Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Для каждой такой петли происходит сокращение диаграмм, отли- чающихся направлением обхода петли по стрелкам. Таким образом, теорема Фарри представляет несколько менее тривиальное следствие принципа симметрии, чем трансляционная или лоренцовская инвариантность: теорема верна не для отдельных диаграмм, а для определенной их совокупности. Рис. 10.1 иллюстрирует применение теоремы Фарри, которое оказалось исторически наиболее важным: доказательство того, что при рассеянии фотона внешним электромагнитным полем отсутствуют вклады первого (или любого нечетного) порядка по внешнему полю.

Рис. 10.1. Диаграммы низшего порядка для рассеяния фотона электромагнитным полем. Прямые линии отвечают виртуальным электронам, волнистые линии — реальным или виртуальным фотонам, жирная линия соответствует тяжелой частице типа атомного ядра, которая служит источником электромагнитного поля. Вклады указанных двух диаграмм сокращаются, как и требуется инвариантностью относительно зарядового сопряжения

10.2. Полология

Одним из наиболее важных применений непертурбативных методов, о которых идет речь в этой главе, является выяснение полюсной структуры фейнмановских амплитуд как функций импульсов внешних линий. Часто матричные элементы физического процесса могут быть хорошо аппроксимированы вкладом одного полюса. Кроме того, понимание полюсной структуры поможет

z d4x1 . . . d4xre-iq1 ×x1 . . . e-iqr ×xr cΨ0 , T{A1(x1). . . Ar (xr )}Ψp,s h

(p0 ≡ p2 + m2 ), а сумма берется по всем спиновым (и другим)

состояниям частицы массой m.

Прежде, чем переходить к доказательству, полезно записать выражение (10.2.3) в более развернутой форме, позволяющей луч- ше понять его важность

Это выражение как раз соответствует тому, что мы ожидаем от вклада фейнмановской диаграммы с единственной внутренней линией, отвечающей частице массой m и соединяющей два блока диаграммы (две поддиаграммы) с первыми r внешними линиями и последними n − r внешними линиями соответственно *. Однако не являет-

ся необходимым, чтобы частица массой m соответствовала полю, входящему в лагранжиан теории. Формулы (10.2.3) и (10.2.6)

* См. рис. 10.2. Множители [2(k2 + m2 )]12 служат для устранения

кинематических множителей, связанных с внешней линией, отвечающей частице массой m, в амплитудах M0|k,σ è Mk,σ|0, а сумма по σ произведения

этих двух матричных элементов, приводит к числителю пропагатора, отве- чающего внутренней линии на рис. 10.2.

Переходим к доказательству. Среди n! возможных упорядочи- ваний моментов времени x10, ..., xn0 в формуле (10.2.1) существуют n!/r!(n−r)! таких, для которых все первые r моментов времени xi0 больше, чем последние (n−r). Выделяя вклад этой части объема

интегрирования в (10.2.1), получим

× bΨ0 ,T{A1(x1). . . Ar (xr )}T{Ar +1(xr +1). . . An (xn )}Ψ0 g + ÄÑ ,

где «ДС» означает «другие слагаемые», отвечающие другим последовательностям времен в аргументах операторов полей. Матричные элементы в этом выражении вычисляются путем вставки между хронологическими произведениями полного набора промежуточных состояний. Среди этих состояний могут быть одночастичные состояния Ψp,s определенного сорта частиц массой m. Выделяя вклад этих

одночастичных промежуточных состояний, имеем

× cΨ0 ,T{A1(x1). . . Ar (xr )}Ψp,s )(Ψp,s ,T{Ar +1(xr +1). . . An (xn )}Ψ0 h + ÄÑ ,

где теперь уже «ДС» означает другие слагаемые, возникающие не только от других последовательностей моментов времени, но и от других промежуточных состояний. Удобно осуществить сдвиг переменных интегрирования

Тогда, используя результаты предыдущего раздела, получим:

cΨ0 , T{A1(x1). . . Ar (xr )}Ψp,s h

= eip×x1 cΨ0 , T{A1(0)A2 (y2 ). . . Ar (yr )}Ψp,s h , (10.2.9)

584 Глава 10. Непертурбативные методы

cΨp,s , T{Ar +1(xr +1). . . An (xn )}Ψ0 h

= e-ip×xr+1 cΨp,s , T{Ar +1(0). . . An (yn )}Ψ0 h . (10.2.10)

Кроме того, аргумент тета-функции принимает вид:

min[x10 . . . x0r ] − max[x0r +1. . . x0n ]

= x10 − x0r +1 + min[0y20 . . . y0r ] − max[0y0r +1. . . y0n ] .

Подставим также фурье-представление (6.2.15) ступенчатой функции:

После этого интегралы по x1 è xr+1 приводят к дельта-функциям:

G(q1. . . qn ) = z d4y2 . . . d4yrd4yr +2 . . . d4yn

× e-iq2 ×y2 . . . e-iqr ×yr e-iqr+2 ×yr+2 . . . e-iqn ×yn

Нас интересует только полюс, возникающий в результате обращения в нуль знаменателя ω + iε, так что можно положить множитель exp(−iω(ìèí − макс)) равным единице. Интегралы по р и ω становятся тривиальными и дают:

и заключительное многоточие в (10.2.12) обозначает слагаемые, не содержащие данного полюса. («Другие слагаемые», возникающие от других одночастичных состояний, приводят к полюсам по q в других точках, а слагаемые, возникающие от многочастичных состояний, приводят к появлению точек ветвления по q. Наконец, слагаемые, возникающие от других последовательностей моментов времени, приводят к полюсам и точкам ветвления по другим переменным.) С помощью формул (10.2.9) и (10.2.10) легко показать, что полученные M в точности те же, что и определенные формулами (10.2.4) и (10.2.5). Кроме того, вблизи полюса

(Ìû âíîâü ïåреопределили ε, домножив на положительную величи- ну 2q2 + m2 , что допустимо, так как ε − произвольная положи-

тельная бесконечно малая величина.) Таким образом, выражение (10.2.12) тождественно желаемому выражению (10.2.3).

Этот результат имеет классическое применение в теории ядерных сил. Пусть Φa(x) — любое действительное поле или комбинация

полей (например, пропорциональная кварк-антикварковому билинейному коварианту qγ 5τaq), имеющие неисчезающий матричный

элемент между однопионным состоянием с изоспином а и вакуумом, нормированный условием:

Тогда матричный элемент Fa между однонуклонными состояниями с 4-импульсами р и р′ имеет полюс при (р − ð′)2 ® −mπ2 с вычетом,

вид которого определяется изоспиновой и лоренцовской инвариантностью (включая инвариантность относительно пространственных отражений) *:

ãäå u è u′ — начальные и конечные нуклонные спинорные коэффи-

циентные функции, зависящие также от изоспиновых перемен-ных нуклонов, а ta (a = 1, 2, 3) − 2´2 изоспиновые матрицы Паули. Постоянная Gπ носит название пион−нуклонной константы связи.

Указанный полюс находится вне физической области матричного элемента (10.2.16), в которой (p − p′)2 ³ 0, но его можно достичь с

помощью аналитического продолжения этого матричного элемента, рассматривая, например, матричный элемент вне массовой поверхности

z d4x d4x¢ e-ip×xeip¢×x¢ TmFa (0)N(x)N(x¢)r VAC ,

ãäå N è N′ − соответствующие компоненты оператора поля или

произведения полевых операторов с неисчезающими матричными

*Лоренцовская и изоспиновая инвариантности требуют, чтобы этот матричный элемент имел вид (`u′Γτau), ãäå Γ — матрица 4×4, для которой билинейная комбинация (`ψ′ Γψ) преобразуется как псевдоскаляр. Как всякая матрица 4×4, Γ может быть разложена на сумму слагаемых, пропорциональных дираковским матрицам 1, γμ, [γμ,γν], γ5γμ è γ5. Коэффициенты при них должны

быть соответственно псевдоскаляром, псевдовектором, псевдотензором, вектором и скаляром. Из двух импульсов р и р′ невозможно построить псевдоска-

ляры или псевдовекторы. В то же время, можно построить один псевдотензор, пропорциональный εμνρσpρp′σ, два независимых вектора, пропорциональных pμ èëè p′ν, и скаляр, пропорциональный единице, причем коэффициенты

пропорциональности при всех этих структурах являются функциями единственной независимой скалярной переменной (p − p′)2. Используя уравнения Дирака в импульсном пространстве для u и u′, нетрудно показать, что тензорная и псевдовекторная матрицы в Γ дают вклад, пропорциональный γ5.

элементами между однонуклонными состояниями и вакуумом. Согласно все той же теореме обмен пионом при рассеянии двух нуклонов с начальными 4-импульсами р1 è ð2 и конечными 4- импульсами р′1 è ð′2 приводит к появлению в соответствующем матричном элементе полюса при (p1 − p′1)2 = (p2 − p′2)2 ® −mπ2:

(Простейший способ определить фазы и численные множители в подобных формулах заключается в использовании фейнмановских диаграмм. Наша теорема утверждает, что полюсная структура амплитуды совпадает с той, которая получилась бы в теории поля с лагранжианом, включающим элементарное пионное поле.) Опять же, этот пионный полюс находится вне физической области для рассеяния нуклонов на массовой оболочке, в которой (р − ð′)2 ³

0, но достичь его можно путем аналитического продолжения матричного элемента S-матрицы, рассматривая, например, матрич- ный элемент вне массовой оболочки

zd4x1d4x2d4x1¢d4x2¢ e-ip1×x1 e-ip2 ×x2 eip1¢ ×x1¢ eip2¢ ×x2¢

´TmN1(x1), N2 (x2 ), N1¢(x1¢), N2¢ (x2¢ )r VAC .

Хотя пионный полюс и не попадает в физическую область нуклон-

нуклонного рассеяния, но масса пиона достаточно мала, так что полюс лежит очень близко к физической области. При определенных условиях, например, при больших значениях l в разложении по парциальным волнам, этот полюс может доминировать.

С точки зрения координатного пространства полюс указанного типа при (p1 - p¢1)2 = (p2 - p¢2)2 ® -mπ2 означает наличие силы радиусом действия порядка 1/mπ. Например, в первоначальной

теории ядерных сил Юкавы 2 обмен мезонами (в те времена считалось, что они скаляры, а не псевдоскаляры) порождал локальный потенциал вида exp(−mπr)/(4pr), и его фурье образ определял S-матрицу нерелятивистского нуклон−нуклонного рассеяния в пер-

вом борновском приближении: