Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

11.1. Контрчлены

Возьмем лагранжиан электронов и фотонов в виде *:

B, ψB è ψB — голые (т. е. неперенормированные) поля фотона

èэлектрона, а −å è mB — голые заряд и масса электрона. Согласно

предыдущей главе, можно ввести перенормированные поля, массу

èзаряд соотношениямиμ

где константы Z2, Z3 è δm подбираются так, чтобы пропагаторы

перенормированных полей имели полюсы в тех же точках и с теми же вычетами, что и пропагаторы свободных полей в отсутствие взаимодействий. Тогда лагранжиан можно записать через перенормированные величины в виде

* В этой главе нам не потребуется переходить от гейзенберговских операторов к операторам в представлении взаимодействия, поэтому мы вернемся к общепринятым обозначениям, когда заглавная буква А и строчная буква ψ

используются для обозначения соответственно полей фотона и заряженной частицы.

640 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

à L2 есть сумма «контрчленов»:

Оказывается, что все слагаемые в L2 − второго и более высоких

порядков по е, и их как раз хватает для того, чтобы сократить ультрафиолетовые расходимости, возникающие от петлевых диаграмм.

11.2 Поляризация вакуума

Начнем наши вычисления петлевых радиационных поправок с так называемого эффекта поляризации вакуума, т. е. с поправок к пропагатору, отвечающему внутренней фотонной линии. Поляризация вакуума приводит к измеряемым сдвигам энергетических уровней атома водорода и дает важный вклад в значения энергии связи мюонов, находящихся на орбитах вокруг тяжелых ядер. Кроме того, как мы увидим в т. II, вычисление поляризации вакуума является ключевым для определения поведения электродинамики и других калибровочных теорий при высоких энергиях.

Как и в разделе 10.5, определим i(2π)4∏*ρσ(q) как сумму всех

связных диаграмм с двумя внешними фотонными линиями, несущими индексы поляризаций μ è ν и 4-импульс q. В это выражение

не входят фотонные пропагаторы от двух внешних фотонных линий, а звездочка означает, что исключаются диаграммы, которые становятся несвязными после разрезания некоторой внутренней фотонной линии. Точный фотонный пропагатор Δ′μν(q) дается форму-

ëîé (10.5.3):

ãäå μν(q) — пропагатор фотона без радиационных поправок. Наша задача — вычислить главные вклады в ∏*ρσ(q).

В низшем порядке имеется однопетлевой вклад в ∏*, îòâå-

чающий диаграмме рис. 11.1:

642 Глава 11. Однопетлевые радиационные поправки в КЭД

(Это частный случай более общего класса интегралов, рассмотренных в Приложении к этой главе.) Теперь можно сдвинуть переменную интегрирования в импульсном пространстве *:

p → p + qx ,

так что выражение (11.2.3) принимает вид

(11.2.5) Используя результаты Приложения к гл. 8, можно без труда вы- числить след в подынтегральном выражении:

Tr{[-i(p/ + qx/ ) + m] g ρ [-i(p/ - q/(1 - x)) + m] g σ }

= 4 -(p + qx)ρ (p - q(1 - x))σ + (p + qx) × (p - q(1 - x))hρσ

(11.2.6)

- (p + qx)σ (p - q(1 - x))ρ + m2hρσ .

Следующий шаг носит название виковского поворота 2. Äî òåõ ïîð, ïîêà -q2 < 4m2, величина m2 + q2x(1 - x) положительна при всех x

* Строго говоря, этот шаг верен только для сходящихся интегралов. В принципе, чтобы обосновать сдвиг переменных, следует ввести какую-то схему регуляризации, делающую все интегралы сходящимися. Такой схемой может быть, например, схема размерной регуляризации.

между 0 и 1, так что полюсы подынтегрального выражения в (11.2.5)

находятся в точках p0 = ±p2 + m2 + q2x(1 - x) - ie , ò. å. ÷óòü âûøå

отрицательной действительной оси и чуть ниже положительной действительной оси (см. рис. 11.2). Можно повернуть контур интегрирования по р0 против часовой стрелки, не пересекая при этом ни одного из полюсов, так что вместо интегрирования по р0 вдоль действительной оси от -¥ äî +¥, мы интегрируем вдоль мнимой оси от - i¥ äî +i¥. Иными словами, можно написать p0 = ip4, и теперь интегрировать по действительным значениям р4 îò -¥ äî +¥. (Если бы в знаменателе пропагатора входило ie вместо -ie, следовало бы положить p0 = -ip4, причем p4 опять пробегало бы все действительные значения от -¥ äî +¥. В результате просто изменился бы знак Π1LOOP*ρσ (q).) Теперь формула (11.2.5) принимает вид:

Im p0

Re p0

Рис. 11.2. Виковский поворот контура интегрирования по р0. Маленькие крестики указывают положение полюсов в комплексной плоскости р0, стрелки показывают направление поворота контура интегрирования от действительной к мнимой оси

и все скалярные произведения вычисляются с использованием евклидовой нормы

a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 ,

при соглашении, что q4 º −iq0. Кроме того, hρσ можно считать либо

кронекеровским дельта-символом с индексами, принимающими зна- чения 1, 2, 3, 4, либо обычным тензором Минковского с индексами, принимающими значения 1, 2, 3, 0 *.

Интеграл (11.2.7) сильно расходится. В конце концов все бесконечности сократятся, но чтобы увидеть это, необходимо использовать на промежуточных стадиях вычисления какой-то способ регуляризации, делающий интегралы сходящимися. Не годится просто обрезать интегралы на некотором максимальном импульсе L, интегрируя по pμ только при p2 < L2, поскольку это эквивалентно введению в электронный пропагатор ступенчатой функции q(L2 - p2),

а тождество Уорда (10.4.25) показывает, что для сохранения калибровочной инвариантности любая модификация электронного пропагатора должна сопровождаться модификацией электрон-фотонной вершины. На самом деле, при обычном L-обрезании радиационные

поправки будут индуцировать массу фотона, что явно нарушает калибровочную инвариантность **.

Практика показала, что самым удобным способом регуляризации расходящихся интегралов, не нарушающим калибровочной инвариантности, является техника размерной регуляризации, предложенная в 1972 году ¢т Хофтом и Вельтманом 3 и основанная на

аналитическом продолжении по размерности пространства–времени от четырех к произвольному числу d. Она состоит в усреднении по

* Первое соглашение относится к так называемому евклидовому развороту (аналог виковского поворота). Именно, P*1ÏÅÒË допускает

аналитическое продолжение по q0 в евклидову область q0 = iq4. По модулю кинематических множителей (см. ниже формулу (11.2.16)) P*1ÏÅÒË (точнее функция p) является аналитической функцией -q2 в комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной полуоси -q2 ³ 4m2. В тексте рассматри-вается область -q2 > 4m2. Ïðè -q2 > 4m2 физическому значению функции p отвечает

ååграничное значение сверху на этой полуоси. — Прим. ред.

**Именно, поперечность P*μν, èìåÿ â âèäó, ÷òî Pμν не имеет полюсов

ïðè q2 = 0 (см. гл. 10, раздел 5). — Прим. ред.

угловым переменным в интегралах типа (11.2.7), что сводится к отбрасыванию всех слагаемых, нечетных по р, и замене слагаемых, содержащих четное число множителей р, по правилу *

Далее, после того как подынтегральное выражение с помощью указанной процедуры запишется как функция только р2, следует

заменить элемент объема d4pE íà Ωdκd-1dκ, ãäå κ ≡ p2 , à Ωd —

площадь сферы единичного радиуса в d измерениях:

После этого интеграл (11.2.7) становится сходящимся в случае комплексной размерности пространства-времени d. Можно продолжить интеграл от комплексных значений d к d = 4, и тогда бесконечности проявятся как множители (d − 4)-1.

Применяя метод размерной регуляризации к интегралу (11.2.7), получаем:

Интегралы по κ можно вычислить для любого комплексного d (или

для любого действительного d, не равного целому четному числу) **.

* Проще всего вывести эти формулы, заметив, что их вид диктуется ло- ренц-инвариантностью и симметрией по индексам μ, ν, ρ и т. д. Коэффициен-

ты можно найти, требуя, чтобы правая и левая части давали одинаковый результат после свертки с η.

** Строго говоря, этот интеграл определен при 1 < Red < 4, а при прочих d он определен аналитическим продолжением. — Прим. ред.

Воспользуемся хорошо известными формулами (в более общем виде они даны в Приложении к этой главе):

d

+ d2qρqσx(1 − x) − q2ηρσx(1 − x) + m2ηρσ idm2 + q2x(1 − x)i 2 −2

O

× Γ(d 2)Γ(2 − d 2)P .

Q

Два слагаемых в подынтегральном выражении можно объединить, если учесть соотношение

(1 − 2d)Γ(1 + d2)Γ(1 − d2) = −Γ(d / 2)Γ(2 − d2) .

В результате

Очень важно то, что найденный вклад в ∏ρσ удовлетворяет соотно-

шению

Теперь можно снять регуляризацию, разрешив d принять его физическое значение d = 4. Выше отмечено, что однопетлевой вклад содержит бесконечность, возникающую из-за поведения гаммафункции в этом пределе:

ãäå g = 0,5772157 — постоянная Эйлера. Бесконечная часть Z3 − 1 получается, если заменить G(2 − d/2) íà 1/(2 − d/2) è âî âñåõ îñ-

тальных местах положить d = 4:

В т. II мы увидим, что этот результат можно использовать для нахождения главного члена в уравнении ренормгруппы для заряда электрона.

Очевидно, что полюсы при d = 4 в p(q2) сокращаются, так как в этом случае выражения [m2 + q2x(1-x)]d/2–2 è (m2)d/2–2 имеют одинаковый предел, равный единице. По этой же причине слагаемое -g â G(2-d/2) сокращается в полном выражении для p(q2), хотя оно и вносит конечный вклад в Z3 - 1. Есть и другие конечные вклады в Z3 - 1, возникающие от произведения полюса в G(2-d/2) и линейных слагаемых в разложении WdG(d/2) в окрестности d = 4, но и они сокращаются в полном p(q2). В действительности, проводя размерную регуляризацию, можно было бы заменить (2p)–4 íà (2p)–d, à Tr 1 = 4 —

на размерность 2d/2 гамма-матриц в пространстве-времени с произвольной четной размерностью d. Однако все это дало бы вклад только в конечную часть Z3 - 1, íî íå â p(q2). Далее, нельзя считать

å2 независящим от d, поскольку из формулы (11.2.13) вытекает, что квадрат заряда имеет зависящую от d размерность [масса]4−d. Если положить e2 µ m4−d, ãäå m — некая величина размерности