Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

V(t) = exp(iH0t)V[A, Π , Q, P]t=0 exp(−iH0t)

= π (8.4.4)

V[a(t), (t), q(t), p(t)],

где Р означает здесь импульсы, канонически сопряженные полям материи Q, а любой оператор o(x,t) в представлении взаимодействия связан с оператором O(x,t) в гейзенберговском представлении при t = 0 равенством

(Мы опустили индекс B у π(x).) Так как (8.4.5) есть преобразование

подобия, коммутационные соотношения при равных временах имеют тот же вид, что и в гейзенберговской картине:

и аналогично для полей материи и соответствующих им канонических импульсов. По тем же причинам остаются в силе уравнения связей (8.2.6) и (8.3.8):

Чтобы установить соотношение между π è a& , следует вычислить a& согласно формуле (8.4.6):

ia& i (t) = [ai (x, t), H0 ]

Можно заменить ¶/¶xj во втором слагаемом на –¶/¶yj, проинтегриро-

вать по частям и воспользоваться (8.4.11), что дает в результате

как и в представлении Гейзенберга. Аналогично, полевое уравнение определяется равенством

iπ& i (t) = [πi (x, t), H0 ]

которое после использования соотношений (8.4.10) и (8.4.12) принимает вид обычного волнового уравнения

Поскольку А0 не является независимой полевой переменной в гейзенберговском представлении, а представляет собой функционал (8.2.9) полей материи и соответствующих им импульсов, обращающийся в нуль в пределе нулевых зарядов, то в представлении взаимодействия мы просто полагаем

Наиболее общее действительное решение уравнений (8.4.10), (8.4.13) и (8.4.14) можно записать в виде

(8.4.15)

ãäå p0 º |p|, eμ(p,s) — два произвольных независимых «вектора по-

ляризации», удовлетворяющие условиям

à a(p,σ) — пара операторных коэффициентов, отвечающих двум значениям индекса σ. Подобрав нормировку a(p,σ), можно нормировать eμ(p,σ) так, чтобы условие полноты имело вид

Например, можно выбрать e(p,σ) в таком же виде, как в разделе

5.9:

ãäå R( $ ) — стандартное вращение, поворачивающее третью ось по p

направлению р. Используя формулы (8.4.18) и (8.4.12), можно без труда убедиться, что коммутационные соотношения (8.4.7)–(8.4.9) будут выполнены, если (и, на самом деле, только если) операторные коэффициенты в (8.4.15) удовлетворяют коммутационным соотношениям

Как отмечалось выше для случая массивных частиц, этот результат следует рассматривать не столько как альтернативный вывод соотношений (8.4.20) и (8.4.21), а как проверку, что (8.4.2) дает правильный гамильтониан свободных безмассовых частиц спиральности ±1. Действуя в том же духе,можно подставить формулы (8.4.12)

и (8.4.15) в формулу (8.4.2) и вычислить гамильтониан свободных фотонов

σ

который получается таким, какой и следовало ожидать (если не считать несущественного бесконечного с-числового слагаемого).

Наконец, находим, что взаимодействие (8.4.4) в представлении взаимодействия имеет вид

V(t) = −z d3x jμ (x, t)aμ (x, t) + Vкулон (t) + Vматерии (t) , (8.4.23)

ãäå jμ(x) выражается через ток J в представлении взаимодействия:

à Vматерии(t) есть неэлектромагнитная часть взаимодействия полей материи в представлении взаимодействия:

Заметим, что в выражении (8.4.23) написано jμaμ вместо j×a, однако это одно и то же, поскольку мы определили 4-вектор aμ òàê, ÷òî

à0 = 0.

8.5. Пропагатор фотона

Согласно описанным в гл. 6 фейнмановским правилам, внутренняя фотонная линия в диаграмме Фейнмана вносит в соответствующее слагаемое в S-матрице множитель, равный пропагатору

где Т, как обычно, обозначает хронологическое произведение. Подставляя формулу (8.4.15) для электромагнитного потенциала, находим:

,

s=±1

àpμ в показателях экспоненты берется с p0 = |p|. Напомним, что

согласно формулам (8.4.17) и (8.4.18)

P0i (p) = Pi0 (p) = P00 (p) = 0 .

Как мы видели в гл. 6, тета-функции в (8.5.2) можно записать как интегралы по независимой временной компоненте q0 4-вектора qμ,

лежащего вне массовой поверхности, так что формулу (8.5.2) можно переписать в виде

Таким образом, при использовании фейнмановских правил в импульсном пространстве, вклад внутренней фотонной линии, несущей 4-импульс q и соединяющей две вершины, в которых фотон рождается и уничтожается полями aμ è aν, дается выражением:

Очень полезно (хотя и кажется на первый взгляд извращением) переписать (8.5.4) в виде

ãäå nμ ≡ (0,0,0,1) — фиксированный времениподобный вектор, q2 как обычно равно q2 − (q0)2, íî q0 полностью произвольно. Мы

выберем q0 в представлении (8.5.7) так, чтобы эта компонента определялась законом сохранения 4-импульса: это есть разность компонент р0 импульсов частиц материи, входящих и выходящих из той вершины, откуда исходит фотонная линия *. Поэтому слагаемые, пропорциональные qμ è/èëè qν, не дают вклада в S-матри- цу, так как множители qμ è qν действуют как производные ∂μ è ∂ν, а фотонные поля aμ è aν связаны с токами jμ è jν, которые удовлетворяют условию сохранения ∂μjμ = 0 **. Слагаемое, пропорциональное nμnν, содержит множитель q2, который сокращается с q2 â çíà-

менателе пропагатора. В результате получается выражение, совпадающее с тем, которое возникло бы от следующего слагаемого в действии:

Здесь интеграл по q0 дает дельта-функцию по времени, так что это выражение эквивалентно следующей поправке к гамильтониану взаимодействия V(t):

* В авторском тексте, если переводить дословно, говорится об отве- чающих материи импульсах, «втекающих» и «вытекающих» из вершины. В русскоязычных текстах более употребительна другая терминология, которой мы здесь в основном придерживаемся. Именно, принято не только внешние линии, отвечающие реальным частицам на массовой поверхности, но и внутренние линии, отвечающие пропагатору некоторой частицы, отождествлять с самой частицей (называя ее виртуальной, т. е. лежащей вне массовой поверхности). Соответственно говорят: частица входит и выходит из вершины, импульс частицы и т. д. Говорят также (в частности, и автор книги), что импульс соответствующей частицы входит в вершину или выходит из вершины. — Прим. пер.

** Приведенные здесь аргументы не многим лучше простого размахивания руками. Результат доказывается путем детального анализа фейнмановских диаграмм,3 но простейший способ анализа проблемы связан с обсуждающимися в разделе 9.6 методами функционального интегрирования.

Взаимодействие (8.4.23) в представлении взаимодействия здесь имеет вид:

(В это выражение не входит Vматерии.) Как было показано, кулоновское слагаемое Vкулон(t) нужно только для того, чтобы сократить нековариантную и локальную по времени часть фотонного пропагатора.

Следуя общим результатам раздела 6.3, можно сформулировать фейнмановские правила в импульсном пространстве для связной части S-матрицы в такой теории.

1.Рисуются все фейнмановские диаграммы с числом вершин вплоть до некоторого заданного. Диаграммы содержат электронные линии со стрелками и фотонные линии без стрелок, которые подсоединяются к вершинам, причем в каждой вершине есть одна входящая и одна выходящая электронные линии и одна фотонная линия. Каждой частице в начальном или конечном состоянии отвечает внешняя линия, соответственно входящая в диаграмму снизу или выходящая из диаграммы вверх. При этом электронам отвечают внешние линии со стрелками, направленными вверх, соответственно,

âдиаграмму или из диаграммы; позитронам отвечают внешние линии со стрелками, направленными вниз, соответственно, из диаграммы или в диаграмму. Кроме того, имеется столько внутренних линий, сколько необходимо, чтобы к каждой вершине подсоединялось нужное число линий. Каждой внутренней линии приписывается (и рисуется рядом с ней) 4-импульс вне массовой поверхности *, определенным образом направленный вдоль линии (по соглашению, импульс направлен вдоль стрелок на электронных линиях). Каждой внешней линии приписывается (и рисуется рядом с ней) импульс частицы и z-компонента спина (для электрона) или спиральность (для фотона) в начальном и конечном состояниях.

2.Элементам диаграммы сопоставляются определенные множители по следующим правилам.

* Говорят также, что линия несет на себе 4-импульс, который, как уже отмечалось в прим. пер. на с. 474, отождествляют с 4-импульсом соответствующей (виртуальной) частицы. — Прим. пер.

Каждой линии, отвечающей позитрону в начальном состоянии и выходящей из вершины с дираковским индексом β около этой

линии, сопоставляется множитель

Здесь u и v — четырехкомпонентные спиноры, свойства которых обсуждались в разделе 5.5.

Каждой линии, отвечающей фотону в конечном состоянии и подсоединенной к вершине с пространственно-временным индексом μ около этой линии, сопоставляется множитель

Каждой линии, отвечающей фотону в начальном состоянии и подсоединенной к вершине с пространственно-временным индексом μ около этой линии, сопоставляется множитель

Здесь eμ — 4-вектор поляризации фотона, обсуждавшийся в пре-

дыдущем разделе.

Внутренние линии

Каждой внутренней электронной линии с 4-импульсом k, идущей от вершины с дираковским индексом β к другой вершине с дираковским индексом α, сопоставляется множитель

(Мы используем здесь очень удобное восходящее к Дираку «пере- черкивание»: для любого 4-вектора vμ символ v/ означает произве-

дение γμvμ.)

Каждой внутренней фотонной линии с 4-импульсом q и соединяющей две вершины с пространственно-временными индексами μ è ν, следует сопоставить множитель