Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Действительное векторное поле, удовлетворяющее уравнениям (7.5.25) и (7.5.26), можно представить в виде фурье−разложения

vm (x) = (2π)-3/2 å z d3p(2p0 )-1/2 nem (p, σ)a(p, σ)eip×x

s

(7.5.27)

+em* (p, σ)a†(p, σ)e-ip×x s ,

à a(p,σ), a†(p,σ) − операторные коэффициенты. С помощью (7.5.23), (7.5.27) и (7.5.29) можно непостредственно убедиться, что v и π

удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям:

[vi (x, t), πj (y, t)] = iδijδ3 (x − y) ,

(7.5.30)

[vi (x, t), vj (y, t)] = [πi (x, t), πj (y, t)] = 0 ,

если операторы a(p,σ) è a†(p,σ) удовлетворяют коммутационным

соотношениям вида

Мы уже знаем, что векторное поле частиц спина единица должно иметь вид (7.5.27), так что представленный вывод этих результатов

430 Глава 7. Канонический формализм

служит лишь для проверки, что (7.5.18) дает правильный гамильтониан свободных массивных частиц спина единица. Легко проверить также, что (7.5.18) можно записать (с точностью до постоянного слагаемого) в стандартной форме åσ z d3p p0a† (p, s)a(p, s) энергии свободных частиц.

Наконец, пользуясь (7.5.22), можно записать выражение (7.5.19) для гамильтониана взаимодействия в представлении взаимодействия в виде

Дополнительное неинвариантное слагаемое в (7.5.33) имеет как раз тот вид, который, как мы установили в гл. 6, необходим для сокращения неинвариантного слагаемого в пропагаторе векторного поля.

Дираковское поле, спин 1/2

Для дираковского поля частицы со спином 1/2 попробуем взять лагранжиан в виде

где Н — действительная функция `Y è Y. Такое выражение не

является действительным, однако действие удовлетворяет этому требованию, так как

Yg μ¶μ Y - (Yg μ¶μ Y)† = Yg μ¶μ Y + (¶μ Y)g μ Y = ¶μ (Yg μ Y) .

Таким образом, полевые уравнения, получаемые из требования стационарности действия относительно вариаций `Y è Y, являются

сопряженными друг к другу. Это и требуется, если мы не хотим иметь слишком большое число уравнений поля. Импульс, канони- чески сопряженный к Y, åñòü

∂L

P = & = -Yg 0 , (7.5.35)

¶Y

поэтому мы не должны рассматривать`Y как поле наравне с Y,

а считать его пропорциональным импульсу, канонически сопряженному к Y.

ãäå p10 ≡ p2 + m1 2 , a(p,s) è b†(p,s) − операторные коэффициенты, а u(p,± ) è v(p,± ) — два набора из двух независимых решений

уравнений

[a(p, σ), b(p′, σ′)]+ = [a(p, σ), b† (p′, σ′)]+ = 0 . (7.5.50)

* Матрица igμpμ имеет собственные значения ±m, òàê ÷òî å uu è å vv должны быть пропорциональными проекционным матрицам (-igμpμ + m)/2m è (igμpμ + m)/2m, соответственно. Коэффициент пропорцональности можно подоб-

рать с точностью до знака, включив его в определение u и v. Общий знак определяется условием, что Tr å uub = å u†u è Tr å vvb = å v†v положительны.

и им сопряженные. Эти соотношения согласуются с результатами гл. 5, что подтверждает правильность выражения (7.5.37) как гамильтониана свободных частиц спина 1/2. Записанный через операторы a и b, гамильтониан имеет вид:

Полученное выражение отличается от общепринятого гамильтониана свободных частиц на бесконечное с-числовое слагаемое *:

σ

Это с-числовое слагаемое в (7.5.52) важно только тогда, когда мы учитываем гравитационные явления. В противном случае, как и для скалярного поля, можно отбросить это слагаемое, поскольку оно влияет только на выбор начала отсчета энергии. После этого Н0 оказывается положительным оператором, как и для бозонов.

7.6. Связи и скобки Дирака

Главная проблема при выводе гамильтониана из лагранжиана заключается в появлении связей. Стандартный анализ этой проблемы принадлежит Дираку 5, и мы будем следовать его терминологии. Анализ Дирака реально не требуется для обсуждаемых в этой главе простых теорий, в которых нетрудно идентифицировать свободные от связей канонические переменные. Для иллюстрации мы будем использовать теорию действительного массивного поля, вернувшись к дираковскому подходу в следующей главе, где он окажется действительно полезным.

Первичные связи либо накладываются на систему (как например, в следующей главе, когда мы выберем калибровку электро-

* Заметим, что с-числовое слагаемое в данном случае имеет отрицательный знак. Гипотетическая симметрия, известная под названием суперсимметрии 4, связывает между собой числа бозонных и фермионных полей таким образом, что все с-числовые слагаемые в Н0 взаимно сокращаются.

магнитного поля), либо возникают как следствие структуры самого лагранжиана. В качестве примера такого рода рассмотрим лагранжиан (7.5.11) массивного векторного поля Vμ, взаимодействующего с током Jμ:

Допустим, мы пытаемся рассматривать все четыре компоненты Vμ

как равноправные. Тогда мы должны определить канонически сопряженные им импульсы

Отсюда немедленно получаем первичную связь вида

Вообще, мы сталкиваемся с первичными связями всякий раз, когда уравнения Πl = δLδ(∂0Ψl ) не могут быть разрешены относительно ∂0Ψl, т. е. не позволяют выразить все ∂0Ψl через Πl è Ψl

(по крайней мере, локально). Такая ситуация возникает тогда и только тогда, когда матрица δ2Lδ(∂0Ψl )δ(∂0Ψm ) будет имеет

нулевой детерминант. Подобные лагранжианы называются нерегулярными.

Затем могут существовать вторичные связи, возникающие из требования, совместности первичных связей с уравнениями движения. Для массивного вкторного поля такой связью является как раз уравнение Эйлера−Лагранжа (7.5.16) для V0:

В данном случае этим все заканчивается, однако в других теориях могут встретиться новые независимые связи, возникающие из требования совместности вторичных связей с полевыми уравнения-

436 Глава 7. Канонический формализм

включая тождество Якоби

Если можно было бы принять обычные коммутационные соотноше-

χN = 0, ãäå χN − набор функций от Ψ è Π. Поскольку мы включаем в

рассмотрение все связи, как первичные, так и вторичные, множество всех связей с необходимостью совместно с уравнениями дви-

уравнения связи χN = 0 удовлетворяются *. Некоторая связь **

называется связью первого рода, если ее скобка Пуассона со всеми остальными связями обращается в нуль на поверхности связей (после вычисления скобок Пуассона). Мы столкнемся в следующей главе с простым примером такой связи при квантовании электромагнтитного поля, где связь первого рода возникает из симметрии действия — электромагнитной калибровочной инвариантности. На самом деле, множество связей первого рода cN = 0 всегда связано с группой преобразований симметрии для произвольной величины А. Бесконечно малое преобразование из этой группы имеет вид

*В современной терминологии для последнего условия используется также,

âчастности, автором, термин «при наложении связей». Но наиболее

употребителен термин «на поверхности связей». Имеется в виду, что уравнения

связи χN = 0 определяют в фазовом пространстве (Ψa,Πa) некоторую поверхность.

Ниже будет использоваться именно этот последний термин. Кроме того, гамильтониан Н содержит дополнительные вспомогательные поля — лагранжевы

множители к связям. Уравнения (7.6.11) могут определить некоторые из них

как функции Ψa, Πa. — Ïðèì. ðåä.

** Согласно современной терминологии любая функция χN из набора, определяющего поверхность связей χN = 0, называется функцией связи, или

коротко связью. Поэтому под связью в зависимости от контекста понимается

как уравнение связи χN = 0, так и сама функция связи χN. В данном контексте

термин связь понимается во втором смысле, как функция связи. — Прим. ред.

(В теории поля такие преобразования локальны, поскольку индекс N включает пространственно-временную координату.) Из формулы (7.6.11) следует, что такое преобразование оставляет гамильтониан инвариантным **; инвариантной остается также поверхность связей. Теорию со связями первого рода можно рассматривать либо с помощью выбора калибровки, либо калибровочно-инвариантными методами, описанными в т. II.

Связи cN, дополнительные к связям первого рода, обладают

тем свойством, что никакая нетривиальная линейная комбинация åN uN [cN, cM ]P скобок Пуассона этих связей друг с другом не

обращается в нуль. Это означает, что матрица скобок Пуассона оставшихся связей неособенная,

Такие связи называются связями второго рода. Заметим, что число связей второго рода всегда должно быть четным, поскольку антисимметричная матрица нечетной размерности по необходимости имеет детерминант, равный нулю.

Как мы видели, в случае массивного действительного векторного поля связи имеют вид

Скобка Пуассона этих связей равна

* Преобразования (7.6.12) сопровождаются также определенными преобразованиями лагранжевых множителей. — Прим. ред.

** На поверхности связей. — Прим. ред.

438 Глава 7. Канонический формализм

Эта «матрица» очевидно неособенная, так что связи (7.6.15) относятся ко второму роду.

Согласно Дираку, в случае, когда все связи являются связями второго рода, коммутационные соотношения имеют вид:

ãäå [A, B]D − обобщение скобки Пуассона, известное как скобка

Дирака:

(Здесь N и M — составные индексы, включающие пространственную координату *, и принимающие в нашем примере векторного поля значения типа 1,x и 2,x.) Дирак заметил, что дираковская скобка, как и скобка Пуассона, удовлетворяет тем же алгебраиче- ским соотношениям, что и коммутаторы:

* Автор употребляет здесь термин compaund indices — составные индексы, а ниже в Приложении общий термин compact notation — компактные обозначения. В современной литературе более употребителен общий термин condensed notation — конденсированные (сжатые) обозначения. — Прим. ред.