Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

L(1 + iσ × Ñ / 2m)fN O

- iσ × Ñ / 2m)fN Q

.pdf

Скачиваний:

465

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

50 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 7980 / 8480 81 82 83 84 > Следующая >>>

14.1. Уравнение Дирака

769

угловым моментом j и четностью h. При заданном j компоненты f и g можно разложить по1 сферическим1 гармоникам с орбитальными моментами l = j + и l = j − , но при заданной четности

h = - j m 1 из уравнений1 (14.1.24) вытекает, что f содержит1 только

( 1) 2

гармонику с l = j е , а g − только гармонику с l = j ± . Из обычных

правил сложения угловых моментов вытекает, что для состояния с полным моментом j, z-компонентой полного момента m и четностью

j m 1 «большая» двухкомпонентная волновая функция f имеет вид

(-1) 2

F	Cjm , (jm; m-	1		1	μ −	$	I
f(x) = G	Cjm , (jm; m-	2		2 ) Yjm		(x)	J	F(\| x\| ) .
f(x) = G		1		1	μ +		J	F(\| x\| ) .	(14. 1. 25)
G		1		1	μ +	$	J		(14. 1. 25)
G Cjm , (jm; m+			−		) Yjm	(x)J
G Cjm , (jm; m+		2	−	2	) Yjm	(x)J
H		2		2			K

ãäå Ñ è Y - соответственно обычные коэффициенты Клебша-Горда-

на и сферические гармоники 2. Кроме того, если задана любая волновая функция с определенными полным угловым моментом и четностью, можно построить другую волновую функцию с теми же j и

m, но противоположной четностью, подействовав оператором (σ × $ ), x

так что «малые» компоненты можно взять в виде:

g( ) = (σ × $ ) G Cjm x x G

GH Cjm

	(jm; m -	1		1		) Y	μ −	( $ )		I
,		2		2			jm	x		J
,		2		2			jm				G(\| x\| ) .
											G(\| x\| ) .	(14.1.26)
		1		1			μ +			J		(14.1.26)
	(jm; m+		−						$	J
,	(jm; m+	2	−		2 ) Yjm			(	$	J
									x

Принято определять орбитальный момент l состояния как орбитальный момент «больших» компонент fN:

l = j m	1	,	(14.1.27)

2

так что четность всегда равна (-1)l.

Подставляя (14.1.25) и (14.1.26) в (14.1.20) и (14.1.21), получаем систему зацепляющихся дифференциальных уравнений:

dG	+	k + 1	G + (E + eÀ0	- m)F = 0 ,	(14.1.28)

dr		r

770 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

	dF	-	k − 1		F - (E + eÀ0			+ m)G = 0 ,	(14.1.29)
		-			F - (E + eÀ0			+ m)G = 0 ,	(14.1.29)
	dr		r
где при четности h = (-1)				j m 1
где при четности h = (-1)				2
				2
					k º ±(j +	1	).		(14.1.30)
					k º ±(j +		).		(14.1.30)
				2

Сосредоточимся на случае простого кулоновского поля (14.1.2), когда eА 0 = Za/r. Исследование уравнения Дирака в этом случае хо-

рошо известно3, так что мы для полноты изложения коротко суммируем результаты. Легко видеть, что вблизи начала координат решения ведут себя как rs−1, ãäå s2 = k2 − Z2a2. (Обратим внимание, что k2 ³ 1, так что показатель степени s действителен при Za £ 1.) Решения с s < 0 следует отбросить как несовместимые с

условием нормировки (14.1.18). После этого требование, чтобы волновые функции не стремились к бесконечности при r ® ¥, опреде-

ляет разрешенные собственные значения энергии *:

2 O−1/2

En,j = mM1

+ G

(j +

H n - j - +

)

- Z

где n — «главное квантовое число» и

j + ≤ n.

(14.1.31)

(14.1.32)

Примечательно, что эти значения энергии не зависят от четности или l, а зависят только от n и j. Для каждого n и j существуют два решения, отвечающие двум знакам k1или двум возможным четностям, за исключением случая n = j + , когда1 единственной воз1- можностью является k > 0 и четность (-1)j− , òàê ÷òî l = j - .

С учетом неравенства (14.1.32) это сводится к знакомому нерелятивистскому ограничению l £ n - 1.

Для легких атомов с Za n 1 выражение (14.1.31) можно пред-

ставить в виде ряда

* Речь идет о дискретном спектре. — Прим. ред.

14.1. Уравнение Дирака

771

L		Z2α2		Z4α4	F	3		1 I
E = m 1	−		+		G		−		J	+
E = m 1	−	2n2	+	n4	G		−		J	+
M		2n2		n4	H	8		2j + 1K
N

. . .P . (14.1.33)

Естественно, что первое слагаемое есть энергия покоя, а второе — энергия связи, согласно нерелятивистскому уравнению Шредингера. Первая релятивистская поправка, зависящая как от n, так и от j, дается третьим слагаемым1 . При n = 1 возможно только одно1 значение полного момента j = , и так1 как в этом случаем n = j + , то и одно значение четности (−1)j− = +1, что соответствует l = 0.

Поэтому для состояний водородоподобных атомов с n = 1 довольно трудно наблюдать эффекты, обусловленные релятивистскими поправками к энергии связи, которые даются формулой (14.1.33), хотя, как будет видно в разделе 14.3, это недавно стало возможным1 . С другой стороны, при n = 2 имеются состояния с j = и обеими

четностямиG (т. е. состояния 2s1/2 è 2p1/2), а также состояние 2p3/2 с j = и отрицательной четностью. Из формулы (14.1.33) определяет-

ся расщепление р−уровней водорода:

E(2p	) − E(2p ) =	α2me	= 4,5283 × 10−5 ýÂ.	(14.1.34)

3/2	1/2	32

Подобное релятивистское расщепление уровней носит название тонкой структуры атомных уровней. С самого начала было известно, что это предсказание находится в хорошем согласии с наблюдаемой тонкой структурой. С другой стороны, из уравнения Дирака вытекает отсутствие разницы в энергиях состояний 2s1/2 è 2p1/2, так что именно здесь уместно поискать вклады других поправок, что и будет рассмотрено в разделе 14.3.

Прежде чем завершить этот раздел, рассмотрим приближенные выражения для волновых функций и матричных элементов в нерелятивистском случае для произвольного электростатического потенциала А 0. (Для кулоновского потенциала это соответствует пределу Zα n 1.) Òàê êàê EN + m g 2m . |eÀ 0|, «малые» компоненты

волновой функции электрона приближенно выражаются через «большие» компоненты:

gN g(σ × Ñ)fN / 2me .

(14.1.35)

772 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

Тогда уравнение (14.1.21) превращается в нерелятивистское уравнение Шредингера

L	Ñ	2	O
M-			- eÀ0 P fN g(EN	- m)fN .	(14.1.36)
	2me
N			Q

Поскольку теперь в уравнении для fN уже нет никакой связи между спиновыми и орбитальными степенями свободы, можно искать полную систему решений этого уравнения в виде:

fN = χNψ N ,

ãäå cN — двухкомпонентный постоянный спинор, а yN(x) — îáû÷-

ное однокомпонентное решение уравнения Шредингера. Однако часто мы используем состояния с определенными значениями полного момента j, для которых fN (при ненулевом орбитальном моменте) представляется суммой таких решений.

В нерелятивистском приближении четырехкомпонентная дираковская волновая функция принимает вид:

а формула (14.1.18) определяет условие нормировки

z d3x (fN† , fM ) g dNM - (v2 )NM ,

(14.1.37)

(14.1.38)

При установлении связи матричных элементов во внешнем поле с матричными элементами для свободных частиц полезно заметить, что волновая функция в импульсном представлении, отве- чающая собственному значению энергии N, может быть записана в следующем виде:

uN (p) º (2p)-3/2 z d3p e-ip×xuN (x) g å u(p, s)[fN (p)]s . (14.1.39)

14.1. Уравнение Дирака				773
где дираковский спинор для свободной частицы
1			L(1 - p × σ / 2me) cs O
u(p, s) g			M	P ,

	2 N(1 + p × σ / 2me) cs Q
c+ º		F 1I		F0I
		G J , c-		º G J ,
		H0K		H 1K

à fN(p) − фурье-образ двухкомпонентной шредингеровской волно-

вой функции:

fN (p) º (2p)-3/2 z d3p e-ip×x fN (x).1

** *

Âзаключение с целью вычисления вкладов различных возмущений приведем главные члены матричных элементов 16 независимых 4 ´ 4

матриц по электронным состояниям.

(

)

g (f† f )

(Ñf

† × σ σ × Ñf ) ,

(14.1.40)

M N

g 0u

) g

(f† f )

(Ñf†

× σ σ × Ñf ) ,

(14.1.41)

M N

[(ÑfM†

× σ σ × fN ) - (fM†

× σ σ × ÑfN )],

(uMguN ) g

(14.1.42)

(

[g 0

, γ

)

[(Ñf† × σ σ × f ) +

†

× σ σ × Ñf )] ,

(14.1.43)

(

[g i , g j ]u

)

g2ie

(f† s

) ,

(14. 1. 44)

ijk

k N

(

Mg 5γuN ) g - i(fM† σfN ) ,

(14. 1. 45)

(

g 0u

) g

[(Ñf†

× σ f

) -

(f†

σ × Ñf )],

(14. 1. 46)

2me

(

Mg 5 uN )

[(ÑfM† × σ fN ) + (fM† σ × ÑfN )] .

(14. 1. 47)

2me

774	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

14.2. Радиационные поправки во внешних полях

Учтем теперь наряду с внешним полем тяжелых заряженных частиц также и квантовое электромагнитное поле и рассмотрим радиационные поправки к результатам предыдущего раздела, обусловленные взаимодействием электронов с квантовым электромагнитным полем. Такие радиационные поправки можно вычислить с помощью обычной фейнмановской диаграммной техники, причем весь вклад внешнего поля будет заключаться в модификации пропагатора поля электронов в присутствии внешнего электромагнитного поля (и в добавлении зависящих от внешнего поля перенормировочных контрчленов из формулы (14.1.1)). Конкретнее, вклад от включения любого числа вершин, соответствующих первому слагаемому в операторе взаимодействия (14.1.1), во внутреннюю электронную линию любой диаграммы заключается в замене голого пропагатора в координатном представлении −iS(x − y) на пропагатор

во внешнем поле

−iSÀ (x, y) ≡ −iS(x − y) + (−i)2 z d4z1S(x − z)eγ μ Àμ (z1)S(z1 − y)

+(−i)3 z d4z1 z d4z2S(x − z1) eγ μ Àμ (z1)S(z1 − z2 ) eγ μ Àμ (z2 )S(z2 − y)

+ . . . ,				(14.2.1)
где, как обычно,
S(x − y) ≡	1	X	−iγ λpλ + m	eip(x− y) .
		Y d4p
	(2π)4	Y d4p	p2 + m2 − iε
	(2π)4	Z	p2 + m2 − iε

(Следует записывать SÀ как функцию x и y, а не x − y, поскольку

внешнее поле нарушает трансляционную инвариантность.) Согласно доказанной в разделе 6.4 теореме, SÀ, определяемый формулой (14.2.1), совпадает с выражением, определяемым формулой

−iSÀ (x, y) = bΦ0 , T{ψ(x), ψ(y)}Φ0 gÀ ,

(14.2.2)

где нижний индекс А справа означает, что вакуумное состояние Φ0 и электронное поле ψ(x) должны быть определены в гейзенберговском

представлении, в котором учитывается только взаимодействие (14.1.1) с внешним полем. Вставляя полный набор промежуточных состояний

14.2. Радиационные поправки во внешних полях

775

ΦN в (14.2.2), приходим к выражению этого пропагатора через вве-

денные в предыдущем разделе дираковские волновые функции:

−iSÀ (x, y) = θ(x0 − y0 )å uN (x)uN (y) − θ(y0 − x0 )åvM (x)vM (y) .

N M

(14.2.3) Можно получить пропагатор (14.2.2) и как решение неоднород-

ного уравнения Дирака

L	∂			O
Mγ λ			+ m + ieγ λ	Àλ (x)PSÀ	(x, y) = δ4 (x − y) ,	(14.2.4)
Mγ λ	∂x	λ	+ m + ieγ λ	Àλ (x)PSÀ	(x, y) = δ4 (x − y) ,	(14.2.4)
N	∂x			Q

которое следует из полевых уравнений (14.1.3) и соотношений антикоммутации (14.1.7), или формально из ряда теории возмущений (14.2.1). Кроме того, из формулы (14.2.3) вытекает, что этот пропагатор удовлетворяет следующим граничным условиям: его фурьеразложение содержит при x0 − y0 → ∞ только «положительночастотные слагаемые», пропорциональные exp(−iE(x0 − y0)) c E > 0, à ïðè x0 − y0 → −∞ — только «отрицательночастотные слагаемые», пропорциональные exp(+iE(x0 − y0)) с Е > 0. Даже в случаях, когда

внешнее поле слишком сильно, и использование ряда теории возмущений (14.2.1) недопустимо, можно с помощью неоднородного уравнения Дирака с такими граничными условиями получить численное решение 4 для пропагатора во внешнем поле. Если только пропагатор найден, амплитуды рассеяния во внешнем поле можно вычислить, используя обычные фейнмановские диаграммы. заменив при этом S(x − y) íà SÀ (x,y) (и включив, где необходимо, соответствую-

щие зависящие от А перенормировочные контрчлены). Посмотрим теперь, как использовать ряд теории возмущений

с пропагатором во внешнем поле для вычисления сдвигов уровней энергии связанных состояний. Рассмотрим полный электронный пропагатор S′À (x,y), учитывающий взаимодействие электрона как с

квантовым электромагнитным полем, так и с внешним полем:

′	(x, y) = dΩ0 , T{Ψ(x), Ψ(y)}Ω0 hÀ	,	(14.2.5)
−iSÀ

ãäå Ψ(x) — электронное поле в гейзенберговском представлении с учетом всех взаимодействий, а Ω0 — вакуумное состояние полного

776	Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

гамильтониана. В случае независящего от времени внешнего потенциала можно найти полный ортонормированный набор собственных состояний ΩN полного гамильтониана с энергиями Е′N. Вставляя сумму

по этим состояниям в произведение операторов в (14.2.5), находим:

′

)

åUN

(x, y) = θ(x

− iEN

− y

(x)UN (y)

−iSÀ

− y

− x

−iE′

(y0

−x0 )

å VN

(14.2.6)

(x)VN (y) ,

− θ(y

ãäå

(Ω0 , Ψ(x, t)ΩN ) ≡ e

UN (x) ,

(14.2.7)

− iE′ t

(Ω , Ψ(x, t)Ω ) ≡ e

V (x) .

(14.2.8)

+ iE′ t

(Сумма включает интегрирование по непрерывному спектру и суммирование по дискретным связанным состояниям. Как и ранее, UN è VN не равны нулю, только если заряд состояния ΩN равен −å èëè

+е, соответственно.) Можно переопределить этот пропагатор, задав его как функцию энергии, а не времени:

′

∞

iE(x0 − y0 )

′

≡ z−∞ dx

(14.2.9)

SÀ (x, y; E)

SÀ (x, y).

(Из инвариантности относительно временны1х трансляций следует,

÷òî S′

(x,y) есть функция x0

− y0, íî íå x0 èëè y0 по отдельности.)

Из формулы (14.2.6) следует, что

′

UN (x)UN (y)

VN (x)VN (y)

(x, y; E) = å E′

− E − iε

− å E′ + E − iε .

(14.2.10)

SÀ

В частности, S′À (x,y;E) имеет полюса в точках, отвечающих как

энергии любого связанного состояния электрона, так и взятой с обратным знаком энергии связанного состояния позитрона. (Конечно, у позитронов нет связанных состояний в кулоновском поле обычного положительно заряженного ядра.)

Рассмотрим теперь радиационные поправки низшего порядка к полному пропагатору. В соответствии с фейнмановскими правилами

14.2. Радиационные поправки во внешних полях

777

полный пропагатор в этом порядке равен S′À = SÀ + dSÀ, ãäå ïî-

правка

dSÀ (x, y) = z d3zz d3w SÀ (x, z) å*À (z, w)SÀ (w, y) , (14.2.11)

а величина i å*À есть сумма всех однопетлевых диаграмм с одной

входящей и одной выходящей электронной линией (исключая последние электронные пропагаторы), вычисленная с использованием пропагатора SÀ (x,y) вместо S(x − y) для внутренних электронных

линий, плюс перенормировочные1 контрчлены второго порядка. Используя вместо временных энергетические переменные, имеем:

dSÀ (x, y; E) = z d3zz d3w SÀ (x, z; E) å*À (z, w; E) SÀ (w, y; E) , (14.2.12)

å*À (z, w; E) º z dz0 eiE(z0 −w0 ) å*À (z, w) .

(14.2.13)

За счет радиационных поправок изменяются волновые функции:

UN = uN + duN, VN = vN + dvN, и энергии связанных состояний: E′N = EN + dEN, так что полный пропагатор равен:

SÀ′ (x, y; E) g SÀ (x, y; E)

+ å

duN (x)

N (y) + uN (x)d

N (y)

EN - E

- å

dvN (x)

N (y) + vN (x)d

N (y)

EN + E

(14.2.14)

- å

uN (x)

N (y)dEN

vN (x)

N (y)dEN

(EN

- E)

(EN + E)

(Мы опустили слагаемые ie, поскольку теперь рассматриваются те

значения Е, которые не принадлежат непрерывному спектру состояний рассеяния.) Видно, что сдвиг dEN энергии связанного со-

стояния электрона определяется коэффициентом при слагаемых -uN (x)uN (y) / (EN - E)2 в полном пропагаторе. Чтобы найти этот ко-

эффициент, заметим, что из (14.2.3) вытекает:

SÀ (x, y; E) = å		- å
	uN (x)uN (y)		vN (x)vN (y)
				.	(14.2.15)
	EN - E - ie		EN + E - ie
N		N

778 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

Подставляя это выражение в (14.2.12), находим:

dSÀ (x, y; E) = å	uN (x)	u	M (y)
	(EN - E)(EM - E)

N,M

(14.2.16)

´ z d3zz d3w uN (z) å*À (z, w; E)uM (w) + . . .

где точки соответствуют дополнительным слагаемым, включающим хотя бы один полюс при отрицательном значении энергии. Сравнивая коэффициенты при (EN − E)−2 здесь и в (14.2.14), получаем:

dEN = -z d3xz d3 y		N (x) å*À (x, y; EN )uN (y) .	(14.2.17)
	u

Функции uN являются решениями однородного уравнения Дирака, удовлетворяющими условию нормировки (14.1.8), так что все это весьма похоже на обычную теорию возмущений первого порядка, с заменой в гамильтониане оператора возмущения на -å*.

В общем случае dEN оказывается комплексным. Это есть след-

ствие нестабильности атомных уровней энергии по отношению к радиационным переходам на нижние уровни. В гл. 3 мы видели, что нестабильное состояние с энергией Е и вероятностью распада G ïðè-

водит к наличию полюсов в разных амплитудах при комплексных значениях энергии E - iG/2. Мнимая часть (14.2.17) равна по этой причине -G/2, а действительная часть определяет сдвиг энергии.

Фейнмановские диаграммы для å* показаны на рис. 14.1. (Об-

ратим внимание на то, что здесь появились новые фотонные диаграммы-головастики, поскольку присутствие внешнего поля нарушает лоренц-инвариантность и инвариантность относительно

зарядового сопряжения, запрещающие подобные диаграммы в обыч- ных правилах Фейнмана.) С помощью фейнмановских правил в координатном представлении получаем вклад этих диаграмм в виде

i å*À (x, y) = [eg μ ][-iSÀ (x, y)][eg μ ][-iD(x - y)] -[eg μd4 (x - y)] z d4z [-iD(x - z)] Tr{[-iSÀ (z, z)][eg -i(Z2 - 1)(g μ¶μ + m)d4 (x - y) + idmd4 (x - y)

+eg μ (Z2 - 1)d4 (x - y)Àμ (x)

+i(Z3 - 1)[eg μ ] d4 (x - y) z d4z [-iD(x - z)] ¶ν (¶νÀ μ

μ ]}

(14. 2. 18)

(z) - ¶μ À ν (z)) ,

<<< < Предыдущая 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 7980 / 8480 81 82 83 84 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая теория поля

#
15.08.2013228 Кб514Акимов, Шипов. Торсионные поля.doc
#
15.08.201350 Мб465Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf
#
15.08.201335 Мб404Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf
#
15.08.20132 Мб71Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf
#
15.08.20132 Мб59Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 2.pdf