Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

700 Глава 12. Общая теория перенормировок

перенормировок. Это теории, в которых все взаимодействия удовлетворяют условию перенормируемости

Di º 4 - di - å nif (sf + 1) ³ 0 ,

f

ãäå di è nif − числа производных и полей типа f во взаимодейст-

âèÿõ òèïà i, à sf есть (с некоторыми уточнениями) спин полей типа f. Чтобы в таких теориях была осуществима перенормировка, обычно еще необходимо, чтобы все разрешенные принципами симметрии перенормируемые взаимодействия действительно содержались в лагранжиане.

Важно, что существует лишь ограниченное число взаимодействий такого типа. Величина Di становится отрицательной, ес-

ли у нас слишком много полей или производных, или полей со слишком большими значениями спина. Если нет специальных сокращений, вообще не существует перенормируемых взаимодействий, включающих поля спина sf ³ 1, поскольку единственное возможное слагаемое в лагранжиане с Di ³ 0, включающее такое

поле вместе с двумя или более другими полями, должно содержать одно поле с sf = 1 и два скаляра без всяких производных, что противоречит лоренц-инвариантности. В т. II мы увидим, что произвольные безмассовые калибровочные поля спина 1 в соответствующей калибровке эффективно имеют sf= 0 как у фотона. кроме того, в т. II будет показано, что даже массивные калибровочные поля могут эффективно иметь sf = 0 в зависимости от того, каким образом они приобрели массу. Если не считать этих особых случаев, в табл. 12.2 приведен список всех перенормируемых слагаемых в лагранжиане, разрешенных лоренц-инвариант- ностью и калибровочной инвариантностью и включающих скаляры (s = 0), фотоны (s = 0) и фермионы спина 1/2 (s = 1/2).

Мы видим, что требование перенормируемости накладывает жесткие ограничения на возможные физические теории. Подобные ограничения являются ценным ключом к пониманию структуры этих теорий. Например, лоренцовская и калибровочная инвариантности сами по себе разрешают введение «паулиевского» слагаемого, пропорционального`y[gμ,gν]yFμν в лагранжиан кванто-

вой электродинамики, что сделало бы магнитный момент электрона настраиваемым параметром, но мы исключаем подобные слагаемые, поскольку они неперенормируемы.

Табл. 12.2. Допустимые перенормируемые слагаемые в лагранжиане, содержащие скалярные поля ϕ, дираковские поля ψ и поля фотонов Aμ.

Величины nif è di — число полей типа f и число производных во взаимодействии типа i, i — размерность соответствующего коэффициента

Успешные предсказания квантовой электродинамики вроде описанного в разделе 11.3 вычисления магнитного момента электрона можно рассматривать как подтверждения принципа перенормируемости. Это же относится и к стандартной модели слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий, обсуждаемой в т. II. Есть множество слагаемых, которые можно было бы добавить в лагранжиан этой теории, например, четырехфермионные взаимодействия между кварками и лептонами, и которые полностью исказили бы все предсказания стандартной модели, но такие слагаемые исключаются только на том основании, что они неперенормируемы.

Должны ли мы верить утверждению, что лагранжиан может содержать только перенормируемые взаимодействия? Как мы ви-

дели в предыдущем разделе, если включить в лагранжиан все бесконечное количество взаимодействий, разрешенных симметриями, то для сокращения каждой ультрафиолетовой расходимости найдется соответсвующий контрчлен. В этом смысле, как и утверждалось ранее, неперенормируемые теории так же перенормируемы, как и перенормируемые теории, если только в лагранжиан вклю- чены все возможные слагаемые.

В последние годы усиливается ощущение, что перенормируемость не является фундаментальным физическим требованием, и что на самом деле любая реалистичная квантовая теория поля должна содержать как перенормируемые, так и неперенормируемые слагаемые. Такое изменение точки зрения можно отчасти проследить в продолжающихся неудачных попытках построить перенормируемую теорию гравитации. В общем классе метрических теорий тяготения, подчиняющихся эйнштейновскому принципу эквивалентности, вообще нет перенормируемых взаимодействий: общековариантные взаимодействия должны строиться из тензора кривизны и его общековариантных производных, и поэтому даже в «калибровке», в которой пропагатор гравитона ведет себя как k−2, эти взаимодействия содержат слишком много про-

изводных метрического тензора для того, чтобы быть перенормируемыми. В частности, неперенормируемость общей теории относительности следует из того известного факта, что константа гравитационного взаимодействия 8πGN = (2,43 × 1018 ÃýÂ)−2 имеет отрицательную размер-

ность. Даже если со всем остальным все в порядке, сокращение расходимостей из-за виртуальных гравитонов будет требовать наличия в лагранжиане всех разрешенных симметриями взаимодействий, включающих не только гравитоны, но и любые частицы.

Но если перенормируемость не является фундаментальным физическим принципом, то как же объяснить успех перенормируемых теорий вроде квантовой электродинамики и стандартной модели? Ответ можно получить с помощью простого размерного анализа. Мы уже отмечали, что константа связи взаимодействия типа i имеет размерность

где показатель i дается формулой (12.1.9). К неперенормируемым относятся те взаимодействия, у которых константы связи имеют отрицательную массовую размерность. Представляется разум-

ным предположить на основании формулы (12.3.1), что константы связи не только имеют размерности, определяемые значением i, но имеют величину порядка

ãäå Ì − некоторая общая масса. (Именно так обстоит дело в слу-

чае эффективных теорий поля, которые рассмотрены ниже и, более подробно, в т. II.) При расчете физических процессов, происходящих на характерных масштабах k n M, включение неперенормируемого взаимодействия типа i с i < 0 приводит к появлению множителя gi ≈ M i , который по размерным соображениям должен сопровождаться множителем k− i , так что в резуль-

тате такое взаимодействие подавляется * при k n M множителем (k / M)− i n1. (Этот аргумент более аккуратно будет рассмотрен в

т. II с помощью метода ренормгруппы.) Успех перенормируемых теорий электрослабых и сильных взаимодействий всего лишь показывает, что М намного больше, чем тот масштаб энергий, на котором эти взаимодействия проверены.

Например, ведущими неперенормируемыми поправками к обычной электродинамике электронов или мюонов были бы те взаимодействия размерностью 5, которые подавляютсяÑÐтолько одним множителем 1/М. Лоренцовская, калибровочная и −инвариантность допускают единственное такое взаимодействие − паулиевское слагаемое вида (ie/M)`ψ[γμ,γν]ψFμν. Согласно (10.6.24), (10.6.17)

è(10.6.19), такое слагаемое вносит в магнитный момент электрона

* В этом месте существенно предположение, что ультрафиолетовые

расходимости были устранены с помощью перенормировки, так что отсутствуют множители, содержащие ультрафиолетовое обрезание Λ, êî-

торые могут помешать размерному анализу. В противном случае, из этого анализа следует, что при Λ → ∞ каждая дополнительная неперенормиро-

ванная константа связи gi ñ i < 0 сопровождалась бы растущим множителем Λ− i . Уже очень давно аргументы, основанные на размерных сообра-

жениях, привели Гейзенберга к классификации взаимодействий в соответствии с размерностью их констант связи и к предположению10, что при энергиях порядка g1 i должны возникать новые явления, например, при энергии GF−12 d 300i ÃýÂ, ãäå GF − четырехфермионная константа связи в

фермиевской теории бета-распада. После развития теории перенормировок Саката и др. отметили11, что неперенормируемыми являются теории, в которых константы связи имеют отрицательную размерность.

704 Глава 12. Общая теория перенормировок

или мюона вклад порядка 4е/М. Рассчитанное значение магнитного момента электрона согласуется с экспериментом с точностью до слагаемых порядка 10−10(å/2me), так что М должна быть больше, чем 8 × 1010me = 4 × 107 ÃýÂ.

Этот предел может быть ослаблен, если форму неперенормируемых взаимодействий ограничивают другие симметрии. Например, обычный лагранжиан квантовой электродинамики инвариантен относительно кирального преобразования y ® g5y, если не считать изменения знака у фермионного массового члена -m`yy.

Если предположить, что полный лагранжиан инвариантен относительно формальной симметрии y ® g5y, m ® -m, то паулиевское

слагаемое в лагранжиане должно было бы входить с дополнительным множителем m/M, так что его вклад в магнитный момент был бы только порядка 4em/M2. Из-за появления лишнего множителя m, самая значимая оценка на М извлекается из формул для мюона, а не для электрона. Рассчитанное значение магнитного момента мюона согласуется с экспериментом с точностью до слагаеìûõ порядка 10−8(e/2me), так что М должна быть больше, чем 8 × 108 mμ d 3 × 103 ГэВ. В любом случае, если М лежит где-то в области

значений 1018 ГэВ, мы с уверенностью пренебрегаем любыми неперенормируемыми взаимодействиями, которые могут возникать в квантовой электродинамике.

Эти соображения позволяют разобраться с некоторыми проблемами, связанными со слагаемыми с высшими производными в лагранжиане. Например, в общей теории действительного скалярного поля j можно ожидать появления в лагранжиане слагаемых вида j9nj. Любое подобное слагаемое будет давать прямой вклад в скалярную собственноэнергетическую функцию P*(q2), ïðî-

порциональный (q2)n. Если бы мы включили такой вклад во всех порядках, но пренебрегли бы всеми другими эффектами непере-

нормируемых взаимодействий, то пропагатор скалярного поля D¢(q2 ) = 1 / (q2 + m2 - P* (q2 )) имел бы не один простой полюс по q2

при отрицательных q2, который можно ожидать на основании общих соображений раздела 10.7, а n таких полюсов (некоторые из которых могут совпадать), вообще говоря, при комплексных зна- чениях q2. Но если неперенормируемое слагаемое j9nj содержит коэффициент порядка M−2(n−1), где M . m, тогда дополнительные

полюсы находятся при значениях q2 порядка М2, т. е. в области, где неправомерно игнорировать бесконечное число других непе-

ренормируемых взаимодействий, которые также должны появиться в лагранжиане. Итак, появление слагаемых с высшими производными в общем неперенормируемом лагранжиане не противоречит общим принципам квантовой теории поля, использованным в разделе 10.7. Однако по тем же соображениям нельзя использовать слагаемые с высшими производными, чтобы избежать появления ультрафиолетовых расходимостей, как это неоднократно предлагалось. Слагаемое M−2(n−1)ϕ9nϕ в лагранжиане обеспечи-

вает обрезание при импульсах q2 d M2, но при таких импульсах нельзя игнорировать все другие неперенормируемые взаимодействия, которые обязательно должны присутствовать.

Вклад неперенормируемых взаимодействий сильно подавлен, однако может быть обнаружен, если они приводят к эффектам, запрещенным при отсутствии таких взаимодействий. Например, мы увидим в разделе 12.5, что симметрии относительно зарядового сопряжения и пространственной инверсии являются автоматическим следствием структуры электромагнитных взаимодействий, определяемой требованиями калибровочной и лоренцовской инвариантности и перенормируемости. Однако можно легко вообразить неперенормируемые слагаемые, нарушающие эти симметрии, например, слагаемое с электрическим дипольным моментом электрона вида`ψγ5[γμ,γν]ψFμν или фермиевское взаимодействие `ψγ5γμψ`ψγμψ. Сейчас широко распространена точка зрения,

что сохранение барионного и лептонного чисел нарушается очень слабыми эффектами сильно подавленных неперенормируемых взаимодействий. Другим примером детектируемых неперенормируемых взаимодействий является гравитация. Как отмечалось выше, у гравитонов вообще нет перенормируемых взаимодействий. Но, естественно, мы наблюдаем гравитацию, потому что она обладает особым свойством: гравитационные поля всех частиц в макроскопическом теле когерентно складываются.

Хотя неперенормируемые теории содержат бесконечное число свободных параметров, они, тем не менее, сохраняют значительную предсказательную силу 12: эти теории позволяют вычислить неаналитические части фейнмановских амплитуд, типа слагаемых ln q и q ln q в рассмотренных в начале предыдущего раздела одномерных примерах. Такие вычисления воспроизводят результаты, вытекающие из аксиом теории S-матрицы, а именно, что S-матрица обладает лишь теми сингулярностями, которые требуются условием унитарности.

Парадоксальным образом неперенормируемые квантовые теории поля оказываются наиболее полезными в случаях, когда принципы симметрии запрещают перенормируемые взаимодействия. В таких случаях можно развить полезную теорию возмущений, разлагая в ряд по степеням k/M. Такой подход был детально разработан для теории пионов низких энергий 12,13, которая будет подробно обсуждаться в т. II, и в теории гравитонов низких энергий 14. Чтобы привести пример попроще, рассмотрим теорию действительного скалярного поля, удовлетворяющую принципу инвариантности относительно трансляций поля

ϕ(x) → ϕ(x) + ε ,

ãäå ε — произвольная константа. Эта симметрия запрещает любое

перенормируемое взаимодействие или массу скаляра, но допускает бесконечное число неперенормируемых взаимодействий с производными

L = − 21 ∂μϕ∂μϕ − g4 (∂μϕ∂μϕ)2 − . . . ,

ãäå g d M−4, а «...» означает слагаемые с бо1льшим числом произ-

водных или полей. (Для простоты здесь предполагается, что теория симметрична относительно отражения ϕ → −ϕ.) Согласно про-

деланному выше размерному анализу, диаграмма произвольной реакции, в которой все энергии и импульсы порядка k n M, подавлена фактором (k/M)ν, ãäå

ν = −å Vi i = å Vi (di + ni − 4) ,

ii

èni, di — числа скалярных полей и их производных во взаимодействии типа i, а Vi − число вершин таких взаимодействий в

диаграмме. При k n M главный вклад в любой процесс соответствует наименьшему значению ν. Формулу для ν можно предста-

вить в более удобном виде, используя известные топологические тождества для связных диаграмм:

Рис. 12.4. Однопетлевая диаграмма скаляр-скалярного рассеяния в теории с четвертичным взаимодействием с производными

рого содержат бесконечные вклады, сокращающие ультрафиолетовые расходимости петлевой диаграммы *.

Петлевая диаграмма приводит также к конечным слагаемым в амплитуде рассеяния, пропорциональным выражениям типа s4 ln s + t4 ln t + u4 ln u, s2t2 ln u + t2u2 ln s + u2s2 ln t и т. д. с вычисляемыми коэффициентами, пропорциональными g2. Указанные конечные слагаемые представляют поправки к амплитуде рассеяния в низшем порядке, необходимые для обеспечения унитарности S-матрицы, однако пока что самый простой способ их расчета — пертурбативная квантовая теория поля.

Хотя неперенормируемые теории позволяют получить полезные разложения по степеням энергии, они неизбежно теряют всякую предсказательную силу при энергиях порядка характерной для всех констант общей шкалы масс М. Если буквально воспринимать такие разложения, то полученные для элементов S-матрицы результаты будут противоречить при E . M ограниче- ниям, накладываемым условием унитарности. Похоже, что в отношении происходящего при таких энергиях существуют только две возможности. Одна заключается в том, что растущий вклад эффектов неперенормируемых взаимодействий как-то насыщается, так что никаких противоречий с унитарностью не возникает 15. Другая связана с появлением на масштабах порядка М какой-то новой физики. В этом случае неперенормируемые теории, описывающие

* Если использовать размерную регуляризацию, то это единственные ультрафиолетовые расходимости, возникающие в однопетлевых диаграммах. В других методах регуляризации возникают также четвертичные и квадратичные расходимости, которые сокращаются контрчленами в четырехскалярных взаимодействиях с четырьмя или шестью производными.