Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

и требуем, чтобы лагранжиан зависел от ∂μΨl è Aμ только в

определенной комбинации

Если лагранжиан материи LM(Ψ,DΨ), построенный только из Ψl è DμΨl, инвариантен относительно преобразования с постоянной величиной ε, то он будет инвариантным и относительно преобразований (8.1.18), (8.1.20) с произвольной функцией ε(x). Для такого ла-

гранжиана имеем

что совпадает с (8.1.11). (Можно было бы включить в LM также и Fμν

и его производные.) С этой точки зрения, безмассовость частиц, описываемых потенциалом Aμ, есть не предположение,1 а следствие калибровочной инвариантности: слагаемое − m2AμAμ в лагранжиане

нарушало бы калибровочную инвариантность.

8.2. Связи и калибровочные условия

Электродинамика обладает рядом особенностей, препятствующих квантованию этой теории по типу рассмотренных в предыдущей главе теорий массивных частиц. Как обычно, можно определить канонический импульс для электромагнитного векторного потенциала равенством

Квантование по обычным правилам приводило бы к формуле

460 Глава 8. Электродинамика

[A ( , t), Πν ( , t)] = iδνδ3 ( − ) .

μ x y μ x y

Но в данном случае это равенство невозможно, поскольку Aμ è Πν

подчиняются ряду связей.

Первая из них следует из того факта, что лагранжиан не за-

Это первичная связь, так как она следует непосредственно из структуры лагранжиана. Но здесь есть и вторичная связь, вытекающая из уравнения поля для величины, фиксированной первичной связью **:

так как слагаемое с производной по времени выпадает из-за равенства F00 = 0. Хотя лагранжиан материи может в общем случае зависеть от A0, плотность заряда зависит только от полей материи ***

Qn и канонически сопряженных им импульсов Pn:

Следовательно (8.2.3) есть функциональное соотношение между каноническими переменными. Оба соотношения (8.2.2) и (8.2.3) несовместимы с обычными предположениями, что

*В случае Lγ = –FμνFμν/4 имеем ∂Lγ/∂(∂0Aμ) = –F0μ, что равно нулю при

μ= 0, òàê êàê Fμν — антисимметричный тензор. Для лагранжиана материи

LM, включающего только Ψl è DμΨl, предписание (8.1.21) утверждает, что LM не зависит от любых производных любых компонент Aν. Даже если лагранжиан материи зависит от Fμν, производная ∂LM/∂(∂νAμ) будет также антисимметрична по μ è ν и, следовательно, обратится в нуль при μ = ν = 0.

**Как обычно, i, j, и т. д. принимают значения 1,2,3.

***Ввиду истощения ресурсов алфавита, я вынужден использовать здесь

иные, чем в предыдущей главе, обозначения. Символы Qn è Pn сохранены для обозначения полей материи и канонически сопряженных им импульсов, соот-

ветственно, а электромагнитные поля и сопряженные им канонические импульсы обозначены соответственно через Ai è Πi.

[Aμ (x, t), Π ν (y, t)] = iδμν δ3 (x − y) ,

[Qn (x, t), Π ν (y, t)] = [Pn (x, t), Π ν (y, t)] = 0.

Мы сталкивались с аналогичной проблемой в теории массивного векторного поля. В том случае было предложены два эквивалентных пути ее решения: либо методом скобок Дирака, либо более непосредственно, принимая в качестве канонических переменных только Ai è Πi и разрешая аналог уравнения (8.2.3) относительно А0,

что позволяет выразить А0 через эти переменные. Ясно, что в данном случае нельзя использовать скобки Дирака. Функциями связей

χ здесь являются Π0 è ∂iΠi – J0 (вместо ∂iΠi – m2A0 –J0), è èõ

скобки Пуассона очевидно равны нулю. По терминологии Дирака, связи (8.2.2) и (8.2.3) относятся к первому роду. Кроме того, мы не можем устранить A0 как динамическую переменную, выразив ее через другие переменные. Вместо того, чтобы определять А0 во все моменты времени, уравнение (8.2.3) играет роль начального условия: если оно выполнено в один момент времени, то оно удовлетворяется во все моменты, поскольку (в силу уравнений для других полей Ai)

и условие сохранения тока дает

Не следует удивляться, что у нас имеются четыре компоненты Aμ и только три полевых уравнения. Дело в том, что эта теория обла-

дает локальной калибровочной симметрией, что делает в принципе невозможным определить значения полей в произвольные моменты времени, зная их величину и скорость изменения в любой определенный момент. Зная любое решение Aμ(x,t) уравнений

преобразованное поле Aμ + ¶μl будет ему удовлетворять, если выбрать l таким, что Ñ2l = – Ñ × A. Начиная с этого момента, предпо-

лагаем это преобразование выполненным, так что

Далее удобно ограничиться теориями, в которых лагранжиан материи LM зависит от полей материи и их производных по времени, а также от поля Aμ, но не от его производных.

(Стандартные скалярная и спинорная электродинамики имеют лагранжианы именно этого типа.) Тогда единственным слагаемым в лагранжиане, зависящим от Fμν, является кинетический член

–FμνFμν/4, так что уравнение связи (8.2.3) имеет вид:

В сочетании с условием кулоновской калибровки (8.2.6) получаем:

Оставшиеся степени свободы — поля Ai, i = 1,2,3, подчиняющиеся условию Ñ × À.

Как отмечено выше, плотность заряда зависит только от полей материи Qn и канонически сопряженных им импульсов Pn, так что формула (8.2.9) дает явное решение для вспомогательного поля A0.

8.3. Квантование в кулоновской калибровке

Все же есть еще одно препятствие, мешающее каноническому квантованию электродинамики в кулоновской калибровке. Даже после использования формулы (8.2.9) для исключения A0 (è P0) èç

списка канонических переменных, мы не можем использовать обыч- ные канонические коммутационные соотношения для Ai è Pi, òàê

x3

A3 (x) = − z ds[∂1A1(x1, x2 , s) + ∂2 A2 (x1, x2 , s)] .

Аналогично, с помощью уравнения связи (8.3.2) можно выразить импульсы Πi , канонически сопряженные полям Ai , через им-

пульсы P1x è P2x, канонически сопряженные переменным Q1x è Q2x. В таких случаях, как показано в части В Приложения к предыдущей главе, если независимые переменные Q1x, Q2x, P1x è P2x удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям, то коммутаторы подчиняющихся связям канонических переменных даются (с точностью до множителя i) соответствующими скобками Дирака (7.6.20). Большое преимущество этого рецепта заключается в том, что мы не должны использовать явные выражения для зависимых переменных через независимые.

Чтобы вычислить скобки Дирака, заметим, что матрица С имеет обратную:

Кроме того, неисчезающие скобки Пуассона переменных Ai è Πi ñ

функциями связи имеют вид

Отсюда, согласно (7.6.19) и (7.6.20), одновременны1е коммутаторы имеют вид

466 Глава 8. Электродинамика

Заметим, что эти выражения совместны с условиями кулоновской калибровки (8.3.1) и (8.3.2), что и гарантируется общими свойствами скобок Дирака.

Но что такое Π в электродинамике? Для того класса теорий,

бая скалярная функция. Поэтому все, что удается выяснить из исследования лагранжиана, сводится к тому, что P равно A& (x) + ÑA0 (x)

плюс градиент некоторого скаляра. Эта неоднозначность устраняется условием (8.3.2), требующим, чтобы Ñ × Π = -J0 = Ñ2A0. Òàê êàê Ñ × A& = 0, приходим к выводу, что формула (8.3.6) действительно дает правильное выражение для Pi.

Хотя коммутационные соотношения (8.3.5) сравнительно просты, мы сталкиваемся с той трудностью, что Π не коммутирует с

полями материи и соответствующими им каноническими импульсами. Если F — любой функционал этих степеней свободы материи, то его скобка Дирака с А обращается в нуль, но скобка Дирака с Π равна

=-z d3y[F, A0 (y)]PÑd3 (y - z)

=[F, ÑA0 (z)]P = [F, ÑA0 (z)]D .

Чтобы упростить переход к представлению взаимодействия, мы запишем гамильтониан не через переменные А и P, а через переменные А и ΠB, ãäå ΠB — соленоидальная часть P:

для которой [F, ΠB(z)] = 0. Используя то, что ΠB(x) коммутирует с

Π(y) - ΠB(y) = ÑA0(y), è ÷òî ¶iA0(x) коммутирует с ¶jA0(y), легко убедиться, что ΠB(x) удовлетворяет тем же коммутационным соот-

ношениям (8.3.5), что и Π(x), а также простому уравнению связи

Теперь нужно построить гамильтониан. Согласно общим результатам Приложения к гл. 7, можно, не выписывая гамильтониан явно через независимые переменные Q и P, использовать обычное соотношение между гамильтонианом и лагранжианом, записанное че- рез подчиняющиеся связям переменные А и ΠB. В электродинамике

это приводит к формуле

где, как упоминалось выше, Qn è Pn - поля материи и соответст-

вующие им канонические импульсы. (В формуле (8.3.9) можно использовать ΠB вместо Π, òàê êàê Ñ ×À = 0.)

Для определенности, рассмотрим теорию с плотностью лагранжиана

ãäå Jμ — ток, не содержащий Aμ, à Lматерии — лагранжиан любых других полей, входящих в Jμ, кроме их электромагнитного взаимо-

действия, которое задается в лагранжиане (8.3.10) явно слагаемым JμAμ. (Такой вид имеет лагранжиан электродинамики частиц спина

1/2, тогда как электродинамика частиц спина нуль более сложна.) Заменяя везде A& íà ΠB, приходим к следующему виду гамильто-

ниана (8.3.9):

ãäå HM — гамильтониан полей материи за вычетом их электромагнитного взаимодействия,

С помощью коммутационных соотношений (8.3.5) читатель может проверить, что скорость изменения любой операторной функции F

8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия

Разобъем теперь гамильтониан (8.3.11) на слагаемое Н0, описывающее свободные частицы, и взаимодействие V:

ãäå Íматерии,0 è Vматерии — входящие в Нматерии гамильтониан свободных частиц материи и их взаимодействиея, а Vкулон — кулоновское

взаимодействие (8.3.12). Полный гамильтониан (8.4.1) не зависит от времени, поэтому выражения (8.4.2) и (8.4.3) могут быть вычислены в любой желаемый момент времени (но один и тот же для обеих слагаемых), в частности, при t = 0. Как и в гл. 7, переход к представлению взаимодействия производится с помощью преобразования подобия