Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)
.pdf
10.7. Представление Челлена–Лемана |
619 |
|
|
|
|
где сумма берется по любому полному набору состояний. (Сумма по n включает интегралы по непрерывным и суммы по дискретным переменным.) Выбирая эти состояния как собственные состояния 4-вектора импульса Pμ, на основании трансляционной инвариантно-
сти получаем, что
á0| F(x)| nñ = exp(ipn × x)á0| F(0)| nñ,
án| F† (y)| 0ñ = exp(-ipn × y)án| F† (0)|0ñ , |
(10.7.2) |
|
и поэтому
F(x)F† (y) = å expbipn × (x - y)g| á0| F(x)| nñ|2 . |
(10.7.3) |
|
0 |
n |
|
|
|
|
Удобно переписать это выражение, введя спектральную функцию. Заметим, что сумма ån d4 (p - pn )| á0| F(x)| nñ|2 есть скалярная функция 4-вектора pμ и поэтому может зависеть только от р2 è (ïðè p2 £ 0)
от знака p0. На самом деле, для всех промежуточных состояний в (10.7.3) p2 £ 0 è ð0 > 0, так что сумма принимает вид
åd4 (p - pn )| á0| F(0)| nñ|2 = (2p)−3 q(p0 )r(-p2 ), |
(10.7.4) |
n |
|
ãäå r(−p2) = 0 äëÿ p2 > 0. (Множитель (2p)–3 выделен из r для удобства дальнейших выкладок.) Спектральная функция r(−p2) î÷å-
видно действительна и положительна. С учетом данного определения выражение (10.7.3) можно переписать в виде
cF(x)F†(y)h0 = (2p)−3 z d4p exp[ip × (x - y)]q(p0 )r(-p2 )
∞
= (2p)−3 z d4pz dm2 exp[ip × (x - y)]q(p0 )r(m2 )d(p2 + m2 ) . (10.7.5)
0
Меняя порядок интегрирования по pμ è m2, можно представить
последнее выражение в виде
620 |
|
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
F(x)F† (y) |
0 |
= z dm2r(m2 )D+ (x - y; m2 ) , |
(10.7.6) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ãäå D+ — знакомая нам функция |
|
||
D+ (x - y; m2 ) º (2p)−3 z d4p exp[ip × (x - y)]q(p0 )d(p2 + m2 ) . (10.7.7) |
|||
Совершенно аналогично можно показать, что |
|
||
|
|
∞ |
|
F† (y)F(x) |
0 |
= z dm2r(m2 )D+ (y - x; m2 ) , |
(10.7.8) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где вторая спектральная функция определена соотношением |
|
||
åd4 (p - pn )| á0| F† (0)| nñ|2 = (2p)−3 q(p0 )r(-p2 ). |
(10.7.9) |
||
n |
|
|
|
Используем теперь требование причинности, заключающееся в том, что коммутатор [F(x),F†(y)] обращается в нуль, если точки x и y разделены пространственноподобным интервалом. Среднее по вакууму от коммутатора имеет вид
|
|
∞ |
[F(x)F† (y)] |
0 |
= z dm2 dr(m2 )D+ (x - y; m2 ) - r(m2 )D+ (y - x; m2 )i .(10.7.10) |
|
|
0 |
Как указывалось в разделе 5.2, если интервал между x и y пространственноподобен, функция D+(x − y) не обращается в нуль,
но является четной. Поэтому для того, чтобы выражение (10.7.10) обратилось в нуль при произвольных пространственноподобных интервалах, необходимо выполнение условия
r(m2 ) = r(m2 ) . |
(10.7.11) |
Это частный случай СРТ-теоремы, доказанной здесь без обращения к теории возмущений: для любых состояний с p2 = −m2, имеющих квантовые числа оператора F, должны найтись соответствующие состояния с p2 = −m2, имеющие квантовые числа оператора F†.
10.7. Представление Челлена–Лемана |
621 |
|
|
|
|
С помощью (10.7.11) среднее по вакууму от хронологического произведения запишется в виде
áTnF(x)F (y)sñ0 |
∞ |
(x - y; m ) , |
|
= -iz dm r(m )DF |
(10.7.12) |
||
† |
2 2 |
2 |
|
|
0 |
|
|
ãäå DF(x − y; m2) есть фейнмановский пропагатор для бесспиновой частицы массой m:
-iDF (x - y; m2 ) º q(x0 - y0 )D+ (x - y; m2 ) - q(y0 - x0 )D+ (y - x; m2 ) .
(10.7.13) Используя обозначения, введенные в разделе 10.3 для точных пропагаторов, вводим в импульсном пространстве функцию
-iD¢(p) º z d4x exp
-ip × (x - y)
áTnF(x)F† (y)sñ0 . (10.7.14)
Напомним, что
z d4x exp -ip × (x - y) DF (x - y; m2 ) = 1 . (10.7.15) p2 + m2 - ie
Это приводит к искомому спектральному представлению 9:
*На самом деле, нет даже уверенности в том, что Δ′(p) обращается в нуль при |p2| → ∞, хотя, казалось бы, это следует из спектрального
представления. Проблема связана с изменением порядка интегрирования по pμ è μ2. Определенно можно утверждать (с помощью методов следующего раздела), что Δ′(p) есть аналитическая функция −ð2 со скачком вдоль положительной действительной оси −ð2 = μ2, равным πρ(μ2). Отсюда следует, что для Δ′(p) можно записать дисперсионное соотношение со спектральной функцией ρ(μ2) и возможными вычитаниями:
|
|
X∞ |
ρ(μ2 ) |
|
|
dμ2 |
|
|
|
′(p) = P(p2 ) + (−p2 |
+ μ2)n Y |
|
|
|
|
|
|
. |
|
(μ2 + μ2 )n |
|
p2 |
|
− iε |
|||||
|
0 |
Z |
|
+ μ2 |
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
ãäå n − положительное целое число, μ 2 |
− произвольная положительная |
||||||||
0
константа, а P(p2) − зависящий от μ02 полином по р2 порядка n−1,
отсутствующий при n = 0.
622 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
dμ2 |
|
|
|
′(p) = Y |
ρ(μ2 ) |
|
|
. |
(10.7.16) |
|
p2 |
+ μ2 − iε |
|||||
Z |
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Первым немедленным следствием этого результата в сочетании с положительностью ρ(μ2) является то, что ′(p) не может обращаться в нуль при |p2| → ∞ быстрее, чем свободный пропагатор 1/(p2+ m2 − iε) *.
Время от времени предлагают включить в невозмущенный лагранжиан слагаемые с высшими производными, что привело бы к убыванию пропагатора быстрее чем 1/p2 ïðè |p2| → ∞. Однако спектральное
представление показывает, что это обязательно вступает в противоре- чие с квантово-механическим постулатом положительности. 1
Спектральное представление вместе с одновременными коммутационными соотношениями можно использовать для вывода интересного правила сумм для спектральной функции. Если Φ(x) −
обычным образом нормированный (но не перенормированный) канонический оператор поля, то
|
L ∂Φ(x, t) |
|
|
|
O |
|
|
||
|
M |
|
|
, Φ† (y, t)P |
= −iδ3 (x − y) . |
(10.7.17) |
|||
|
∂t |
||||||||
|
N |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
+ (x − y)| |
|
|
0 = −iδ3 (x − y) , |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
∂x0 |
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
= y |
|
|
||
так что из спектрального представления (10.7.10) вместе с коммутационными соотношениями (10.7.17) вытекает, что
z0∞ ρ(μ2 )dμ2 = 1 . |
(10.7.18) |
Отсюда следует, что при |p2| → ∞ пропагатор (10.7.16) неперенорми-
рованных полей в импульсном пространстве имеет асимптотическое поведение, отвечающее свободному полю:
′(p) → 1 . p2
10.7. Представление Челлена–Лемана |
|
|
625 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − |
e2 |
|
F Λ2 I |
|||
Z3 |
|
|
ln G |
|
J , |
||
12π |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
H me K |
||||
(ãäå Λ . me — ультрафиолетовое обрезание) в согласии с ограниче-
íèåì (10.7.22).
10.8. Дисперсионные соотношения *
Провал первых попыток применить формализм теории возмущений в квантовой теории поля к слабым и сильным ядерным взаимодействиям привел теоретиков в конце 1950-х годов к идее об использовании аналитичности и унитарности амплитуд рассеяния для вывода общих непертурбативных результатов, не зависящих от конкретной теории поля. Это направление исследований началось с возрождения интереса к дисперсионным соотношениям. В своем первоначальном виде 13 дисперсионное соотношение представляло собой формулу, выражающую действительную часть показателя преломления в виде интеграла от его мнимой части. Формула была получена как следствие свойства аналитичности показателя преломления как функции частоты, которое вытекало из условия, что электромагнитные сигналы в среде не могут распространяться быстрее, чем в вакууме. Если выразить показатель преломления через амплитуду рассеяния фотона вперед, то дисперсионное соотношение можно переписать как формулу, связывающую действительную часть амплитуды рассеяния вперед с интегралом от ее мнимой части, а следовательно, в силу условия унитарности, с интегралом от полного сечения. Одним из вдохновляющих свойств такого соотношения было то, что оно представляло альтернативу обычной теории возмущений: задавая амплитуду рассеяния в порядке е2, можно было вычислить сечение и мнимую часть амплитуды рассеяния в порядке е4, а затем с помощью дисперсионного соотношения найти действительную часть амплитуды рассеяния вперед в этом же порядке, не вычисляя при этом никаких петлевых диаграмм.
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения
èможет быть опущен при первом чтении.
626 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
|
Развитие современного подхода к дисперсионным соотношениям началось в 1954 году работой Гелл-Манна, Гольдбергера и Тирринга 14. Вместо рассмотрения распространения света в среде, они вывели свойство аналитичности амплитуды рассеяния непосредственно из условия микропричинности, утверждающего, что коммутаторы операторов поля обращаются в нуль, когда точки, в которых эти операторы заданы, разделены пространственноподобным интервалом. Вскоре такой подход позволил Гольдбергеру 15 вывести очень полезное дисперсионное соотношение для пион-
нуклонной амплитуды рассеяния вперед.
Чтобы увидеть, как можно использовать принцип микропри- чинности, рассмотрим в лабораторной системе рассеяние на угол нуль безмассового бозона любого спина на произвольной мишени a массой mα > 0 и импульсом pα = 0. (Как обсуждается в т. II,
этот пример имеет важные приложения для рассеяния не только фотонов, но и пионов в пределе mπ = 0.) Двукратным применением формулы (10.3.4) или теоремы Лемана-Симанчика-Циммермана 3
матричный элемент S-матрицы в этом случае представляется в виде:
S = |
1 |
limk2 ®0 limk¢2 ®0 |
(2p)3 4ww¢| N|2 |
´ z d4xz d4ye-ik¢×yeik×x (i9y)(i9x )áa| T{A† (y), A(x)}| añ . (10.8.1)
Здесь k и k′ − начальный и конечный 4-импульсы бозона, причем ω = k0, ω′ = k′0; A(x) − произвольный гейзенберговский оператор с
неисчезающим матричным элементом
áVAC|A(x)|kñ = (2p)−3/2(2w)−1/2Neik×x
между однобозонным состоянием |kñ и вакуумом, а N - константа.
При рассеянии фотона оператор A(x) может быть одной из попереч- ных компонент электромагнитного поля, а в случае рассеяния безмассовых пионов - псевдоскалярной функцией адронных полей. Дифференциальные операторы -i9x è -i9y вставлены для того, чтобы появились множители ik¢2 è ik2, необходимые для сокраще-
ния бозонных пропагаторов, отвечающих внешним линиям. Подействовав этими операторами на A†(y) и A(x), получаем
10.8. Дисперсионные соотношения |
627 |
|
|
|
|
S = |
|
|
−1 |
limk2 ®0 limk¢2 ®0 |
|
|
|
|
|
||
|
(2p)3 |
|
| N|2 |
||
4ww¢ |
|||||
|
|
|
|
|
(10.8.2) |
|
´ z d4xz d4 ye-ik¢×yeik×x áa| T{J† (y), J(x)}| añ + ÎÂÊ , |
||||
ãäå J(x) º 9xA(x), а «ОВК» означает фурье-образ слагаемых от
одновременных коммутаторов, возникающих при действии производной на ступенчатую функцию в хронологическом произведении. Коммутаторы операторов типа A(x) и A†(y) (или их производных) при x0 = y0 обращаются в нуль при x ¹ y, так что слагаемое «ОВК»
есть фурье-образ дифференциального оператора, действующего на d4(x - y), и поэтому является полиномиальной функцией 4-импуль-
сов бозонов. Нас интересуют аналитические свойства матричного элемента S-матрицы, так что детальный вид этого полинома несуществен.
В силу трансляционной инвариантности матричный элемент (10.8.2) S-матрицы представляется в виде S = –2pid4(k′ − k)M(w),
ãäå |
|
|
|
|
M(w) = |
−i |
|
F(w) , |
(10.8.3) |
2w| N| |
2 |
|||
|
|
|
|
|
F(w) º z d4x eiwl×x áa| T{J† (0), J(x)}| añ + ÎÂÊ , |
(10.8.4) |
|||
при соглашении, что kμ = wlμ, ãäå l − фиксированный 4-вектор, такой, что lμlμ = 0 è l0 = 1.
Хронологическое произведение можно двумя способами переписать через коммутаторы:
T{J† (0), J(x)} = q(-x0 )[J† (0), J(x)] + J(x)J† (0)
= -q(x0 )[J† (0), J(x)] + J† (0)J(x) . |
(10.8.5) |
|
|
Соответственно, |
|
F(ω) = FA(ω) + F+ (ω) = FR(ω) + F- (ω) , |
(10.8.6) |
ãäå |
|
628 |
Глава 10. Непертурбативные методы |
|
|
|
|
|
FA (w) º z d4x q(-x0 )áa| [J† (0), J(x)]| añeiwl×x + ÎÂÊ , |
(10.8.7) |
|
FR (w) º -z d4x q(x0 )áa| [J† (0), J(x)]| añeiwl×x + ÎÂÊ , |
(10.8.8) |
|
F+ (w) º z d4xáa| J(x)J† (0)| añeiwl×x , |
(10.8.9) |
|
F- (w) º z d4xáa| J† (0)J(x)| añeiwl×x . |
(10.8.10) |
Условие микропричинности утверждает, что подынтегральные выражения в формулах (10.8.7) и (10.8.8) обращаются в нуль, если только xm
не находится внутри светового конуса. Тогда наличие ступенчатых функций приводит к тому, что xm в формуле (10.8.7) находится в световом конусе прошлого, и x×l > 0, а в формуле (10.8.8) — в переднем световом конусе, и x×l < 0. Отсюда следует, что FA(w) аналитична при Im w > 0, à FR(w) аналитична при Im w < 0, так как в обоих случаях множитель eiwl×x обеспечивает сходимость интеграла по xm. (Напомним, что слагаемое «ОВК» является полиномом и поэтому
аналитично во всех конечных точках.) Поэтому можно определить функцию
RFA(ω) , |
Im ω > 0, |
(10.8.11) |
|
F (w) º S |
(w) , |
Im w < 0, |
|
TFR |
|
||
аналитичную во всей комплексной плоскости w, за исключением
разреза вдоль действительной оси.
Выведем теперь дисперсионное соотношение. Согласно формуле (10.8.6) скачок F (w) на разрезе при любом действительном Е равен
F (E + iε) − F (E − iε) = FA (E) − FR (E) = F- (E) − F+ (E) . (10.8.12)
Åñëè F (w)/wn обращается в нуль при |w| ® ¥ как в верхней, так и в
нижней полуплоскости, то поделив эту функцию на любой полином P(w) порядка n, получаем функцию, которая обращается в нуль при |w| ® ¥ и аналитична везде, за исключением разреза вдоль действительной оси и полюсов в нулях wn полинома P(w). (Åñëè ñàìà F (w) обращается в нуль при |w| ® ¥, можно взять P(w) = 1.)
Согласно теореме о вычетах, имеем тогда