Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Соответственно низкоэнергетический вклад в сдвиг энергии согласно формуле (14.2.17) принимает вид

[dEN ]низкие энергии = -z d3xz d3y uN (x)[å*À (x, y; EN )]низкие энергии uN (y)

- dme(m)z d3x uN (x) uN (x) .

Заметим, что слагаемые, пропорциональные Z2(m) − 1, выпали, так

как дираковская волновая функция uN(x) удовлетворяет уравнению Дирака (14.1.10). Для нахождения электронного пропагатора в присутствии кулоновского поля воспользуемся формулой (14.2.15):

где суммы в первом и втором слагаемых берутся по всем одноэлектронным и однопозитронным состояниям, соответственно. Интегралы по k0 легче всего взять, замкнув контур интегрирования большим полукругом в нижней полуплоскости для первого слагаемого, и в верхней полуплоскости — для второго:

и поступив аналогично, когда m заменяется на нуль. Теперь сдвиг

энергии принимает вид

792 Глава 14. Связанные состояния во внешних полях

= -ik × z d3xuN (x) γ uN (x) = 0 ,

причем последнее равенство вытекает из условия четности (14.1.23). Таким образом, соотношение (14.3.28) можно переписать в виде

При получении предпоследнего слагаемого был использован элементарный интеграл

такое сокращение можно было предвидеть, поскольку это слагаемое выживает в пределе Zα → 0, а определение me(μ) как перенор-

мированной массы электрона требует, чтобы в этом пределе не было никакого сдвига энергии.

С помощью тех же рассуждений можно предвидеть, что слагаемое порядка αμ2/me â δme(μ) (которое больше, чем порядка α(Zα)4me, и поэтому им нельзя просто пренебречь) сокращает имею-

щие тот же порядок второе и третье слагаемые в правой части (14.3.35) *. С другой стороны, произведение слагаемого αμ2/me â δme

со вторым слагаемым в матричном элементе (14.3.40) имеет порядок

* Убедиться в этом сокращении можно следующим образом. Мы исходим из того, что второе и третье слагаемые в правой части (14.3.35) достаточно малы, так что их можно оценить с помощью предельно нерелятивистского приближения buN(x) = uN(x) в уравнении Дирака, которому удов-

летворяет uN(x). С другой стороны, хотя и можно пренебречь кулоновской силой в позитронных волновых функциях vM(x), сумма по М в третьем слагаемом содержит существенный вклад от релятивистских позитронов, так что мы используем приближение vp,σ(x) g (2p)-3/2v(p,s)eip×x, ãäå v(p,s) -

введенный в разделе 5.5 позитронный спинор, нормированный условием`v(p,s¢)v(p,s) = dσ¢σ. Таким образом, суммы по М во втором и третьем

слагаемых в (14.3.35) даются следующими приближенными формулами:

В главном порядке по m/me для этих слагаемых имеем соответственно

(продолжение сноски на с. 795)

(Za)2am2/me n a(Za)4me, и поэтому им можно пренебречь. Единственный остающийся в порядке a(Za)4me вклад от перенормировки массы − это произведение старшего слагаемого в dme(m) со слагаемым порядка (Za)2 â òd3x`uNuN:

(Это отмеченное в разделе 1.3 влияние перенормировки массы на кинетическую энергию электрона.)

Оказывается, что последнее выражение в точности равно взятому с обратным знаком первому слагаемому в (14.3.35), если в нем пренебречь разницей между уровнями энергии. Чтобы убедиться в этом, заметим, что интеграл в этом слагаемом эффективно обрезается на значениях |k| f m n Zame, поэтому можно вычислить мат-

ричный элемент ΓMN(k) в пределе k ® 0. В низшем порядке по Za èç

соотношения (14.2.32) находим:

и, используя полноту решений fN нерелятивистского уравнения Шредингера, имеем:

M

так что в этом порядке

* (Соотношение (14.3.32) исключает возможность того, что релятивистская поправка к последнему выражению могла бы не быть подавленной множителем k2/me2, возникающим в самом выражении при |k|2 n me2.) Указанные два слагаемых сокращаются со слагаемым +3m2/4pme в члене -dme(m)òd3x`uN(x)uN(x). Наконец заметим, что релятивистские поправки к

указанным выше приближенным оценкам сумм по состояниям позитронов включали бы дополнительные множители порядка v2/c2 d (Za)2, что давало бы вклады порядка a(Za)2m2/me2 n a(Za)4me. Этим оправдывается ис-

пользованное здесь нерелятивистское приближение.