Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Рис. 6.6. Связные диаграммы второго порядка для бозон-фермионного рассеяния в теории с взаимодействием (6.1.18). Прямые линии — фермионы, пунктирные — нейтральные бозоны

Рис. 6.7. Связная диаграмма низшего порядка для бозон-бозонного рассеяния в теории с взаимодействием (6.1.18). Подобные диаграммы с фермионными петлями приводят к дополнительному знаку «минус», возникающему от перестановок спариваемых фермионных полей

Чтобы перейти от (6.1.26) к (6.1.25), необходимо совершить нечетную перестановку фермионных операторов (передвинуть ψ(x1) направо через 2М−1 оператор). Поэтому вклад каждой такой фермионной

петли сопровождается дополнительным отрицательным знаком.

Эти правила приводят к полной S-матрице, включающей вклады от процессов, в которых взаимодействуют далеко разнесенные в пространстве и времени различные кластеры частиц. Как обсуждалось в гл. 4, для вычисления той части S-матрицы, которая не содержит указанных вкладов, нужно рассматривать только связные фейнмановские диаграммы. В частности, это исключает проходящие насквозь через диаграмму без взаимодействия линии, которым соответствуют множители (6.1.13).

причем последнее слагаемое означает вычитание предыдущего выражения с перестановкой частиц 1′ è 2′ (или 1 и 2). В такой теории

не существует диаграмм второго порядка для бозон-бозонного рассеяния. Простейшими являются диаграммы четвертого порядка типа показанных на рис. 6.7.

Более конкретные примеры использования формул (6.1.27) и (6.1.28) будут приведены в разделе 6.3, после того, как мы вычислим пропагаторы и перейдем в импульсное пространство.

В предыдущем примере все три поля в гамильтониане взаимодействия (6.1.18) различны. Полезно рассмотреть пример также с трилинейным взаимодействием, но в котором все три поля одинаковы или, по крайней мере, входят симметричным образом.

Теория II

Пусть плотность гамильтониана взаимодействия есть сумма слагаемых, трилинейных по действительным бозонным полям ϕl(x):

связи.

Пусть мы хотим рассмотреть процесс рассеяния 12 → 1′2′ âî

втором порядке по этому взаимодействию. К каждой из двух вершин должны быть подсоединены по две из четырех внешних линий. (Единственная другая возможность − в том, чтобы к одной

вершине была подсоединена одна из внешних линий, а три другие были подсоединены ко второй вершине. Но в этом случае у вершины с тремя внешними линями не останется больше линий, чтобы соединить ее с первой вершиной, т. е. получится несвязная диаграмма.) Третья линия при каждой вершине должна соединять вершины друг с другом. Имеются три диаграммы такого типа (рис. 6.8), отличающиеся тем, какая внешняя линия подсоединена к той же вершине, что и линия 1. Это могут быть линии 2, 1′ èëè 2′.

Следуя сформулированным правилам, запишем вклад в S-матрицу от этих трех диаграмм:

ãäå F(x − y) − пропагатор скалярного поля, вычисленный в сле-

дующем разделе. В этой теории не существует вкладов третьего или любого нечетного порядка по H (x).

6.2. Вычисление пропагатора

Перейдем к вычислению пропагатора (6.1.14). Пропагатор — существенная составляющая фейнмановских правил, возникающая в результате спаривания поля ψl(x) с сопряженным полем ψm†(y).

Подставляя (6.1.15) и (6.1.16) в (6.1.14) и пользуясь соотношениями коммутации и антикоммутации для операторов уничтожения и рождения, находим:

−i lm (x, y) = θ(x − y)(2π)-3/2 z d3på ul (pσ n)um* (pσ n)eip×(x- y)

Вычисляя в гл. 5 коммутаторы и антикоммутаторы, мы показали, что

s

ãäå Plm(p,ω) − полином по р и ω. (Здесь, как и в (6.2.1), верхние и

нижние знаки относятся, соответственно, к бозонным и фермионным полям.) Например, если ψl(x) è ψm†(y) − скалярные поля ϕ(x) è ϕ(y) частицы спина 0, то

Åñëè ψl(x) è ψm†(y) − дираковские поля частицы спина 1/2, то

(6.2.2) и (6.2.3) определяют Р(р) только для 4-импульсов «на массовой оболочке», т. е. при значениях р0 º ± p2 + m2 . Любая полино-

миальная функция таких 4-импульсов всегда может рассматриваться как линейная по р0, так как любая степень (p0)2ν èëè (p0)2ν+1 может быть записана как (p2 + m2)ν èëè p0(p2 + m2)ν, соответст-

венно. Поэтому можно определить полином P(L)(q) условиями, что

ãäå Ð(0,1) - полиномы, зависящие только от q. Теперь можно вос-

пользоваться соотношениями

(напомним, что q(x) имеет единичный скачок при x0 = 0 и постоянна

в остальных точках), и переставить операторы производных в (6.2.8) и q-функциии:

ãäå DF — фейнмановский пропагатор, равный

Однако при x0 = 0 функция D+(x) четна по x, так как замена x ® -x в (6.2.9) может быть скомпенсирована заменой p ® -p

переменной интегрирования. Поэтому можно опустить второе слагаемое в (6.2.12) и записать просто

Полезнее всего использовать выражение для фейнмановского пропагатора в виде интеграла Фурье. Ступенчатые функции

содержит только положительно- или только отрицательно-частот-

В связи с этим выражением возникает одна очевидная проблема. Полином Р(р) лоренц-ковариантен, когда р находится на массовой оболочке, p2 = −m2, но интегрирование в (6.2.18) производится по всем qμ, не ограниченным массовой оболочкой. Полином P(L)(q) определен для произвольных qμ таким образом, что он линеен по q0. Очевидно,

это условие не лоренц-ковариантно, если только полином не линеен и по каждой пространственной компоненте qi. Однако всегда можно определить расширение полинома Р(р) на произвольные 4-импульсы qμ, которое мы обозначим просто P(q), таким образом, чтобы при любых qμ полином P(q) был явно лоренц-ковариантен:

ãäå Λμν − общее преобразование Лоренца, а D(Λ) − соответствующее

представление группы Лоренца. Например, для скалярного, дираковского и 4-векторного полей эти ковариантные расширения полу- чаются очевидной заменой pμ на произвольный 4-вектор qμ â (6.2.4),

(6.2.5) и (6.2.6). Для скалярного и дираковского полей полиномы уже линейны по q0, и в этих случаях нет разницы между P(L)(q) è P(q):

Plm(L) (q) = Plm (q) (скалярное и дираковское поля). (6.2.19)

В то же время для векторного поля частицы спина 1 00-компонента ковариантного полинома Pμν(q) ≡ ημν + m–2qμqν êâàä-

ратична по q0, так что в этом случае есть разница:

(Здесь дополнительное слагаемое определяется двумя условиями: оно должно компенсировать слагаемое (q0)2 â P00(q) и должно обращаться в нуль, если qμ находится на массовой оболочке.) Подста-

новка последнего выражения в (6.2.18) приводит к следующему виду пропагатора векторного поля:

(6.2.21)

Первое слагаемое явно ковариантно, а второе, хотя и нековариантно, но локально, так что его можно компенсировать добавлением локального нековариантного слагаемого в плотность гамильтониана. Конкретно, если взаимодействие Vμ(x) с другими полями описывается слагаемым Vμ(x)Jμ(x) в H(x), то наличие второго

слагаемого в (6.2.21) сведется к появлению эффективного взаимодействия

-iHýôô (x) = 1 [-iJμ (x)][-iJν (x)][-im−2d0μd0ν ] . 2

(Множители -i всегда1 сопровождают вклады вершин и пропагато-

ров. Множитель необходим потому, что возможны два способа спаривания других полей с H’ýôô(x), отличающиеся перестановкой Jμ è Jν.) Итак, вклад нековариантного второго слагаемого

в (6.2.21) можно компенсировать, добавив к H(x) нековариантное слагаемое

Именно сингулярность одновременных коммутаторов векторных полей на малых расстояниях заставляет использовать более широкий класс взаимодействий, чем те, которые описываются скалярной плотностью. Детальное непертурбативное доказательство лоренц-инвариантности S-матрицы в этой теории будет дано в следующей главе.

Не нужно думать, что описанное явление связано только со спинами j ³ 1. Рассмотрим, например, векторное поле, связанное

с частицей спина j = 0 и равное (как обсуждалось в гл. 5) производ-