Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Рис. 14.1. Фейнмановские диаграммы низшего порядка для электронной собственноэнергетической функции å*A (x, y) в присутствии внешнего поля.

Двойные прямые линии изображают пропагатор во внешнем поле SA; одиночные прямые линии — входящие и выходящие электронные линии; волнистые линии — виртуальные фотоны; крестиками изображены перенормировочные контрчлены

где перенормировочные константы (Z2 − 1), (Z3 − 1) è δm вычислены

во втором порядке по е. (Знак «минус» во втором слагаемом привыч- но сопровождает вклад замкнутой фермионной петли.)

В случае сильных внешних полей с Zα порядка единицы, необ-

ходимы численные расчеты электронного пропагатора SÀ в конфигурационном пространстве и интегралов в (14.2.17) и (14.2.18).4 Однако для слабых полей можно подставить несколько первых слагаемых ряда (14.2.1) в (14.2.18) и вычислить эти интегралы в замкнутом виде. Удобнее работать в импульсном представлении, определив

ãäå åÀ*(p¢,p; EN) дается формулами (14.2.23), (14.2.24) и (14.2.27). Это

рабочая формула, которую мы используем в следующем разделе для расчета энергетических сдвигов в слабых внешних полях.

14.3 Лэмбовский сдвиг в легких атомах

Рассмотрим радиационные поправки к уровням энергии нерелятивистского электрона в произвольном электростатическом поле, например, в кулоновском поле легкого ядра с Za n 1. В этом преде-

ле естественно рассматривать кулоновское поле как малое возмущение, но, как мы увидим, это приводит к инфракрасной расходимости, связанной с той, которая обсуждалась в разделе 11.3. На самом деле, инфракрасная расходимость фиктивна, поскольку 4- импульсы р,EN è p¢,EN не лежат на массовой поверхности электро-

на, тем не менее, нам нужно быть внимательными.

Обычно задачу решают, разбив интеграл по энергиям виртуального фотона на область низких энергий, где электроны можно рассматривать нерелятивистски, но учитывать вклады всех порядков по внешнему полю, и область высоких энергий, где следует учитывать релятивистские эффекты, но ограничиться только вкладом первого порядка по внешнему полю.

Мы поступим иначе и введем фиктивную массу фотона m, âû-

брав ее много большей, чем типичные кинетические энергии электрона, но много меньшей типичных импульсов электрона. В случае кулоновского поля это сводится к требованию:

Запишем фотонный пропагатор в первых двух слагаемых правой части формулы (14.2.24) (включая выражения для контрчленов Z2 − 1 è Z2dm) â âèäå:

Сдвиг энергии является, соответственно, суммой двух слагаемых, отвечающих «высоким энергиям» и «низким энергиям». Слагаемое, отвечающее высоким энергиям, вычисляется путем подстановки первого слагаемого в фотонном пропагаторе (14.3.2) в три первых слагаемых правой части (14.2.24) и прибавления результата к двум последним слагаемым в (14.2.24) (отвечающим поляризации вакуума), которые в любом случае не содержат инфракрасной расходимости. Слагаемое, отвечающее низким энергиям, вычисляется подстановкой второго слагаемого из (14.3.2) в три первых слагаемых в (14.2.24). Одним из преимуществ такой процедуры является то, что удается непосредствено воспользоваться результатами релятивистских вы- числений из разделов 11.3 и 11.4, не занимаясь довольно запутанным переходом от массы фотона к инфракрасному обрезанию по энергии. Конечно, в конце вычислений мы должны убедиться, что зависимость от массы фотона m в слагаемых, отвечающих высоким

и низким энергиям, взаимно сокращается и полный сдвиг энергии не зависит от m.

А. Слагаемое, отвечающее высоким энергиям

Поскольку m выбрано значительно бо1льшим, чем энергии свя-

зи в атоме, можно оставить только слагаемые низшего порядка по внешнему полю. Однопетлевая радиационная поправка к атомным уровням энергии в произвольном не зависящем от времени внешнем вектор-потенциале А μ(x) определяется в импульсном представ-

лении выражением (14.2.28), где собственноэнергетическая вставка åÀ (p¢,p) дается формулами (14.2.24) и (14.2.23). Слагаемые нулевого

порядка по внешнему полю просто сокращаются: слагаемое, пропорциональное dm, сокращается с первым слагаемым при А = 0; слагаемое, пропорциональное Z3 - 1, сокращается с третьим слагаемым при А = 0; наконец, слагаемые, пропорциональные Z2 - 1,

обращаются в нуль, поскольку u(p) удовлетворяет уравнению

Дирака. Слагаемое первого порядка по А μ â å À (p¢,p) можно пред-

ставить в виде:

Сравнение двух первых слагаемых этого выражения с формулами (11.3.1) и (11.3.8), а двух последних − с формулами (11.3.9), (11.2.3) и (11.2.15) показывает, что G1μ(p′,p) является полной одно-

петлевой вершинной функцией, включающей поляризацию вакуума и все контрчлены, матричные элементы которой на массовой оболочке уже были вычислены в разделе 11.3. Используя представления (14.2.26) и (14.2.25), соответствующий вклад в сдвиг энергии (14.2.28)можно записать в виде

(Вид этой формулы можно было бы угадать, просто заменив gμ в вершине взаимодействия электрона с внешним полем на G1μ.) Как обсуждалось в разделе 14.1, в силу неравенства Za n 1 можно ап-

проксимировать дираковскую волновую функцию uN в (14.3.5) выражением:

аргумента логарифма. Поскольку инфракрасное обрезание в конце концов определяется энергией связи электрона в атоме, можно предположить, что В равна типичной энергии связи, т. е. В g (Zα)2me.

Таким образом, полный сдвиг энергии в состоянии N с главным квантовым числом n и орбитальным моментом l равен:

Для 2s состояния атома водорода одно только логарифмическое слагаемое дает

δE g − α5me ln(α4 ) = 5,5 × 10−6 ýÂ = 1300 ÌÃö × 2πh. 2s 12π

Как мы увидим, слагаемые О(1) уменьшают полный сдвиг энергии примерно на 25 %.

Рассмотрим теперь вклад слагаемого F2 в матричный элемент Γ1μ. Как мы видели в разделе 10.6, это слагаемое можно интерпре-

тировать как радиационную поправку к магнитному моменту электрона. Подставляя формулы (14.3.10), (14.3.8) и (14.3.6) в (14.3.5), находим, что это слагаемое приводит к сдвигу энергии:

В случае чисто электростатического поля, когда А = 0, этот сдвиг принимает вид

В нерелятивистском пределе Za n 1 можно использовать прибли-

женный результат (14.1.43), который в данном случае имеет вид:

Подставляя это представление в правую часть формулы (14.3.19) и интегрируя по частям, находим, что этот вклад в сдвиг энергии дается формулой

+ 2ifN† (x) σ × cÑ(eÀ0 (x)h ´ ÑfN (x) .

Собирая вместе выражения (14.3.12) и (14.3.21), получаем полный отвечающий высоким энергиям вклад в сдвиг энергии в произвольном электростатическом потенциале А 0:

δEN высокие энергии =

Б. Слагаемое, отвечающее низким энергиям

Низкоэнергетический вклад в сдвиг энергии получается из первых трех слагаемых в (14.2.24) после подстановки

в фотонном пропагаторе. Эта подстановка по существу служит для обрезания интеграла по компонентам 4-импульса фотона k на вели- чинах порядка m, но это невозможно увидеть, пока аккуратно не

учтена перенормировка массы, так что до этого момента мы воздержимся от любых нерелятивистских приближений. Кроме того, сейчас мы учитываем импульсы фотонов того же порядка или меньше, чем энергии связи атомных состояний, так что необходимо рассмотреть ответственные за эту связь электростатические силы во всех порядках.

Вместо того, чтобы работать с формулой (14.2.24) импульсного представления, удобно вернуться к формуле (14.2.18) конфигурационного представления. В этом представлении низкоэнергетический вклад в собственноэнергетическую функцию электрона дается формулой

а контрчлены Z2(m) − 1 è dm(m) вычислены с помощью1 этого моди-

фицированного пропагатора. Переходя от временной переменной к энергетической, находим, что низкоэнергетический вклад в функцию (14.2.13) есть

+ dme(m) d3 (x - y) .