) записывается в виде

∂ ∂μ TnJμ (x)Ψn (y)Ψm (z)s = −qδ4 (x − y)TnΨn (y)Ψm (z)s x

(10.4.24)

+ qδ4 (x − z)TnΨn (y)Ψm (z)s .

Соответственно для преобразования Фурье получаем с учетом соотношения (10.4.19)

(l - k)μ S¢(k)Gμ (k, l)S¢(l) = iS¢(l) - iS¢(k) ,

Это соотношение известно как обобщенное тождество Уорда, и впервые получено (описанным методом) Такахаши 4. Первоначальное тождество, выведенное ранее Уордом 5 при анализе ряда теории возмущений, можно получить из (10.4.25), устремив l к k. В этом пределе находим

Фермионный пропагатор связан формулой (10.3.28) с собственноэнергетической вставкой * å* (k/ ) в собственную энергию:

S¢−1(k) = ik/ + m - å* (k/ ) ,

так что формулу (10.4.26) можно записать в виде

Для перенормированного дираковского поля получаем из формул (10.3.31) и (10.4.27), что на массовой оболочке

ãäå [igμkμ + m]uk = [igμkμ + m]u′k = 0. Таким образом, перенормировка

фермионного поля обеспечивает сокращение радиационных поправок

êвершинной функции Gμ, когда фермион на массовой поверхности

* В русскоязычной литературе используется также термин массовый оператор. — Прим. ред.

Электрический ток Jμ(x) сохраняется, но отсюда сразу же не следу-

ет, что (10.5.3) обращается в нуль, так как следует учитывать еще зависимость от x0, содержащуюся в тета-функциях, которые входят в определение хронологического произведения. Например, ограничиваясь двумя токами, имеем:

TnJμ (x)Jν (y)s = θ(x0 − y0 )Jμ (x)Jν (y) + θ(y0 − x0 )Jν (y)Jμ (x) ,

так что, принимая во внимание сохранение Jμ(x), получаем *

Если токов более двух, мы получаем похожий одновременной коммутатор (внутри хронологического произведения) для каждого тока, кроме самого Jμ(x). Чтобы вычислить такой коммутатор, напом-

ним, что (как показано в предыдущем разделе), для любого произведения F операторов поля и сопряженных им величин и/или их производных справедливо равенство

J0 (x, t), F(y, t) = −qFF(x, t)δ3 (x − y) ,

ãäå qF − сумма зарядов ql для полей и их производных, входящих в

F, минус сумма зарядов ql для сопряженных полей и их производных. Для электрического тока qJ равно нулю; Jν(y) сам есть электри-

чески нейтральный оператор. Отсюда

* Приводимые здесь и ниже рассуждения носят наводящий характер из-за сингулярного поведения произведений гейзенберговских операторов, которые являются операторозначными обобщенными функциями по времени (об этом ниже упоминает и автор). В частности, одновременные коммутаторы токов, и даже полей, строго говоря, не существуют. — Прим. ред.

и поэтому выражение (10.5.4) обращается в нуль, так что из (10.5.3) находим

что и требовалось доказать.

В этом месте необходимо сделать важную оговорку. При выводе соотношения (10.5.5) следует учитывать, что произведение полей, взятых в одной пространственно-временной точке y, типа оператора тока Jν(y), можно правильно определить только с помо-

щью некоторой процедуры регуляризации содержащихся в таких произведениях бесконечностей. Во многих случаях оказывается, что существуют неисчезающие вклады в коммутатор J0(x,t) с регуляризованным током Ji(y,t), известные под названием швингеровских членов 6. В случае, когда в токе содержатся слагаемые, возникающие от заряженного скалярного поля Φ, имеются допол-

нительные не зависящие от регуляризации швингеровские члены, содержащие Φ†Φ. Однако в многофотонных амплитудах все подоб-

ные швингеровские члены сокращаются со вкладами квадратич- ных по электромагнитному полю дополнительных взаимодействий, которые возникают либо из процедуры регуляризации (при условии калибровочной инвариантности), либо, если речь идет о заряженных скалярах, содержатся в лагранжиане.

Мы будем главным образом иметь дело с заряженными спинорными полями и использовать процедуру регуляризации (размерную регуляризацию), которая не приводит к появлению швингеровских членов, так что в последующем изложении мы будем игнорировать это явление и продолжать пользоваться наивным коммутационным соотношением (10.5.5).

Те же самые аргументы приводят к результату (10.5.2), когда и другие частицы, помимо фотонов, находятся вне массовой поверхности, но при условии, что все заряженные частицы берутся на массовой поверхности, т. е. входят в состояниях Ψβ− è Ψα+. Â

противном случае левая часть (10.5.2) содержит ненулевые вклады от одновременных коммутаторов, подобные тем, с которыми мы встретились в предыдущем разделе при выводе тождества Уорда.

Одним из следствий формулы (10.5.2) является то, что матричные элементы S-матрицы не изменяются, если заменить любой фотонный пропагатор μν(q) íà

ãäå k0 ≡ |k|, à αμ, βν è ñ − совершенно произвольные величины (не

обязательно постоянные и не обязательно одинаковые для всех пропагаторов или векторов поляризации). Все это (несколько вольно) называется калибровочной инвариантностью S-матрицы.

Чтобы доказать сделанное утверждение, необходимо всего лишь явно выписать зависимость S-матрицы от векторов поляризации фотонов и от пропагаторов:

ãäå Mρσ... — матричный элемент (10.5.1), вычисленный в отсутствие

электромагнитных взаимодействий *. Инвариантность (10.5.9) относительно «калибровочных преобразований» (10.5.7) и (10.5.8) немедленно следует из условий сохранения (10.5.2). (В разделе 9.6 мы использовали формализм функциональных интегралов для доказательства частного случая этой теоремы, именно, что средние по вакууму от хронологических произведений калибровочно инвариантных операторов не зависят от константы α в пропагаторе (9.6.21).)

* Состояния a и b совпадают с α è β, если убрать все фотоны. Заметим,

что все аргументы М соответствуют входящим 4-импульсам. Именно поэтому мы вынуждены вводить разные знаки в некоторые аргументы М в выражение (10.5.9).

Этот результат не так тривиален, как кажется, так как он применим не к отдельным диаграммам, а только к суммам диаграмм, в которых вершины токов вставлены во все возможные места.

Особенно важное применение формула (10.5.2) находит при вычислении фотонного пропагатора. Точный фотонный пропагатор, обозначаемый обычно ′μν(q), имеет вид

ãäå Mρσ пропорционален матричному элементу (10.5.1) с двумя токами *, α è β − вакуумные состояния, и μν − свободный фотонный

пропагатор, который в общей лоренц-инвариантной калибровке имеет вид

Из (10.5.2) имеем qμMμν = 0, òàê ÷òî

С другой стороны, по аналогии с тем, как это делалось для скалярного и спинорного полей в разделе 10.3, можно выразить точный фотонный пропагатор через сумму ∏*(q) диаграмм с двумя внешни-

ми фотонными линиями, которые (в противоположность М) однофотонно неприводимы:

′(q) = (q) + (q) ∏* (q) (q) + (q) ∏* (q) (q) ∏* (q) (q) + . . .

или, иными словами,

* Напомним (см. начало раздела), что последнее утверждение верно только для теорий типа спинорной электродинамики, где взаимодействие линейно по Aμ. Однако важное для дальнейшего условие поперечности (10.5.2) для Mρσ(q) верно для любой теории. — Прим. ред.