Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

800 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

(Поскольку выражение (14.3.49) обращается в нуль, не имеет значе- ния, в каких единицах измеряется EN - EM в (14.3.54).) Кроме того, в

состоянии с полным угловым моментом j и орбитальным моментом l скалярноеH произведение σ×L равно знакомому выражению j(j+1) - l(l+1) - , так что для главного квантового числа n среднее значение

оператора 1/r3 равно

Подставляя все результаты в (14.3.47), находим, что при l ¹ 0

Осталось лишь воспользоваться полученными формулами, чтобы найти значения сдвигов энергии. Средние энергии возбуждения следует находить численно. Используя нерелятивистские волновые функции электрона в атоме водорода, можно получить 5:

DE1s = 19,769266917(6) Ry,

DE2s = 16,63934203(1) Ry,

DE2p = 0,970429318(3) Ry,

ãäå 1 Ry º mea2/2 = 13,6057 эВ. Тогда из (14.3.53) находим:

Классический лэмбовский сдвиг − это разность энергий 2s и 2p1/2

состояний атома водорода, которые были бы вырожденными в отсутствии радиационных поправок. Наши вычисления приводят к результату

Это численно близко (хотя аналитически не тождественно) старому результату Кролла и Лэмба6 и Френча и Вайскопфа7, который был получен с помощью старой теории возмущений. Ранее в этой главе мы грубо оценили сдвиг в 1300 МГц, рассмотрев только вклад высоких энергий в сдвиг энергии 2s состояния, причем инфракрасное обрезание было наугад выбрано порядка α2me = 2 Ry. Теперь мы

видим, что оценка была завышенной, и произошло это главным образом потому, что правильное значение эффективного инфракрасного обрезания E2s = 16,64 Ry значительно больше того, которое предполагалось. С другой стороны, как было рассказано в разделе 1.3, в 1947 году Ганс Бете 8 сумел дать достаточно хорошую оценку лэмбовского сдвига —1040 МГц, рассмотрев только вклад низких энергий в сдвиг энергии 2s состояния, и выбрав ультрафиолетовое обрезание равным me. (Бете сделал и первую оценку энергии возбуждения E2s g 17,8 Ry.)

Описанное здесь вычисление лэмбовского сдвига было откорректировано за счет включения радиационных поправок более

высокого порядка, учета размеров ядра и эффектов отдачи. В настоящее время самая большая неопределенность проистекает от неуверенности в знании правильного значения среднеквадратичного зарядового радиуса rp протона. Для значений rp = 0,862 ´ 10−13 ñì èëè rp = 0,805 ´ 10−13 см одни вычисления 9 äàþò ëèáî 1057,87 ÌÃö,

либо 1057,85 МГц, в то время как другие 10 дают 1057,883 МГц или 1057,865 МГц. С учетом неопределенности в радиусе протона, согласие с современным экспериментальным значением 11 1057,845(9) МГц является превосходным. Точность экспериментальных данных ограничена главным образом естественной шириной линии 2р-уровня атома водорода, составляющей f 100 МГц, так что дальнейшее увеличение точности является трудной задачей.

В последние несколько лет произошло важно продвижение вперед в измерениях сдвига энергии самого 1s состояния путем прямого сравнения частоты 1s-2s резонанса с учетверенными частотами 2s-4s è 2s-4d двухфотонных резонансов. Эти s и d состоя-

ния много уже 2р состояния, так что подобные разности частот можно измерить более точно, чем классический лэмбовский сдвиг. Некоторое время казалось, что здесь возникло противоречие между теорией и экспериментом. Расчеты 12,13 показывали, что при радиусе протона rp = 0,862(11) ´ 10−13 ñì èëè 0,805(11) ´ 10−13 ñì

учет размеров протона и другие поправки увеличивают теорети- ческое значение сдвига энергии 1s состояния от приведенной выше величины 8127,4 МГц до 8173,12(6) МГц или 8172,94(9) МГц, соответственно. Так как считалось, что значение протонного радиуса rp = 0,862(11) ´ 10−13 см предпочтительнее, этот результат

несколько расходился с измеренным 13 значением 8172,86(5) МГц. Однако последующие вычисления 14, в которых использовалось именно это значение радиуса и были учтены поправки порядка a2(Za)5, привели к значениям сдвигов энергии 1s, 2s и 4s состоя-

ний, которые согласуются с экспериментом. Повидимому, квантовая электродинамика вновь одержала победу.

Задачи

1.Рассмотрите заряженную скалярную частицу массой m ¹ 0, описываемую полем j(x), которое взаимодействует только с внешним независящим от времени электромагнитным полем Аμ(x).

Пусть ΦN — полный набор нормированных однобозонных и

одноантибозонных состояний с энергиями EN. Определим

uN (x)e− iENt ≡ (Φ0 , ϕ(x, t)ΦN ) è vN (x)eiENt ≡ (ΦN , ϕ(x, t)Φ0 ) , ãäå

Φ0 — вакуумное состояние. Покажите, что uN è vN образуют

вместе полный набор состояний, и получите формулы для коэффициентов при uN è vN в разложении произвольной функции f(x).

2.Пусть мы включили в теорию, описанную в задаче 1, радиационные поправки. Пусть i∏*(x,y) — сумма всех диаграмм с од-

ной входящей и одной выходящей линией скалярной частицы (исключая конечные скалярные пропагаторы) в порядке α. Ïî-

лучите формулу для сдвига энергий EN однобозонных состояний за счет этих радиационных поправок, выразив результат через uN(x) è ∏*(x,y).

3.Используя результаты раздела 14.3, рассчитайте вероятность радиационного распада 2р состояния атома водорода.

4.Пусть взаимодействие электрона с легким скалярным полем ϕ

имеет вид gϕψ eψe . Предположим, что масса скалярной частицы mϕ имеет значение в интервале (Zα)2me n mϕ n Zαme. Ðàñ-

считайте изменение энергии 1s состояния водородоподобного атома за счет такого взаимодействия.

5.Проведите вычисления задачи 4 для случая mϕ = 0.

Список литературы

1.Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

2.См., например: Edmonds, A.R. Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957) (есть рус. пер.: Эдмондс А. Угловые моменты в квантовой механике. М., ИЛ, 1968); Rose, M.E. Elementary Theory of Angular Momentum

(John Wiley & Sons, New York, 1957).

3.См., например: Schiff, L.I. Quantum Mechanics (McGrow-Hill, New York, 1949), Section 43 (есть рус. пер.: Шифф Л. Квантовая механика. М., ИЛ, 1959). Оригинальные работы: Darwin, C.G., Proc. Roy. Soc. (London), A118, 654 (1928); ibid., A120, 621 (1928); Gordon, W., Z. f. Phys., 48, 11 (1928).

4.Brown, G.E., Langer, J.S., and Schaefer, G.W., Proc. Roy. Soc. (London), A251, 92 (1959); Brown, G.E. and Mayers, D.F., Proc. Roy. Soc. (London), A251, 105 (1959); Desiderio, A.N. and Johnson, W.R., Phys. Rev., A3, 1267 (1971).

5.Huff, R.W., Phys. Rev., 186, 1367 (1969).

6.Kroll, N.M. and Lamb, W.E., Phys. Rev., 75, 388 (1949).

7.French, J.B. and Weisskopf, V.F., Phys. Rev., 75, 1240 (1949).

8.Bethe, H.A., Phys. Rev., 72, 339 (1947).

9.Sapirstein, J.R. and Yennie, D.R., in: Quantum Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita (World Scientific, Singapore, 1990), p. 575.

10.Grotch, H., Foundations of Physics, 24, 249 (1994).

11.Lundeen, S.R. and Pipkin, F.M., Phys. Rev. Lett., 46, 232 (1981); Metrologia, 22, 9 (1986). Обзор проблемы см.: Pipkin, F.M., in: Quantum Electrodynamics, ed. by T. Kinoshita (World Scientific, Singapore, 1990), p. 697.

12.Weitz, M., Huber, A., Schmidt-Kaler, F., Leibfried, D., and Hansch, T.W., Phys. Rev. Lett., 72, 328 (1994).

13.Weitz, M., Huber, A., Schmidt-Kaler, F., and Hansch, T.W., Phys. Rev. Lett., 68, 1120 (1992) и ссылка [12].

14.Pachucki, K., Phys. Rev. Lett., 72, 3154 (1994).