Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Она не только конечна, но и удовлетворяет условию

тонный пропагатор имел полюс с тем же вычетом, что и для свободных полей, необходимо, чтобы коэффициент при (q2ημν − qμqν) в полном выражении для Πμν(q) обращался в нуль, так что

До сих пор мы проверили, что расходимости, возникающие от интегрирований по области импульсного пространства, в которой все внутренние имульсы велики (и имеют общие отношения), являются полиномами по внешним импульсам, которые сокращаются при подходящем выборе контрчленов. Такие диаграммы будем называть расходящимися по индексу *. Прежде чем заключить, что все ультрафиолетовые расходимости действительно можно устранить перенормировкой, следует рассмотреть расходимости, возникающие в диаграммах высших порядков при интегрировании по областям импульсного пространства, где не все переменные интегрирования, а лишь их некоторое подмножество устремляется к бесконечности. Например, в квантовой электродинамике расходимости возникают от подинтегрирований, отвечающих расходящимся

* Появляющиеся здесь и ниже ключевые авторские термины superficially divergent (convergent) diagrams (subdiagrams) и superficial divergence (convergence) не имеют устойчивого русского эквивалента. Мы переводим их здесь как «диаграммы (поддиаграммы), расходящися (сходящиеся) по индексу». Расходимость (сходимость) диаграммы (поддиаграммы) по индексу означает, что ее индекс расходимости неотрицателен (строго отрицателен) и определяющий ее интеграл по внутренним импульсам расходится (сходится) в области, где все внутренние импульсы однородным образом устремляются к бесконечности. — Прим. ред.

692 Глава 12. Общая теория перенормировок

по индексам поддиаграммам, являющимся либо фотонными собственноэнергетическими частями P*, либо электронными собственноэнергетическими частями å*, либо электрон−электрон−фотонными вершинами Gμ. Трудности рассмотрения этих расходимостей свя-

заны с тем, что их нельзя устранить путем дифференцирования по внешним импульсам: имеются слагаемые, в которых производные действуют только на внутренние линии в тех частях диаграммы, которые не входят в расходящиеся поддиаграммы, и тем самым не уменьшают степень расходимости таких поддиаграмм. Как отмечалось в предыдущем разделе, диаграмма или сумма диаграмм действительно сходится тогда и только тогда, когда как она сама, так и все ее поддиаграммы сходятся по индексу. Но где бы ни возникла такая расходящаяся поддиаграмма, она всегда сопровождается бесконечным контрчленом. В электродинамике таковыми яв-

ляются слагаемые в (11.1.9): −(Z3 − 1)(q2hμν − qμqν) для каждого

P*μν(q), Z2δm − (Z2 − 1)(ip/ + m) для каждого å* и слагаемое (Z2 − 1)gμ для каждой вершины Gμ. Как и для диаграммы в целом, эти контр-

члены сокращают бесконечности в расходящихся поддиаграммах 1. К сожалению, в такой простой аргументации есть пробел, связанный с перекрывающимися расходимостями. Это означает, что возможна ситуация, когда две расходящиеся поддиаграммы имеют общую внутреннюю линию, так что нельзя рассматривать соответствующие расходящиеся интегралы как независимые. В квантовой электродинамике это случается только, если две электрон−электрон−фотонные вершины перекрываются внутри фотонной или элек-

тронной собственноэнергетической вставки * (см. рис. 12.2 и 12.3). Полное рассмотрение проблемы перенормировки с учетом

перекрывающихся расходимостей должно включать рецепт уст-

* Если две собственноэнергетические вставки или такая вставка и вершинная часть будут иметь общую линию, то не хватит внешних линий, чтобы прикрепить такую поддиаграмму к остальной части диаграммы. Исторически тождество Уорда (10.4.26) использовалось для того, чтобы обойти проблему перекрывающихся расходимостей в собственной энергии электрона, выразив эту энергию через вершинную функцию, в которой перекрывающихся расходимостей не возникает. Мы не будем следовать таким путем, поскольку в этом нет необходимости, кроме того, этот подход все равно не решает проблемы собственной энергии фотона или других нейтральных частиц.

Рис. 12.2 Некоторые диаграммы четвертого порядка для собственной энергии фотона в квантовой электродинамике, содержащие перекрывающиеся расходимости. Линии со стрелками отвечают электронам, волнистые линии − фотонам. Крестиками отмечены вклады контрчленов

Рис. 12.3. Некоторые диаграммы четвертого порядка для собственной энергии электрона в квантовой электродинамике, содержащие перекрывающиеся расходимости. Волнистые линии — фотоны, остальные линии — электроны. Крестиками отмечены вклады контрчленов

ранения ультрафиолетовых расходимостей по индексу не только для полной диаграммы, но и для всех ее поддиаграмм, а также доказательство, что такой рецепт (по крайней мере формально) осуществляется путем перенормировки масс, полей и констант связи. Тогда теорема 2 утверждает, что все функции Грина перенормированных полей, выраженные через перенормированные массы и константы связи, являются конечными. Первое доказательство того, что перенормировка полей, масс и констант связи делает как полную диаграмму, так и все ее поддиаграммы сходящимися по индексу, было дано Саламом 5. Более детальный рецепт устранения ультрафиолетовых расходимостей был предложен Боголюбовым и Парасюком 6 и подправлен Хеппом 7, причем

694 Глава 12. Общая теория перенормировок

они показали эквивалентность своего рецепта перенормировке полей, масс и констант связи. Наконец, Циммерман 8 доказал, что этот рецепт действительно устраняет все расходимости по индексу как в полной диаграмме, так и во всех ее поддиаграммах, и с помощью теоремы, доказанной в 2, пришел к выводу, что перенормированные фейнмановские интегралы в импульсном пространстве сходятся.

Коротко рецепт БПХЦ для устранения расходимостей по индексу требует, чтобы мы рассмотрели все возможные способы (их называют лесами) поместить полную диаграмму и/или ее поддиаграммы в ящики, которые могут находиться один внутри другого, но не перекрываться. (Ниже приведен пример.) Для каждого леса мы определяем вычитательное слагаемое, заменяя подынтегральное выражение для каждой поддиаграммы внутри ящика, имеющей индекс расходимости D, (начиная с самых внутренних ящиков и двигаясь наружу) на первые D + 1 слагаемых его разложения в ряд Тейлора по импульсам, входящим или выходящим из этого ящика *. Фейнмановская амплитуда с вычитаниями определяется исходными диаграммами минус все вычитательные слагаемые, в том числе, и слагаемое для леса, состоящего из единственного ящика, окружающего всю диаграмму.

Довольно легко показать, что вычисленная таким образом фейнмановская амплитуда с вычитаниями совпадает с той, которую мы получили бы, заменив все поля, массы и константы связи

âисходном лагранжиане на их перенормированные аналоги. Разница между этой процедурой и тем способом перенормировки, который был использован в гл. 11, заключается в том, что перенормированные поля, константы связи и массы определены через амплитуды, взятые в необычной точке нормировки **, в которой все 4-импульсы обращаются в нуль. (В этом смысле обсуждавшиеся

* В указанном виде рецепт применим как к неперенормируемым, так и к перенормируемым теориям. Для последних этот рецепт означает, что не следует делать никаких вычитаний, если только ящик не содержит одну из конечного числа диаграмм, отвечающих перенормируемым слагаемым

âлагранжиане.

**Англоязычный термин renormalization point стандартно переводится как точка нормировки (в этой точке перенормированная амплитуда принимает заданные значения). — Прим. пер.

слагаемом возникает из-за того, что каждой из двух вершин в диаграмме второго порядка собственной энергии фотона соответствует перенормировочный контрчлен Z2 − 1. Заметим, что пер-

вое слагаемое можно понимать либо как результат вставки в фотонную собственноэнергетическую часть, даваемую интегралом по р, вместо левой вершины поправки к ней, т. е. вершинной части третьего порядка, которая дается интегралом по р′, ëèáî êàê ðå-

зультат вставки в фотонную собственноэнергетическую часть, даваемую интегралом по р′, вместо правой вершины поправки к

ней, даваемой интегралом по р. Однако нельзя рассматривать первое слагаемое как вставку двух независимых поправок к вершинам, т. к. в диаграмме есть только один фотонный пропагатор.

Чтобы понять, как обращаться с бесконечностями в (12.2.16), заметим, что

ãäå R2 − конечный остаток. (В силу лоренц-инвариантности интеграл справа пропорционален γμ. Разность между этим интегралом и (Z2 − 1)2γμ равна полной перенормированной электрон−электрон−

фотонной вершине во втором порядке по е при нулевых значениях импульсов электрона и фотона, и поэтому конечна.) Это поволяе переписать (12.16) в виде:

698 Глава 12. Общая теория перенормировок

è q1, q2, q′1, q′2 − входящие и выходящие 4-импульсы. Объединяя

знаменатели и обычным способом поворачивая контур интегрирования по k0, получаем:

+ k2 + m2 − tx(1 − x) −2 + k2 + m2 − ux(1 − x) −2 }, (12.2.22)

ãäå s, t è u − мандельстамовские переменные

связанные соотношением s + t + u = 4m2, à x − фейнмановский

параметр, вводимый при объединении знаменателей. Совершая ультрафиолетовое обрезание при k = Λ, приходим к выражению (при Λ . m)

Мы можем определить перенормированную константу gR как значение F в любой точке s, t, u, при условии, что мы остаемся в области, где F действительна. Например, предположим, что с целью сохранить симметрию между скалярами, мы выбираем