Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Поэтому функция Гамильтона является функционалом только от Ψl è Πl. Ее вариационные производные по этим переменным равны *:

где нижние индексы указывают на те величины, которые считаются постоянными при взятии вариационных производных. Используя определение (7.2.1) для Πl, можно упростить полученные выраже-

íèÿ:

Тогда уравнения движения (7.2.2) эквивалентны уравнению

Возникает искушение отождествить исходные полевые переменные Ψl и сопряженные им импульсы Πl с каноническими пере-

менными Qn è Pn из предыдущего раздела и потребовать выполнения тех же самых коммутационных соотношений (7.1.30)−(7.1.32).

При этом уравнения (7.2.12) и (7.2.13) совпадают с гамильтоновыми

* Строго говоря, нижеследующие формулы справедливы в предположении, что Ψ& l однозначно выражаются через Ψl è Πl. — Ïðèì. ðåä.

что совпадает с гамильтонианом (7.1.35). Это маленькое упражнение следует рассматривать не как еще один вывод этого гамильтониана, а как оправдание пригодности лагранжиана (7.2.14) * для теории скалярных полей.

Однако не всегда дело обстоит так просто. Мы уже видели в предыдущем разделе, что существуют полевые переменные типа временной компоненты векторного поля или эрмитово сопряженного дираковского поля, которые не являются каноническими полевыми переменными Qn и не имеют канонически сопряженных им величин. Однако в силу лоренц-инвариантности эти переменные обязаны содержаться в лагранжиане векторного и дираковского полей.

С точки зрения лагранжевого формализма, особый характер полевых переменных типа временной компоненты векторного поля или эрмитово сопряженного дираковского поля возникает из-за того, что сами они входят в лагранжиан, а их производные по времени — нет. Обозначим через Сr те полевые переменные Ψl, ÷üè

производные по времени не входят в лагранжиан. Остальные независимые полевые переменные являются каноническими переменными Qn. Äëÿ Qn канонически сопряженными импульсами будут

причем выполняются коммутационные соотношения (7.1.30)−(7.1.32).

Однако для Сr канонически сопряженных импульсов нет. Так как

m

однако пользы от этого выражения мало, пока мы не выразим Cr è

& l через Q и P. Уравнения движения для Cr содержат только поля и

Q

их первые производные по времени:

* Здесь и иногда ниже автор употребляет один и тот же термин «лагранжиан» как для собственно лагранжиана L, так и для плотности лагранжиана L (см. (7.2.5)). Это смешение общепринято в современной литературе; содержание термина обычно явно следует из контекста. — Прим. ред.

В простейших случаях, рассматриваемых в этой главе, получен-

следует использовать другие методы: либо выбирать конкретную калибровку, как это сделано в гл. 8, либо применять обсуждаемые в т. II более современные ковариантные методы.

Так как мы вывели выражение для гамильтониана как функционала от Q и P в гейзенберговском представлении, то для использования теории возмущений необходимо совершить переход к представлению взаимодействия. Гамильтониан не зависит от времени, поэтому его можно записать через операторы Pn è Qn при t = 0, которые совпадают с операторами pn è qn, взятыми в тот же момент времени в представлении взаимодействия. Полученный таким образом гамильтониан можно выразить через q и р в представлении взаимодействия и разбить на две части: должным образом выбранный гамильтониан H0 для свободных частиц и оператор взаимодействия V. Наконец, используются уравнения (7.1.21) и (7.1.22), устанавливающие зависимость от времени, и коммутационные или антикоммутационные соотношения (7.1.1)-(7.1.2), чтобы выразить q и р в V(t) в виде линейных комбинаций операторов уничтожения и рождения.

Несколько примеров этой процедуры приведено в разделе 7.5. Сейчас ограничимся только одним простейшим примером — скалярным полем с гамильтонианом (7.2.17). Разбиваем Н на два слагаемых — гамильтониан свободных частиц, и гамильтониан

Здесь F è P берутся в один момент времени t, а Н не зависит от t,

хотя обычно это неверно для Н0 è V.

Теперь переходим к представлению взаимодействия. Полагая t = 0 в формулах (7.2.22) и (7.2.23), можно просто заменить F, P на переменные в представлении взаимодействия j, p, так как соглас-

но (7.1.28) и (7.1.29) эти величины совпадают друг с другом при t = 0. Чтобы получить оператор взаимодействия V(t) в представлении взаимодействия, применим преобразование подобия (3.5.5):

Такое же преобразование, примененное к Н0, оставляет его постоянным:

(Полученное соотношение совпало с (7.2.16), но как будет видно дальше, в общем случае это не так.) Кроме того, уравнение движения для j определяется формулой (7.1.22):

что вместе с (7.2.26) приводит к полевому уравнению

Общее действительное решение этого уравнения можно записать в виде

j(x) = (2p)-3/2 z d3p(2p0 )-1/2 eip×xa(p) - e-ip×xa† (p) , (7.2.29)

где подразумевается, что p0 = p2 + m2 , à a(p) − некоторая пока

что неизвестная операторная функция p. С помощью (7.2.26) получаем канонически сопряженный импульс

следует принять, что операторы a удовлетворяют известным коммутационным соотношениям

Кроме того, мы уже показали в предыдущем разделе, что с помощью этих выражений формула (7.2.25) с точностью до неопределенной аддитивной константы переходит в обычную формулу (4.2.11) для гамильтониана свободных частиц. Как было отмечено, эти результаты не следует рассматривать как альтернативный вывод формул (7.2.29), (7.2.34) и (7.2.35), полученных в гл. 5 из совершенно иных соображений, а как проверку того, что первые два слагаемых в (7.2.14) являются правильным лагранжианом свободных частиц для действительного скалярного поля. Теперь можно использовать теорию возмущений длля вычисления S-матрицы, взяв за V(t) выражение (7.2.24), где поле ϕ(x) дается формулой (7.2.29).

Описанная здесь процедура будет рассмотрена в разделе 7.5 на более сложных и интересных примерах.

* * *

а новые канонические переменные Qn è Pn + Pn. Коммутаторы Qn друг с другом и с Pm даются обычными каноническими соотношениями, но коммутаторы Pn друг с другом равны теперь

В общем случае, это не равно нулю, однако если добавочное слагаемое в лагранжиане является полной производной по времени,

то D в (7.2.36) имеет специальный вид

В этом случае коммутатор (7.2.39) обращается в нуль, и переменные Qn è Pn удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям. Мы уже видели, что изменение лагранжиана вида (7.2.36) не изменяет формы гамильтониана как функционала от Qn è Pn. Как только что было показано, коммутационные соотношения для этих величин также не изменяются, поэтому добавление слагаемого (7.2.36) к лагранжиану не влияет на квантовую структуру теории. Таким образом, разные плотности лагранжианов, получающиеся друг из друга интегрированием по частям, могут рассматриваться как эквивалентные и в классической, и в квантовой теории поля.

7.3. Глобальные симметрии

Мы подошли к главному свойству лагранжева формализма: он представляется наиболее естественным для квантово-механической

реализации принципов симметрии. Дело в том, что динамические уравнения в лагранжевом формализме имеют форму, следующую из вариационного принципа — принципа стационарности действия. Рассмотрим любое бесконечно малое преобразование полей

оставляющее действие инвариантным *:

(Åñëè ε − постоянная величина, такие симметрии называются гло-

бальными. В общем случае F l зависит от полей и их производных в точке x.) Конечно, соотношение (7.3.2) автоматически выполняется для всех бесконечно малых вариаций полей, если сами поля удовлетворяют динамическим уравнениям. Бесконечно малые преобразования симметрии − это такие преобразования, которые оставля-

ют инвариантным действие даже тогда, когда динамические уравнения не удовлетворяются. Если теперь мы рассмотрим то же самое преобразование, считая ε произвольной функцией точки пространства−времени,

то в общем случае вариация действия не обратится в нуль. Однако она должна иметь вид

для того, чтобы быть равной нулю, когда ε(x) действительно постоянна. Если теперь принять, что поля в I[Ψ] удовлетворяют

полевым уравнениям, тогда I будет стационарным по отношению к

* Нижеследующее рассмотрение (неявно) содержит два тонких пункта. Вопервых, поля Ψl(x) в (7.3.1) должны включать решения динамических

уравнений, т. е. последние должны входить в область определения действия I[Ψ] (см. примечание редактора на с. 397). Во-вторых, чтобы было верно (7.3.2), вариация симметрии iεFl(x) должна быть допустимой (исчезать на

бесконечности),. — Прим. ред.

произвольным вариациям полей, обращающимся в нуль на больших пространственно-временных расстояниях, включая и варации вида (7.3.3), так что в этом случае (7.3.4) должно обращаться в нуль. Интегрируя по частям, видим, что Jμ(x) должен удовлетворять

закону сохранения

Каждому независимому бесконечно малому преобразованию симметрии соответствует только один сохраняющийся ток Jμ è îäèí

интеграл движения F. Это общее свойство канонического формализма, часто называемое теоремой Нетер: наличие симметрий влечет существование законов сохранения *.

Многие преобразования симметрии оставляют инвариантным не только действие, но и лагранжиан. Например, так обстоит дело в случае пространственных трансляций и поворотов, а также изоспиновых преобразований и других преобразований внутренних симметрий, хотя для общих преобразований Лоренца это не выполняется. Если лагранжиан инвариантен, можно продвинуться дальше и написать явную формулу для сохраняющейся величины F. Рассмотрим вариацию поля (7.3.3), в которой ε(x) зависит от t, но не от x. В

этом случае вариация действия равна

* Стандартно понимаемая теорема Нетер утверждает не только существование законов сохранения, но и их конкретный вид, т. е. явный вид сохраняющегося нетеровского тока Jμ и интеграла движения F, отвечающих данному действию I и

данной симметрии (7.3.1) (см. ниже на с. 409). — Прим. ред.