Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

d

Λ Λ Gi (Λ) = βi bG(Λ)g , (12.4.3) d

ãäå bi(G) º [¶/¶z(Fi(G,z))]z=1. При малых константах связи функции bi(G) можно вычислить по теории возмущений. Это вильсоновский

вариант уравнения «ренормгруппы», которое мы в несколько иной форме обсудим в т. II.

При любом конечном значении обрезания лагранжиан определяет эффективную теорию поля, в которой вместо интегрирования по «тяжелым» частицам вроде электрона в работе Эйлера и др. (или в добавление к этому интегрированию) производится интегрирование по всем частицам с импульсами больше L. Äàæå

если в исходной теории есть конечное число параметров связи Gi0 при некотором значении обрезания L0, при любом другом значе-

нии обрезания дифференциальное уравнение (12.4.3) приведет в общем случае к ненулевым значениям всех констант связи, разрешенных принципами симметрии *.

Будем различать переномируемые и неперенормируемые константы связи, обозначив их, соответственно, Ga è Gn, где a нумерует конечное число N констант связи (включая массы), для которых Da ³ 0, а n нумерует бесконечное число констант связи с размерностями Dn < 0. Мы хотим показать, что если константы связи Ga(L0) è Gn(L0) при некотором начальном значении обрезания L0 находятся на произвольной N-мерной начальной поверхности S0, тогда (с некоторыми уточнениями) при L n L0 они попадают на фиксированную поверхность S, не зависящую как от L0,

так и от начальной поверхности **. Эта фиксированная поверхность стабильна в том смысле, что порождаемая уравнением (12.4.3) траектория, начинающаяся из любой точки поверхности, остается на ней. Такая стабильная поверхность определяет мно-

* Единственными известными исключениями из этого правила являются теории, основанные на суперсимметрии 4.

** Эта теорема принадлежит Польчинскому 19. Ниже мы приводим сокращенное и менее строгое ее доказательство. (В доказательстве Польчинского начальная поверхность берется такой, что все неперенормируемые константы связи равны нулю. Как мы увидим, константы связи достигают одной и той же фиксированной поверхности при произвольной начальной поверхности.)

жество теорий с конечным числом параметров, физическое содержание которых не зависит от обрезания. Как пояснялось в предыдущем разделе, это есть существенное свойство перенормируемых теорий. Далее, такая конструкция показывает, что исходная теория, определенная при обрезании Λ0, будет при Λ n Λ0 выгля-

деть как перенормируемая *.

Чтобы доказать приведенные утверждения, рассмотрим произвольное малое возмущение δGi(Λ) значений Gi(Λ), удовлетво-

ряющих уравнению (12.4.3). Оно удовлетворяет дифференциальному уравнению

Это уравнение связывает перенормируемые и неперенормируемые константы связи, так что трудно увидеть разницу в их поведении. Чтобы расцепить эту связь, введем линейную комбинацию

ãäå Ga0 — значения перенормируемых констант связи при обрезании Λ0, которые мы будем использовать как координаты на на-

чальной поверхности, а Gn — значения неперенормируемых констант связи при обрезании Λ, полученные из дифференциального

уравнения (12.4.3), причем начальные значения констант при обрезании Λ0 отвечают точке на начальной поверхности с координатами Ga0. Чтобы вычислить производную ξn ïî Λ, заметим, что производные ∂Gi/∂Ga0 удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению (12.4.4), что и δGi. Доказательство того, что

* Конечно, симметрии некоторых теорий и их полевой состав таковы, что невозможны никакие перенормируемые взаимодействия. К такому случаю относятся теории, содержащие только поля фермионов, или только гравитационное поле. При Λ n Λ0 эти теории выглядят как теории свободных полей.

714 Глава 12. Общая теория перенормировок

проводится элементарно. Теперь следует оценить матричные элементы матрицы Nnm. В теории свободных полей не требуется никаких обрезаний, поэтому при очень малых константах связи все голые параметры становятся независящими от Λ. Отсюда для малых констант безразмерные параметры Gi имеют масштаб Λ− i ,

и матрица Mij имеет вид

Отсюда следует, что матрица Nnm приближенно равна − nδnm.

Определяющей характеристикой неперенормируемых констант связи является условие n < 0. Из (12.4.7) следует, что, по крайней мере для некоторой конечной области значений констант связи, где матрица Nnm положительно определена, величина ξn ведет себя при Λ n Λ0 как положительная степень Λ/Λ0. Â ýòîì

пределе возмущения связаны соотношением

В частности, если немного изменить начальную поверхность S0 и/или начальную точку на этой поверхности, и/или начальное обрезание Λ0, так что возмущения перенормируемых констант связи δGa обратятся в нуль при некотором обрезании Λ n Λ0, то и возмущения δGn всех других констант также обратятся в нуль при значении обрезания Λ. Следовательно неперенормируемые константы Gn(Λ) ïðè Λ n Λ0 могут зависеть только от перенормируемых констант Ga(Λ), а не от начальной поверхности, начальной точки или начального обрезания Λ0 по отдельности. При Λ n Λ0

все константы достигают, таким образом, N-мерной поверхно-

руемые константы связи.) Кроме того, обрезание в общем случае разрушает явную калибровочную инвариантность, а также либо явную лоренц-инвариантность, либо унитарность. Ни одной из этих проблем нет в физике конденсированных сред, для которых и был первона- чально разработан метод Вильсона, поскольку никто не ожидает, что реалистическая теория конденсированного вещества должна быть строго перенормируемой, и нет никаких фундаментальных физических принципов, которые обязательно нарушаются обрезанием. На самом деле, в кристаллах существует обрезание по импульсам фононов, определяющееся периодом обратной решетки.

Если посмотреть глубже, разница между обычным и вильсоновским подходами есть вопрос математического удобства, а не физической интерпретации. Действительно, обычная перенормировка уже приводит к чему-то вроде настраиваемого обрезания: когда мы выражаем наш ответ через константы связи, определенные как значения физических амплитуд при некоторых импульсах порядка μ (как для обсуждавшейся в предыдущем разде-

ле скалярной теории поля), те сокращения, которые делают интегралы сходящимися, начинают действовать при виртуальных импульсах порядка μ. Наоборот, зависящие от Λ константы связи

в подходе Вильсона должны в конечном счете быть выражены через наблюдаемые массы и заряды, и когда это сделано, результаты совпадают с теми, которые получены обычными способами.

12.5. Случайные симметрии *

Как показано в разделе 12.3, есть хорошие основания счи- тать, что перенормируемые теории поля приближенно описывают природу при достаточно низких энергиях. Часто требование перенормируемости оказывается настолько жестким, что эффективный лагранжиан автоматически подчиняется одной или более симметриям, которые не являются симметриями исходной теории и могут поэтому нарушаться подавленными неперенормируемыми слагаемыми в эффективном лагранжиане. Действительно, большинство экспериментально обнаруженных симметрий в фи-

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

зике элементарных частиц являются «случайными симметриями» указанного типа.

Классическими примерами могут служить инверсии и сохранение аромата в электродинамике заряженных лептонов. Наиболее общий перенормируемый лоренц-инвариантный и калиб-

где сумма по i, j является суммой по трем лептонным ароматам (е, μ, τ), ψLi è ψRi — левые и правые компоненты поля ψi, опреде-

ленные согласно формулам

à ZL, ZR è Ì − числовые матрицы. Мы не делаем никаких предпо-

ложений о сохранении лептонного аромата, так что матрицы ZLij, ZRij è Mij не обязаны быть диагональными. Кроме того, мы ничего PíåCпредполагаемT относительно инвариантности по отношению к , или , так что нет никаких обязательных связей между ZL è ZR или между М и М†. Единственные ограничения на эти матрицы вытекают из действительности лагранжиана, требующей, чтобы ZLij è ZRij были эрмитовыми, и из канонических соотношений антикоммутации, требующих, чтобы ZLij è ZRij были положительно определены.

Предположим теперь, что мы заменяем лептонные поля ψL, ψR новыми полями ψ′L, ψ′R, определенными согласно формулам

ãäå SL,R — несингулярные матрицы, которые можно выбирать по желанию. Лагранжиан, выраженные через новые поля, принимает тот же вид, что и (12.5.1), но с новыми матрицами

718 Глава 12. Общая теория перенормировок

Можно выбрать SL è SR òàê, ÷òî Z′L = Z′R = 1. (Достаточно взять SL,R = UL,RDL,R, ãäå UL,R − унитарные матрицы, диагонали-

зующие положительно определенные эрмитовые матрицы ZL,R, à DL,R — диагональные матрицы, диагональные элементы которых равны обратным квадратным корням из собственных значений ZL,R.)

Совершим теперь еще одно преобразование — от лептонных полей ψ′l к полям ψ′′l:

Если выразить лагранжиан через новые поля, он вновь принимает ту же форму с новыми матрицами

На этот раз выберем S′L,R унитарными, так что опять Z′L = Z′R = 1. Эти унитарные матрицы выбираются так, чтобы матрица М′′ была действительной и диагональной. (Согласно полярному разложения, М′, как и любая квадратная матрица, может быть представлена в виде M′ = VH, где V — унитарная, а Н — эрмитова матрицы. Возьмем S′L = S′R†V† и выберем в качестве S′R óíè-

тарную матрицу, диагонализующую Н.) Опуская штрихи, полу- чаем, что лагранжиан принимает вид:

ãäå mi — действительные числа, равные собственным значениям эрмитовой матрицы Н. Окончательно это выражение можно представить в более знакомой форме:

L = − 14 Z3FμνFμν− å ψ i [∂/ + ieA/ ]ψ i − åmiψ iψ i .