Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

те же частицы, что и в начальном и в конечноь состояниях, а это приводит к малым энергетическим знаменателям при условии, что электрон и тяжелая заряженная частица — нерелятивистские. В то же время, все другие диаграммы рис. 13.5 соответствуют промежуточным состояниям, в которых присутствуют либо лишние фотоны, либо электрон−позитронные пары и даже пары тяжелая частица и ее

античастица, вклад которых подавлен большими энергетическими знаменателями.) Непересекающиеся лестничные диаграммы можно отсуммировать, решив интегральное уравнение, известное как уравнение Бете−Солпитера 10, но нет никакого смысла в отборе именно

этого подмножества диаграмм, если только обе частицы не являются нерелятивистскими, а в этом случае уравнение Бете−Солпитера просто

сводится к обычному нерелятивистскому уравнению Шредингера и релятивистским поправкам, связанным со спин−орбитальным взаи-

модействием, которые можно рассматривать как малое возмущение. Следует сказать, что до сих пор теория релятивистских эффектов и радиационных поправок в связанных состояниях не является полностью удовлетворительной.

При выводе формул (13.6.16) для внешнего поля мы учитывали взаимодействие тяжелой заряженной частицы с электромагнитным полем только в главном порядке по импульсу фотона. Существуют поправки более высокого порядка по импульсу фотона, возникающие от учета магнитного момента тяжелой частицы, ее квадрупольного электрического момента и т. д. Кроме того, конечно, существуют и радиационные поправки, возникающие от диаграмм кроме показанных на рис. 13.4, например, таких, где фотоны испускаются и поглощаются на электронной линии, или со вставками электронных петель в фотонные линии. В следующей главе будет показано, что для связанных состояний диаграммы рис. 13.4 необходимо учесть во всех порядках теории возмущений, а все другие поправки более высокого порядка по импульсам фотонов или по е можно включать как малые возмущения к этим диаграммам.

Задачи

1. Рассмотрите процесс е+ + å− → π+ + π− в с. ц. м. при энергии 1 ГэВ и угле рассеяния 90°. Предположим, что при измерении

энергии конечных пионов мы обнаруживаем, что энергия, не

превышающая значения ЕÒ n 1 ГэВ, излучается в виде мягких фотонов. Как зависит вероятность реакции от ЕÒ?

2.Рассмотрите безмассовые бесспиновые частицы, описываемые скалярным полем j, лагранжиан взаимодействия которого имеет вид j(x)J(x), где J(x) включает только поля массивных частиц.

Выведите формулу для вероятности испускания произвольного числа мягких скалярных частиц в процессе a ® b, если полная

энергия этих мягких скаляров меньше некоторой малой вели-

÷èíû ÅÒ. Учтите радиационные поправки за счет мягких скаляров с энергией, меньшей некоторой малой величины L.

3.Выведите формулу для следующего за (13.5.14) члена разложения амплитуды рассеяния фотонов на произвольной мишени при малых энергиях.

4.Пусть частица спина 1 и очень малой массой m описывается векторным полем Vμ(x), взаимодействующим только со много

более тяжелым фермионом, описываемым дираковским полем y(x), причем лагранжиан взаимодействия имеет вид gVμ ψγ μ ψ .

Предположим, что тяжелый фермион обычно распадается на другие частицы, не взаимодействующие с Vμ, и в таком распа-

де высвобождается энергия W . m. Рассмотрите такой процесс распада, в котором дополнительно испускаются частицы Vμ,

причем энергия векторной частицы ограничена сверху значе- нием Е, и W . E . m. Как зависит от E и m вероятность процесса? Радиационными поправками пренебречь.

5.Докажите, что формула (13.6.8) верна при условии, что р×(q1 + ... + qN) = 0.

Список литературы

1.Bloch, F. and Nordsieck, F., Phys. Rev., 37, 54 (1937); Yennie, D.R., Frautschi, S.C., and Suura, H., Ann. Phys. (NY), 13, 379 (1961). См. также: Mahantappa, K.T., диссертация (Гарвардский университет, 1961), неопубликовано.

2.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 9, 357 (1964); Phys. Rev., 135, B1049 (1964).

3.Weinberg, S., Phys. Rev., 140, B515 (1965).

4.Эта фаза была учтена в ряде теории возмущений для нерелятивистского кулоновского рассеяния в работе: Dalitz, R.H., Proc. Roy. Soc., London, 206, 509 (1951).

5.См., например, в книге: Schiff, L.I. Quantum Mechanics (McGrowHill, New York, 1949), Section 20 (есть рус. пер.: Л. Шифф.

Квантовая механика. М., ИЛ, 1958.)

6.Lee, T.D. and Nauenberg, M., Phys. Rev., 133, B1549 (1964); Kinoshita, T., J. Math. Phys., 3, 650 (1962); Sterman, G. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 39, 1416 (1977).

7.Sterman, G. and Weinberg, S., [6].

8.Low, F.E., Phys. Rev., 96, 1428 (1954); Gell-Mann, M. and Goldberger, M.L., Phys. Rev., 96, 1433 (1954). См. также: Weinberg, S., in: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory

— 1970 Brandeis Summer Institute in Theoretical Physics, ed. by S. Deser, M. Grisaru, and H. Pendleton (MIT Press, Cambridge, MA, 1970).

9.Williams, E.J., Kgl. Dan. Vid. Sel. Mat.-Fys. Medd., XIII, No. 4 (1935).

10.Bethe, H.A. and Salpeter, E.E., Phys. Rev., 82, 309 (1951); 84, 1232 (1951).

14

Связанные состояния во внешних полях

В гл. 11 при вычислении радиационных поправок мы сделали всего лишь один шаг за рамки низшего порядка теории возмущений. Однако существует весьма важный класс задач, в которых даже простейшие вычисления требуют с самого начала рассмотрения совокупностей фейнмановских диаграмм произвольно высокого порядка по константе связи типа е. Это те задачи, в которых участвуют связанные состояния, например, в электродинамике — обыч- ные атомы и молекулы, либо такие экзотические атомы как позитроний или мюоний.

Легко видеть, что попытка применения обычной теории возмущений в подобных задачах обязательно терпит крах. Рассмотрим, например, амплитуду электрон−протонного рассеяния как

функцию энергии Е в с. ц. и. Как показано в разделе 10.3, существование связанного состояния типа основного состояния атома водорода требует существования полюса у этой амплитуды при E = mp + me − 13,6 эВ. Однако ни один взятый в отдельности член ряда теории возмущений для электрон−протонного рассеяния не со-

держит такого полюса. Поэтому он может возникнуть лишь из-за расходимости суммы всех диаграмм при энергиях в с. ц. и. вблизи

значения mp + me.

Причину такой расходимости ряда теории возмущений также легко понять, особенно, если на время вместо фейнмановских диаграмм рассмотреть хронологически упорядоченные диаграммы старой теории возмущений. Пусть электрон и протон имеют в с. ц. и. импульсы порядка q n me. Рассмотрим промежуточное состояние, в котором импульсы электрона и протона различаются, но остаются порядка q. Каждое такое состояние вносит мультипликативным

образом вклад, равный произведению энергетического знаменателя порядка [q2/me]−1 на матричный элемент кулоновского взаимодействия порядка e2/q2 (фурье−образ e2/r), а соответствующее ин-

тегрирование по импульсам внесет еще множитель порядка q3. Учи- тывая все эти факторы, видим, что фактическим параметром разложения по степеням кулоновского взаимодействия является вели- чина порядка

[q2/me]−1[e2/q2][q3] = e2me/q.

Таким образом, теория возмущений терпит крах, если q меньше или порядка e2me, иными словами, если кинетическая и потенциальная энергии, равные по порядку величины q2/me, не превышают значения e4me, что, конечно, совпадает по порядку с энергией связи атома водорода.

Наша цель заключается в том, чтобы научиться использовать теорию возмущений для вычисления радиационных поправок в задачах о связанных состояниях, суммируя во всех порядках те диаграммы, которые нужно, и ограничиваясь лишь конечным числом тех, которые суммировать не следует.

14.1. Уравнение Дирака

Ограничимся в этой главе рассмотрением задач, в которых связанные состояния возникают из-за кулоновского взаимодействия электронов (или мюонов) с тяжелыми заряженными частицами типа атомных ядер. Как показано в разделе 13.6, такое взаимодействие можно учесть, добавив в лагранжиан взаимодействия слагаемое *, описывающее взаимодействие с с-числовым внешним векторным потенциалом А μ(x):

LÀ = −ieΨγ μ ΨÀμ − 14 (Z3 − 1)(∂μ À ν − ∂νÀ μ )(∂μ Àν − ∂νÀμ )

(14.1.1)

− ie(Z2 − 1)Àμ Ψγ μ Ψ ,

* В этой главе мы вновь используем заглавную букву Ψ для обозначения поля электронов в представлении Гейзенберга, а строчную букву ψ исполь-

зуем для обозначения дираковского поля, зависимость которого от времени определяется только с-числовым внешним полем А μ(x).

Оно получается заменой квантового векторного потенциала Aμ на сумму Aμ +À μ в отвечающем взаимодействию слагаемом в (11.1.6).

Например, для отдельной тяжелой частицы зарядом Ze, помещенной в начале координат,

Именно взаимодействие (14.1.1) должно быть учтено во всех порядках теории возмущений. В этом разделе мы рассмотрим теорию, включающую только такое взаимодействие, оставив рассмотрение радиационных поправок на последующие разделы.

Еще в детском саду физики узнают, что решение подобных задач сводится к решению дираковского волнового уравнения в присутствии внешнего поля. Вывод здесь этого уравнения может показаться лишней тратой времени, но, как подчеркивалось в гл. 1, данное Дираком исходное его обоснование как разновидности релятивистского уравнения Шредингера не выдерживает критики. Кроме того, в процессе вывода мы получим условия нормировки, которые следует наложить на решения уравнения Дирака и которые в оригинальной работе Дирака кажутся взятыми несколько «с потолка» . Обсуждаемые здесь решения дираковского уравнения будут существенно использованы в следующем разделе при анализе радиационных поправок.

Мы проведем рассмотрение, используя вариант гейзенберговского представления, в котором зависимость операторов от времени определяется гамильтонианом, включающем только взаимодействие (14.1.1) с внешним полем, но не другие взаимодействия. Поле электронов ψ(x) в этом представлении удовлетворяет полевому урав-

нению

Это не уравнение Дирака в исходном понимании самого Дирака 1, поскольку здесь ψ(x) − не с-числовая волновая функция, а кванто-

вый оператор. Являющиеся с-числами дираковские волновые функции определяются равенствами:

ãäå FN — полный ортонормированный набор векторов состояний, F0 — состояние вакуума. Из (14.1.3) немедленно вытекает, что эти

функции удовлетворяют однородному уравнению Дирака

Кроме того, используя антикоммутаторы при равных временах для дираковского поля, можно вывести условие нормировки. Взаимодействие (14.1.1) не влияет на антикоммутаторы, поэтому они имеют тот же вид, что и для свободных полей:

Беря среднее по вакууму и вставляя сумму по состояниям FN,

находим:

Суммирование по N подразумевает интегрирование по состояниям непрерывного спектра и суммирование по всем дискретным связанным состояниям.

Нас главным образом интересует случай не зависящего от времени внешнего поля типа (14.1.2). В подобных случаях состояния FN

могут быть взяты как собственные состояния гамильтониана (вклю- чающего взаимодействие (14.1.1)) с энергиями EN. Из инвариантности относительно временных трансляций следует, что зависимость функций uN(x) è vN(x) от времени имеет вид

Знак «минус» в правой части (14.1.11) указывает на то, что vN являются знаменитыми дираковскими решениями с «отрицательными энергиями». Как видно из (14.1.8), такие решения необходимы для полноты системы волновых функций. Конечно, при умеренных внешних полях в теории нет состояний с отрицательными энергиями, так что все EN положительны. Однако все еще есть существенная разница между состояниями с неисчезающими uN èëè vN: из определений (14.1.4) и (14.1.5) следует, что состояния могут иметь uN ¹ 0 èëè vN ¹ 0 только, если они имеют, соответственно,заряд -å èëè +å.

Именно в этом смысле решения уравнения Дирака с отрицательными энергиями имеют отношение к существованию античастиц. Однако это соображение никак не связано с деталями уравнения Дирака и даже со значением спина электрона.

Из дираковских волновых уравнений (14.1.10) и (14.1.11) легко получить *, что волновые функции с разными энергиями ортогональны. Именно,

(EM - EN* )duN† uM i = Ñ × duN† ig 0γuM i ,

При аналогичных граничных условиях для vN находим тем же путем:

* Следующим ниже, вообще говоря, нестрогим рассуждениям можно придать строгий математический смысл, если исходить из того, что дифференциальный оператор ig 0 gÑ + m + ieg λ Aλ (x) (гамильтониан Дирака

во внешнем поле) является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве дираковских спиноров ψ(x) со скалярным произведением

(y1, y2 ) = z dxy1+ (x)y2 (x) . — Ïðèì. ðåä.

Полагая N = M, получаем из (14.1.12) и (14.1.13), что все энергии действительны. Опуская в (14.1.12)−(14.1.14) знак комплексного со-

пряжения над EM, находим, что функции u с разными энергиями ортогональны, функции v с разными энергиями ортогональны, и (до тех пор пока потенциал недостаточно велик. чтобы порождать состояния отрицательной энергии) все u ортогональны ко всем v. Подбирая подходящим образом дискретные квантовые числа, которые наряду с энергией характеризуют состояния, можно всегда сделать так, чтобы

Умножая (14.1.8) справа на uM(y) èëè vM(y), находим, что эти волновые функции должны удовлетворять условиям нормировки

ãäå dNM - произведение кронекеровских дельта-символов и дельта-

функций в импульсном пространстве, причем нормировка согласована с той, которая использовалась при определении åN, òàê ÷òî åNdNM = 1. Эти условия нормировки непосредственно не имеют отно-

шения к любой вероятностной трактовке дираковских волновых функций, а являются следствиями антикоммутационных соотношений (14.1.7) для полей.

Обратимся к конкретному случаю чисто электростатического внешнего поля с А = 0. В принятом нами стандартном представлении матрицы Дирака имеют вид:

В этих формулах σ — обычный 3-вектор, составленный из 2 ´ 2 матриц Паули, а 1 и 0 — единичная и нулевая матрицы 2 ´ 2. Ââå-

дем двухкомпонентные волновые функции fN è gN, полагая

Уравнение на собственные значения энергии (14.1.10) примет вид:

В нерелятивистском случае, когда eА 0r d Za n 1, энергия связи m - EN порядка Z2a2m, в то время как оператор градиента порядка Zam, òàê ÷òî gN приблизительно в Za раз меньше fN. (Чтобы найти волновые функции позитрона, заменяем везде EN íà -EN,

так что в этом случае fN меньше gN во столько же раз.) В конце раздела мы вернемся к нерелятивистскому случаю.

Физические состояния можно расклассифицировать на четные и нечетные по отношению к пространственной инверсии:

ãäå hN — знаковый множитель, равный ±1. Напомним, что если

определить внутреннюю четность электрона равной +1, то дираковское поле преобразуется по отношению к инверсии по закону

Py(x, t)P−1 = by(-x, t) ,

так что из уравнений (14.1.4) и (14.1.5) следует, что дираковские волновые функции удовлетворяют условию четности:

Обратим внимание, что четность состояния совпадает с четностью

fN(x), íî íå gN(x).

Если потенциал А 0 инвариантен относительно вращений, решения волновых уравнений можно охарактеризовать их полным