Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

«Òîêè» oa(t) зависят от времени так, как полагается в представлении взаимодействия:

но в остальном являются вполне произвольными операторами. S-матрица для любого перехода α → β становится в этом случае функционалом Sab[ε] от с-числовой функции εa(t). Фейнмановские

правила для вычисления этого функционала определяются очевидным обобщением обычных правил Фейнмана. В дополнение к получаемым из V(t) вершинам, следует включить новые вершины: если oa(x) есть произведение na полевых множителей, то всякая вершина oa с координатой x и с na подсоединенными к ней линиями соответствующего типа согласно правилам Фейнмана в координатном представлении дает вклад, равный −iεa(x), умноженный на

содержащиеся в oa(x) числовые факторы. Отсюда следует, что r-ая вариационная производная Sβα[ε] ïî εa(x), εb(y) ... ïðè ε = 0

дается в координатном представлении диаграммами с r дополнительными вершинами, к которым подсоединены соответственно na, nb, ... внутренних линий, а внешние линии отсутствуют. Указанные вершины имеют координаты x, y, ..., по которым не производится интегрирование. Вклад каждой такой вершины равен произведению −i на тот числовой фактор, который содержится в соответствую-

ùåì òîêå oa.

В частности, если все токи представляют собой поля, т. е.

Vε (t) = V(t) + å z d3x εa (x, t)oa (x, t) ,

a

то r-ая вариационная производная Sβα[ε] ïî εl(x), εm(y), ... ïðè ε = 0

изображается в координатном представлении диаграммами, имеющими r дополнительных вершин с координатами x, y, ..., причем к каждой из них подсоединена одна единственная внутренняя линия типа l, m, ... Такие линии можно рассматривать как внешние линии вне массовой оболочки, с той только разницей, что их вклад в матричный элемент равен не коэффициентной функции типа (2π)−3/ 2ul(p,σ)eip•x èëè (2π)−3/2ul*(p,σ)e−ip•x, а пропагатору, умноженному на множитель −i от вершины в конце линии. В импульсном пред-

ставлении фейнмановская диаграмма с частицами на массовой обо-

´ eFβ , ToV(t1). . . V(tN )oa1 (x1). . . oar (xr )tFα j .

eFβ , ToV(t01). . . V(t0N0 )toa1 (x1)ToV(t11). . . V(t1N1 )toa2 (x2 ). . .

´ . . . oar (xr )ToV(tr1). . . V(trNr )tFα j .

Множитель N!/N0!N1!...Nr! равен числу способов рассортировать N переменных t по r+1 подмножествам, содержащим N0, N1, . . ., Nr

этих переменных. Вместо суммирования по N0, N1, . . .,Nr с учетом условия N0 + N1 + . . . + Nr = N, а затем суммирования по N, можно просто суммировать независимо по N0, N1, . . ., Nr, полагая N в множителе (-i)N равным N0 + N1 + . . . + Nr. Получаем:

= (-i)r eW(¥)Fβ , Oa1 (x1). . . Oar (xr )W(-¥)Fα j .

При получении этой формулы было сделано предположение, что x10 ³ x20 ³ . . . ³ x0r , поэтому произведение операторов справа

можно заменить на хронологически упорядоченное произведение

= (-i)r eW(¥)Fβ , T{Oa1 (x1). . . Oar (xr )}W(-¥)Fα j .

Но теперь обе стороны равенства полностью симметричны (или антисиммметричны в случае фермионов) по a и x, так что это соотношение выполняется при любом порядке следования моментов времени x10...xr0. Кроме того, в разделе 3.1 мы видели, что

(в смысле соотношения (3.1.12)). Таким образом, формула (6.4.13) и есть желаемый результат (6.4.3).

384 Глава 6. Фейнмановские правила

Задачи

1. Рассмотрите теорию действительного скалярного поля ϕ ñî

взаимодействием

V = 3g! z d3xϕ(x)3

(в представлении взаимодействия). Вычислите связный элемент S-матрицы для скаляр−скалярного рассеяния во втором

порядке по g, взяв все интегралы. Используя этот результат, вычислите дифференциальное сечение скаляр−скалярного рас-

сеяния в с. ц. и.

2. Рассмотрите теорию, включающую нейтральное скалярное поле ϕ(x) для бозона В и комплексное дираковское поле ψ(x) äëÿ

фермиона F, взаимодействующих по закону

V = igz d3xψ(x)γ 5ψ(x)ϕ(x).

(в представлении взаимодействия). Нарисуйте все связные фейнмановские диаграммы в порядке g2 и вычислите соответствующие матричные элементы S-матрицы для процессов Fc + B → Fc + B, F + Fc → F + Fc è Fc + F → B + B (здесь Fc —

античастица F). Вычислите все интегралы.

3. Рассмотрите теорию действительного скалярного поля j(x) со взаимодействием

V = 4g! z d3xϕ(x)4.

Вычислите S-матрицу для скаляр−скалярного рассеяния в по-

рядке g и с помощью этого результата найдите дифференциальное сечение. Рассчитайте поправочные слагаемые в S-мат- рице для скаляр−скалярного рассеяния в порядке g2, âçÿâ âñå

интегралы по x и выразив результат в виде интеграла по единственному 4-импульсу.

4. Каков вклад в фейнмановские диаграммы от свертки производной дираковского поля ∂μψl(x) с сопряженным полем ψm†(y)?

5. С помощью теоремы из раздела 6.4 найдите выражения для средних по вакууму от гейзенберговских операторов (Ψ0,Φ(x)Ψ0) è (Ψ0,T{Φ(x),Φ(y)}Ψ0) в теории, рассмотренной в задаче 1, в

порядках g и g2, соответственно.

Список литературы

1. Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949).

2. Формальное утверждение носит название теоремы Вика; см.: Wick, G.C., Phys. Rev., 80, 268 (1950).

3. Я не знаю, кто первым доказал эту теорему. Она была известна в начале 50-х годов ряду теоретиков, включая М. Гелл-Манна и Ф. Лоу.

4. Schwinger, J., Phys. Rev., 82, 914 (1951).

7

Канонический формализм

С конца 1920-х годов, когда квантовая теория поля родилась в работах Борна, Дирака, Ферми, Гейзенберга, Иордана и Паули, ее развитие исторически было настолько тесно связано с канониче- ским формализмом, что и в наши дни считается вполне естественным начинать любое рассмотрение с постулирования лагранжиана и применения к нему правил канонического квантования. Такой подход используется в большинстве книг по квантовой теории поля. Однако исторический прецедент — не самый убедительный довод в пользу этого формализма. Если нам удастся построить квантовую теорию поля, приводящую к физически удовлетворительной S-матрице, то какое нам дело до того, что эту теорию нельзя, может быть, получить квантованием какого-то лагранжиана?

Поставленный вопрос до некоторой степени спорный, так как в разделе 7.1 мы увидим, что все самые известные квантовые теории поля представляют собой канонические системы, которые легко могут быть представлены в лагранжевой форме. Однако никто не доказал, что любая приемлемая квантовая теория поля может быть сформулирована таким образом. Но даже если это так, то сам этот факт не объясняет, почему в качестве отправной точки при построении разных квантовых теорий поля следует предпочитать именно лагранжев формализм.

Преимущество лагранжевого формализма заключается в том, что он позволяет легко удовлетворить требованиям инвариантности относительно преобразований Лоренца и других симметрий: классическая теория с лоренц-инвариантным лагранжианом в результате канонического квантования приводит к лоренц-инвари- антной квантовой теории. Иначе говоря, мы покажем ниже, что

такая теория позволяет построить подходящие квантово-механи- ческие операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре и приводящие поэтому к лоренц-инвари- антной S-матрице.

Это далеко не тривиально. В предыдущей главе мы видели, что в теориях со связью с производными или со спином j ³ 1

недостаточно записать гамильтониан взаимодействия в виде интеграла по пространству от скалярной плотности. Необходимо добавить к плотности гамильтониана взаимодействия нескалярные слагаемые для компенсации нековарантных слагаемых в пропагаторах. Канонический формализм со скалярной плотностью лагранжиана автоматически приводит к нужным дополнительным слагаемым. Позднее, когда мы перейдем в т. II к обсуждению неабелевых калибровочных теорий, это дополнительное удобство превратится в необходимость. Безнадежно пытаться угадать форму гамильтониана в таких теориях, если не начать с лоренц-инвари- антного и калибровочно инвариантного лагранжиана.

7.1.Канонические переменные

Âэтом разделе мы покажем, что различные построенные нами до сих пор квантовые теории поля удовлетворяют коммутационным соотношениям и уравнениям движения гамильтонова формализма *. Для вычисления S-матрицы (операторным методом или с помощью функционального интеграла) нужен именно гамильтонов формализм, однако далеко не просто выбрать гамильтонианы, приводящие к лоренц-инвариантной S-матрице. В остальной части этой главы мы будем рассматривать в качестве отправной точки лагранжев формализм, и получим с его помощью физически приемлемые гамильтонианы. Цель данного раздела —

* Мы используем русскую терминологию. Автор употребляет термин

Hamiltonian (Lagrangian) version of canonical formalizm, в дословном переводе: гамильтонов (лагранжев) вариант канонического формализма. В русской физической литературе используют термины лагранжев формализм и гамильтонов, или канонический, формализм. Лагранжев и гамильтонов формализмы однозначно связаны и эквивалентны; иногда говорят о «гамильтонизации» лагранжевой теории. — Ïðèì. ðåä.

определить канонические поля и им сопряженные в различных теориях поля, показать, как выделять слагаемые в лагранжиане, относящиеся к свободным полям, и, наконец, подтвердить, что канонический формализм действительно применим к физически реалистичным теориям.

Прежде всего, покажем, что построенные в гл. 5 свободные поля автоматически образуют систему квантовых операторов qn(x,t) и канонически сопряженных им импульсов pn(x,t), удовлетворяющих известным каноническим соотношениям коммутации или антикоммутации:

где индекс е указывает, что если хотя бы один из двух операторов рождает или уничтожает частицы, являющиеся бозонами, следует брать коммутатор, а если оба оператора рождают или уничтожают фермионы, то следует брать антикоммутатор. Например, в разделе 5.2 было показано, что действительное скалярное поле ϕ(x)

зарядово самосопряженной частицы нулевого спина подчиняется коммутационному соотношению

[ϕ(x), ϕ(y)]- = (x − y),

где функция

причем k0 ≡ k2 + m2 . Заметим, что

(x, 0) = 0 , & (x, 0) = −iδ3 (x) .

(Точка означает производную по x0.) Легко показать, что поле ϕ и его производная по времени ϕ& удовлетворяют одновременным ком-

мутационным соотношениям