Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Если лагранжиан имеет такой вид, совершенно ясно, что любой перенормируемыйÐ лагранжианÑ Ò электродинамики лептонов автомати- чески сохраняет , и , а также числа лептонов (минус числа антилептонов) каждого аромата: электронного, мюонного и тау-лептонно- го *. В частности, несмотря на выражение (12.5.1), такая теория запрещает процессы типа μ → e + γ. Читатель может высказать опасение, правильно ли идентифицировать лептонные поля с функциями ψl (которые ранее обозначались ψ′′l) в лагранжиане (12.5.8), явно сохраняющими лептонный заряд, а не с ψl из лагранжиана (12.5.1), который вроде бы допускает процессы типа μ → e + γ. Эти опасения можно

отбросить: как подчеркивалось в разделе 10.3, нет такого поля, которое можно идентифицировать с истинным полем мюона или электрона. На самом деле, лагранжиан (12.5.1) приводит к отличным от нуля матричным элементами радиационного распада лептона 1 в лептон 2 вне массовой поверхности. Однако, беря импульсы лептонов на массовой поверхности, мы находим, что S-матрица всех таких процессов, даже вычисленных с помощью лагранжиана (12.5.1), обращается в нуль.

При получении этих результатов было существенно, что как левые, так и правые компоненты лептонных полей, входящих в (12.5.1), имели один и тот же электрический заряд или, иными словами, левые и правые компоненты лептонных полей преобразуются одинаково под действием электромагнитных калибровочных преобразований. Как мы увидим в т. II, по схожим причинам современная перенормируемая теория сильных взаимодействий, известная подÑназванием квантовой хромодинамики, автоматически сохраняÐ Ò - ет и (если не считать ряда непертурбативных эффектов) , , а также числа кварков (минус числа антикварков) каждого кваркового аромата. Мы также увидим в т. II, что по причинам, аналогичным изложенным здесь для электродинамики, простейшая версия перенормируемой стандартной модели слабых и электромагнитных взаимодействийÑ Ð автоматически сохраняет лептонный аромат (хотя и не

и ). Открытой остается возможность, что1 эффекты неперенормируемых взаимодействий, идущие от больших масштабов масс, могут нарушать любой из упомянутых законов сохранения.

* Впервые это было показано Фейнбергом, Кабиром и мной 21. Ранее Фейнберг 22 отмечал, что эффекты слабых взаимодействий в теории с единственным типом нейтрино приводят к наблюдаемой вероятности процесса μ → e + γ.

Эта проблема разрешилась только после открытия второго типа нейтрино.

Задачи

1.В случае размерности пространства−времени, равной 2, 3 и 6,

перечислите все перенормируемые (или суперперенормируемые) лоренц-инвариантные слагаемые в лагранжиане одного скалярного поля.

2.Покажите, каким образом в квантовой электродинамике сокращаются перекрывающиеся расходимости в собственной энергии электрона.

3.Рассмотрите теорию скалярного поля ϕ и спинорного поля ψ с гамильтонианом взаимодействия gϕ`ψψ. Запишите однопет-

левой вклад в собственноэнергетическую функцию скалярного поля Π*(q) как сумму расходящегося полинома по pμ è ÿâíî

сходящиегося интеграла.

4.Пусть квантовая электродинамика электронов и фотонов является на самом деле эффективной теорией поля, получен-

ной из теории, где произведено интегрирование по неизвестным частицам массой M . me. Предположите калибровочную

и лоренц-инвариантность,Ñ Ð Òоднако не требуйте инвариантности относительно , и . Каковы неперенормируемые слагаемые в лагранжиане в ведущем порядке по 1/М? Как выглядят эти слагаемые в следующем порядке?

Список литературы

1.Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949). История вопроса изложена в книге: Renormalization, ed. by L.M.Brown (Springer Verlag, New York, 1993). Подробное современное изложение см. в книге: Collins, J. Renormalization (Cambridge University Press, Cambridge, 1984) (есть рус. пер.: Дж. Коллинз. Перенормировка. М.: Мир, 1988).

2.Weinberg, S., Phys. Rev., 118, 838 (1959). Это доказательство опирается только на общие асимптотические свойства подынтегральных выражений в фейнмановских интегралах в евк-

лидовом импульсном пространстве, полученных виковским поворотом всех контуров интегрирования. Доказательство было упрощено за счет более детального анализа подынтегрального выражения в работе: Hahn, Y. and Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 10, 330 (1968), а затем распространено на интегралы в импульсном пространстве Минковского в работе: Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 11, 1 (1968).

3.Bjorken, J.D. and Drell, S.D., Relativistic Quantum Fields (McGrow Hill, New York, 1965), sections 19.10, 19.11 (есть рус. пер.: Дж.Д. Бьеркен, С. Дрелл. Релятивистская квантовая теория. Тт. 1, 2. М. : Наука, 1978.)

4.См., например, в книге: Wess, J. and Bagger, J.,Supersymmetry and Supergravity (Princeton University Press, Princeton, 1983) и ссылки на литературу в ней (есть рус. пер.: Ю. Весс, Дж. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986.

5.Salam, A., Phys. Rev., 82, 217 (1951); Phys. Rev., 84, 426 (1951); Matthews, P.T. and Salam, A., Phys. Rev., 94, 185 (1957).

6.Bogoliubov, N.N. and Parasiuk, O., Acta Math., 97, 227 (1957).

7.Hepp, K., Commun. Math. Phys., 2, 301 (1966). Хепп замеча- ет, что «трудно найти двух теоретиков с изоморфным пониманием основных шагов в доказательстве Боголюбова и Парасюка», но и работа самого Хеппа читается нелегко.

8.Zimmerman, W., Commun. Math. Phys., 15, 208 (1969). См. также статью В. Циммермана в сб.: Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory. Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics (M.I.T. Press, Cambridge, 1970).

9.Heisenberg, W., Z. Physik, 110, 251 (1938).

10.Heisenberg, W., Ref. [9] and Z. Physik, 113, 61 (1939).

11.Sakata, S., Umezawa, H., and Kamefuchi, S., Prog. Theor. Phys., 7, 327 (1952).

12.Weinberg, S., Physica, 96A, 327 (1979).

13.Gasser, J. and Leutwyler, H., Ann. Phys. (NY), 158, 142 (1984); Nucl. Phys., B250, 465 (1985).

14.Donoghue, J.F., Phys. Rev., D 50, 3874 (1994).

15.Один из возможных способов того, чтобы это случилось, связан с явлением «асимптотической безопасности». См.: Weinberg, S., in General Relativity — An Einstein Centenary Survey, ed. by S.W. Hawking and W. Israel (Cambridge University Press, Cambridge, 1979), Section 16.3 (есть рус. пер.: Общая теория относительности. Под ред. С. Хокинга и В. Израеля. М.: Мир, 1983).

16.Euler, H. and Kockel, B., Naturwiss, 23, 246 (1935); Heisenberg, W. and Euler, H., Z. Physik, 98, 714 (1936).

17.Эффективный лагранжиан Эйлера и др. был использован в однопетлевых вычислениях в работе: Halter, J., Phys. Lett., B 316, 155 (1971).

18.Wilson, K.G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971); Rev. Mod. Phys., 47, 773 (1975).

19.Polchinski, J., Nucl. Phys., B231, 269 (1984); lecture in Recent Directions in Particle Theory — Proc. of the 1992 TASI Conf., ed. by J. Harvey and J. Polchinski (World Scientific, Singapore, 1993), p. 235.

20.Novikov, V., Shifman, M.A., Vainshtein, A.I., and Zakharov, V.I., Nucl. Phys., B229, 381 (1983); Shifman, M.A. and Vainshtein, A.I., Nucl. Phys., B277, 456 (1986) и ссылки в этих работах. См. также Shifman, M.A. and Vainshtein, A.I., Nucl. Phys., B359, 571 (1991).

21.Feinberg, G., Kabir, P., and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 3, 527 (1959).

22.Feinberg, G., Phys. Rev., 110, 1482 (1958).

13

Инфракрасные эффекты

При изучении радиационных поправок особую роль играют те из них, которые обязаны своим происхождением “мягким” фотонам, т. е. фотонам, импульс и энергия которых много меньше характерных масс и энергий изучаемого процесса. Дело не только в том, что эти поправки часто бывают настолько большими, что нужно учитывать их во всех порядках теории возмущений, но и в том, что такое суммирование без труда осуществляется. Вклад фотонов бесконечно больших длин волн принимает форму расходящихся интегралов, но, как мы увидим, все эти «инфракрасные расходимости» сокращаются 1.

В большей части данной главы мы будем иметь дело с фотонами, взаимодействующими с заряженными частицами произвольного типа и спина, включая атомные ядра, способные не только к электромагнитным, но и сильным взаимодействиям. Однако нетрудно приспособить представленные ниже вычисления к инфракрасным эффектам, связанным с другими безмассовыми частицами вроде глюонов в квантовой хромодинамике. В разделе 13.4 мы явно рассмотрим весьма широкий класс теорий безмассовых частиц и докажем в общем виде сокращение инфракрасных расходимостей.

После таких обобщений мы вернемся к изучению фотонов и рассмотрим два практически важных вопроса:

рассеяние мягких фотонов заряженными частицами с произвольными неэлектромагнитными взаимодействиями, обладающими произвольным спином;

представление тяжелых заряженных частиц типа атомных ядер в виде источников внешнего электромагнитного поля.

что в пределе q ® 0 сводится к множителю

(Мы вправе переопределять величину положительной бесконечно малой добавки e, заботясь только о сохранении ее знака.) Получен-

ный результат на самом деле верен для заряженных частиц любого спина. Например, для частицы спина 1/2 и заряда +е нужно заменить коэффициентную функцию u(p, σ) для выходящей заряжен-

ной частицы на

Âпределе q ® 0 числитель пропагатора равен сумме диад:

-ip/ + m = 2p0 å u(p, s¢)u(p, s¢) ,

σ′

так что получается сумма матричных элементов оператора gμ между

спинорами с одинаковыми импульсами, имеющими вид

u(p, s)g μ u(p, s¢) = -idσ,σ′pμ / p0 .

И в этом случае эффект сводится к умножению матричного элемента процесса a ® b на множитель (13.1.1). Вообще, для заряженных

частиц любого спина 4-импульс p + q на новой внутренней линии в пределе q ® 0 стремится к массовой поверхности, так что числи-

тель пропагатора стремится к сумме диад коэффициентных функций, превращающей новую вершинную матрицу в множитель, пропорциональный pμ, и единичную матрицу по спиральным индексам.

В результате вновь приходим к (13.1.1). Далее, как мы видели в гл. 10, поправки более высоких порядков не влияют на вычеты полюсов пропагаторов на массовой поверхности, а также на матрич- ный элемент электрического тока между состояниями одной и той же частицы при одинаковых импульсах, так что (13.1.1) определяет правильный во всех порядках теории возмущений множитель,

связанный с испусканием мягкого фотона с линии выходящей заряженной частицы.

Те же аргументы применимы к фотону, испускаемому в процессе a ® b с линии входящей заряженной частицы, с той разни-

цей, что после того, как входящая частица испустит фотон с 4-им- пульсом q, линия заряженной частицы приобретает импульс p - q, è

вместо (13.1.1) получается множитель

Фотон может, конечно, испускаться и с внутренней линии диаграммы процесса a ® b, но в этом случае не возникает множителя, ведущего себя как (p×q)−1 ïðè q ® 0. Таким образом, амплитуда Mβαμ

(матричный элемент без дельта-функции закона сохранения энер- гии-импульса) испускания одного мягкого фотона с 4-импульсом q и поляризационным индексом m в процессе a ® b определяется сум-

мой слагаемых типа (13.1.1) и (13.1.2), по одному на каждую выходящую или входящую заряженную частицу:

ãäå pn è +en — 4-импульс и заряд n-й частицы в начальном или конечном состоянии, а hn — знаковый множитель, равный +1 для частиц в конечном состоянии b è -1 для частиц в начальном состоянии a.

Прежде чем переходить к рассмотрению испускания нескольких мягких фотонов, нелишне напомнить важное свойство 2 формулы (13.1.1). Чтобы вычислить амплитуду испускания фотона определенной спиральности, нужно свернуть это выражение с соответствующим вектором поляризации eμ(q,±). Однако мы видели в разделе 5.9, что eμ(q,±) не является 4-вектором: под действием преобразований Лоренца Lμν вектор поляризации преобразуется в Lμνeν(q,±) плюс слагаемое, пропорциональное qμ. Для того, чтобы это

дополнительное слагаемое не разрушило лоренц-инвариантность, необходимо, чтобы свертка Mβαμ (q) ñ qμ обращалась в нуль. Однако при q ® 0 из (13.1.3) имеем

Коэффициент при Mβα в правой части равен полному заряду в ко-

нечном состоянии минус полный заряд в начальном состоянии, так что условие обращения в нуль эквивалентно условия сохранения заряда. Итак, без всяких дополнительных предположений о калибровочной инвариантности, мы получаем, что для частиц со спином единица и массой нуль из лоренц-инвариантности вытекает сохранение любой константы связи типа электрического заряда, определяющей взаимодействие этих частиц при низких энергиях.

Между прочим, амплитуда испускания мягкого гравитона с 4-им- пульсом q и тензорными индексами m, n в процессе a ® b дается

формулой 3, аналогичной (13.1.3):

ãäå fn − константа связи мягкого гравитона с частицами типа n. Из лоренц-инвариантности вытекает, что свертка амплитуды с qμ îá-

ращается в нуль. Но

так что сумма å fnpnν сохраняется. Однако единственная линейная

комбинация 4-импульсов, которая может сохраняться, не приводя к запретам на все нетривиальные процессы рассеяния, это полный 4- импульс, так что для сохранения (13.1.6) все fn должны быть равны. (Общее значение fn можно считать равным 8pGN , ãäå GN — ньюто-

новская постоянная тяготения.) Таким образом, из лоренц-инвари- антности вытекает, что низкоэнергетические безмассовые частицы спина 2 одинаково взаимодействуют со всеми формами энергии и импульса. Это первый шаг на долгом пути к доказательству, что принцип эквивалентности Эйнштейна является необходимым следствием лоренц-инвариантности в применении к безмассовым частицам спина 2. Аналогично, амплитуда испускания мягкой безмассовой частицы со спином j ³ 3 в процессе a ® b имеет вид

Требование лоренц-инвариантности приводит к тому, что сумма å gnpnν pρn . . . должна сохраняться. Но ни одна такая величина не мо-

жет сохраняться без запрета на все нетривиальные процессы рассеяния, так что все gn должны обращаться в нуль. Безмассовые частицы со спином j ³ 3 могут существовать, но их константы связи

должны обращаться в нуль в пределе низких энергий, в частности, такие частицы не могут быть переносчиками сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния.

Рассмотрим теперь испускание двух мягких фотонов. Вклад в матричный элемент от диаграммы, в которой два фотона испускаются с разных внешних линий процесса a ® b, определяется умножением матричного элемента a ® b на произведение множителей

вида (13.1.1) или (13.1.2). Может быть, несколько удивительно, что тот же результат верен, если два фотона испускаются со одной и той же линии. Например, если фотон 1 испускается с внешней линии частицы с зарядом +е и 4-импульсом р после фотона 2, получа- ем множитель

N p × q1 - ihe Q N p × (q2 + q1) - ihe Q

если же фотон 2 испускается после фотона 1, этот множитель принимает вид

N p × q2 - ihe Q N p × (q1 + q2 ) - ihe Q

(См. рис. 13.2. Фактор h по-прежнему равен +1 или −1 в зависимости

от того, является линия заряженной частицы выходящей или входящей.) Сложение двух множителей приводит к выражению

N p × q1 - ihe Q N p × q2 - ihe Q