Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Полезно записать выражение (9.А.6) через стационарную точку

Этот результат стоит запомнить: гауссовские интегралы можно вы- числить с точностью до множителя, содержащего детерминант, положив переменную интегрирования равной значению в точке, где показатель экспоненты стационарен.

Далее, мы хотим использовать полученный результат для вычисления интегралов

(Подобные интегралы с нечетным числом множителей x очевидным образом равны нулю.) Разложив в ряд exp(−årLrxr) в выражении

(9.А.1), получаем правило сумм

Сравнивая коэффициенты при Lr1 Lr2 . . . Lr2N с обеих сторон равенства, видим, что Ir1r2 ...r2N должно быть пропорционально сумме произведений матричных элементов матрицы K−1, вид которой оп-

ределяется требованием симметрии относительно перестановки индексов r1, r2, ..., r2N:

r1 ...r2N

Здесь сумма берется по всем способам спаривания индексов r1...r2N, причем два спаривания считаются одинаковыми, если они отлича- ются порядком расположения пар или порядком индексов внутри пары.

Для вычисления постоянного множителя cN заметим, что число νN слагаемых в сумме по спариваниям в правой части формулы

(9.А.12) равно числу (2N)! перестановок индексов, деленному на число N! способов перестановки пар и на число 2N перестановок внутри каждой пары :

Сравнивая это выражение с формулой (9.А.11), видим, что множители (2N)! и N!2N сокращаются с νN, и в результате остается

Ir1r2r3r4 = I0 (K −1)r1r2 (K −1)r3r4 + (K −1)r1r3 (K −1)r2r4 + (K −1)r1r4 (K −1)r2r3 ,

(9. À. 17)

1965) (есть рус. пер.: Фейнман Р., Хибс, А. Квантовая мезаника и интегралы по траекториям. — М., Мир, 1968.) Общие ссылки см.: Glimm, J. and Jaffe, A. Functional Integral Point of View, 2-nd edn (Springer-Verlag, New York, 1987).

2. Dirac, P.A.M., Phys. Zeits. Sowjetunion, 3, 62 (1933).

3. Feynman, R.P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948); Phys. Rev., 74, 939, 1430 (1948); 76, 749, 769 (1949); 80, 440 (1950).

4.Faddeev, L.D. and Popov, V.N., Phys. Lett., B25, 29 (1967). См. также: Feynman, R.P., Acta Phys. Pol., 24, 697 (1963); Mandelstam, S., Phys. Rev., 175, 1580, 1604 (1968).

5. De Witt, B., Phys. Rev. Lett., 12, 742 (1964).

6. 't Hooft, G., Nucl. Phys., B35, 167 (1971).

7. Gerstein, I.S., Jackiw, R., Lee, B.W. and Weinberg, S., Phys. Rev., D3, 2486 (1971).

8. Фаддеев, Л.Д., Теор. Мат. Физика, 1, 3 (1969).

8a. Schwinger, J., Proc. Nat. Acad. Sci., 44, 956 (1958).

8b. Osterwalder, K. and Schrader, R., Phys. Rev. Lett., 29, 1423 (1972); Commun. Math. Phys., 31, 83 (1973); 42, 281 (1975). Аксиомы Остервальдера–Шрадера включают требования гладкости, евклидовой ковариантности, «положительности относительно отражений», симметрии относительно перестановок и кластерного разложения.

9. Содержание этого раздела во многом определили дискуссии с Дж. Польчинским.

10. Березин, Ф.А. Метод вторичного квантования. М., Наука, 1965.

11. Laidlaw, M.G.G. and de Witt, C.M., Phys. Rev., D3, 1375 (1970).

12. Leinaas, J.M. and Myrheim, J., Nuovo Cimento, 37B, 1 (1977).

13. Ohnuki, Y. and Kamefuchi, S., Phys. Rev., 170, 1279 (1968); Ann. Phys., 51, 337 (1969); Druhl, K., Haag, R., and Roberts, J.E.,

Commun. Math. Phys., 18, 204 (1970).

14. Группа кос была введена Э. Артином. См. в сборнике: The Collected Papers of E. Artin. Ed. by S. Lang and J.E. Tate (Addison– Wesley, Reading, MA, 1965).

15. Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 49, 957 (1982); Fredenhagen, K., Gaberdiel, R., and Ruger, S.M., Cambridge Preprint DAMPT- 94-90 (1994). См. также [12].

10

Непертурбативные методы

Мы намерены теперь приступить к изучению вкладов высших порядков теории возмущений в физические процессы, вкладов, которые описываются фейнмановскими диаграммами с одной или несколькими петлями. При этом было бы очень полезно иметь в распоряжении метод, который позволяет получать результаты, справедливые во всех порядках теории возмущений (а в некоторых случаях и вне рамкок теории возмущений). Для этой цели мы будем использовать в данной главе уравнения поля и коммутационные соотношения для взаимодействующих полей в картине Гейзенберга. Связь между гейзенберговской картиной и фейнмановскими диаграммами теории возмущений устанавливается теоремой, доказанной в разделе 6.4: сумма всех диаграмм процесса α → β с дополни-

тельными вставками, отвечающими операторам oa(x), ob(y) и т. д., есть матричный элемент хронологически упорядоченного произведения соответствующих гейзенберговских операторов

dΨβ− , Tl−iOa (x),−iOb (y). . .qΨα+ i .

В частном случае, когда операторы Oa(x), Ob(x) и т. д. являются полями элементарных частиц, этот матричный элемент равен сумме вкладов всех фейнмановских диаграмм с входящими линиями на массовой поверхности, отвечающими состоянию α, и выходящими линиями на массовой поверхности, отвечающими состоянию β, ñîîò-

ветственно, и линиями вне массовой поверхности (включая пропагаторы), отвечающими операторам Oa(x), Ob(x) и т. д. Изучив некоторые получающиеся таким образом непертурбативные результаты, мы сможем приступить к вычислениям радиационных поправок.

а F зависит только от разностей координат. (В частности, вакуумное среднее может зависеть только от разностей координат.) Интегрируя отдельно по xμ и разностям координат, можно найти фурье-

образ выражения (10.1.4):

z d4x1d4x2 . . .dYβ− , TlOa (x1), Ob (x2 ), . . .qYα+ i

(10.1.6)

´ exp(-ik1 × x1 - ik2 × x2 - . . .) µ d4 (pβ - pα - k1 - k2 - . . . ) .

В разделе 6.4 было показано, что выражение для матричного элемента хронологического произведения определяется обычными правилами Фейнмана в координатном представлении применительно к сумме всех диаграмм с входящими частицами в состоянии a, выходящими частицами в состоянии b, и внешними линиями, которые оканчиваются в вершинах с координатами x1, x2, ¼ .

Соответственно, фурье-образ (10.1.6) определяется правилами Фейнмана в импульсном представлении для той же суммы диаграмм, у которых внешние линии вне массовой поверхности имеют 4-импульсы k1, k2, ¼ , направленные в диаграмму. Формула (10.1.6)

утверждает тогда, что эта сумма фейнмановских диаграмм сохраняет 4-импульс. Такой результат очевиден в теории возмущений, т. к. 4-импульс сохраняется в каждой вершине, поэтому неудивительно, что тот же результат можно получить, и не опираясь на теорию возмущений.

Затратив несколько больше усилий, можно воспользоваться свойствами гейзенберговских полей и ин- и аут-состояний (9.6.16) по отношению к преобразованиям Лоренца, чтобы показать, что сумма всех диаграмм с данным набором линий, находящихся как на массовой поверхности, так и вне ее, обладает теми же свойствами относительно лоренцовских преобразований, что и слагаемые низшего порядка.

Аналогичные аргументы применимы к сохранению внутренних квантовых чисел, таких как электрический заряд. Как показано в разделе 7.3, поле или другой оператор Oa(x), уничтожающий заряд qa (или рождающий заряд −qa), удовлетворяет уравнению

как в гейзенберговском представлении, так и в представлении взаимодействия. Кроме того, если состояния свободных частиц α è β имеют заряды qα è qβ, то такие же заряды имеют соответствующие

ин- и аут-состояния. Тогда

(qβ − qα )dΨβ− , TlOa (x), Ob(y), . . .qΨα+ i

=dΨβ− , Q, TlOa (x), Ob(y), . . .qΨα+ i

=−(qa + qb + . . . )dΨβ− , TlOa (x), Ob(y), . . .qΨα+ i .

Несколько менее тривиальный пример — инвариантность относительно зарядовогоC сопряжения. Как показано в гл. 5, существует оператор , преобразующий электронные операторы в позитронные и обратно:

Ca(p, σ, e− )C−1 = ξ*a(p, σ, e+ ) ,

Ca(p, σ, e+ )C−1 = ξa(p, σ, e− ) ,

ãäå ξ — фазовый множитель. Для свободного электронного поля ψ(x) ýòî

означает, что

Cψ(x)C−1 = ξ*βCψ(x)* ,

ãäå βC — матрица 4×4, имеющая (в используемом нами представлении дираковских матриц, где диагональна матрица γ5) âèä