Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Напомним, что энергия Λ есть всего лишь удобная раздели-

тельная точка между «мягкими» фотонами, вклад которых явно уч- тен в (13.3.11), и «жесткими» фотонами, вклад которых содержится в ΓΛβα. Правая часть выражения (13.3.11) не зависит от Λ, òàê êàêΛA. Однако в теориях с малой константой связи типа квантовой электродинамики часто выгодно взять величину Λ достаточно

малой по сравнению с типичными энергиями W в данном соударении, так чтобы использованные приближения были верны для энергии фотонов, меньше Λ, и в то же время достаточно большой, чтобы выполнялось неравенство A(α → β) ln(W/Λ) n 1. В этом случае хорошим приближением может оказаться вычисление ΓΛβα â íèç-

шем порядке теории возмущений, причем главные радиационные поправки при E n Λ будут определяться множителем (E/Λ)A â

выражении (13.3.11).

* * *

Такое же сокращение инфракрасных расходимостей происходит и для мягких гравитонов 3. Вероятность любого процесса α → β, â êî-

тором мягкие гравитоны уносят энергию, не превышающую Е, оказывается пропорциональной ЕÂ, ãäå

13.4. Произвольные инфракрасные расходимости

Рассмотренная до сих пор инфракрасная расходимость, обязанная своим происхождением мягким фотонам, есть лишь один из множества примеров инфракрасных расходимостей, возникающих в различных физических теориях. Другим примером является квантовая электродинамика безмассовых заряженных частиц. В этом слу- чае, даже после сокращения инфракрасных расходимостей за счет мягких фотонов, обнаруживается логарифмическая расходимость в показателе степени А в (13.3.11). Согласно формулам (13.2.11) и (13.2.7), для процесса, в котором все заряженные частицы — электроны, показатель степени в пределе me → 0 ведет себя как

742 Глава 13. Инфракрасные эффекты

(На последнем шаге было использовано условие сохранения заряда ånenhn = 0.) Инфракрасная расходимость в этой формуле возникает

от мягких фотонов, испускаемых в направлении, параллельном импульсу одного из «жестких» электронов в начальном или конечном состоянии. Однако расходимость появляется и тогда, когда и фотон, и электрон не мягкие, т. к. знаменатель пропагатора (pn ± q)2

обращается в нуль при pn2 = q2 = 0, åñëè pn параллелен q. Более подробно, при pn2 = q2 = 0 интеграл от этого множителя * по направлениям фотонов принимает вид

ãäå q — угол между импульсами фотона и заряженной частицы. Интеграл логарифмически расходится при q = 0.

Конечно, в реальном мире нет безмассовых электрически заряженных частиц, однако в реакциях, где типичное значение Е2 скалярных произведений |pn×pm| много больше me2, представляет

интерес установить место возникновения большого множителя ln(me/E). Часто в этом случае ведущая радиационная поправка определяется слагаемым -ln(me/E)ånen2/2p2 в А. Еще важнее то. что в кван-

товой хромодинамике существуют безмассовые частицы глюоны, несущие сохраняющееся квантовое число, называемое цветом и аналогичное электрическому заряду. В этом случае инфракрасные расходимости возникают в результате испускания параллельных жестких глюонов жесткими же глюонами или другими имеющими цвет жесткими частицами в начальном или конечном состояниях.

В общем случае такие инфракрасные расходимости не устраняются суммированием по подходящим наборам конечных состояний. Однако Ли и Науенберг 6 заметили, что можно сократить

* Этот множитель не квадрируется, т. к. расходимость появляется только от интерференции этого слагаемого в матричном элементе S- матрицы со слагаемыми, в которых фотон испускается с линии другой заряженной частицы m ¹ n. При m = n интеграл (13.2.8) пропорционален mn2.

инфракрасные расходимости, если суммировать не только по подходящим конечным состояниям, но и предположить некоторое вероятностное распределение начальных состояний. Ниже приводится модифицированная версия рассуждений Ли и Науенберга, из которой станет сразу же ясно, почему в электродинамике с массивными электронами достаточно суммировать только по конечным состояниям.

Ñэтой целью удобно вернуться к «старой» теории возмущений,

âкоторой S-матрица задается выражениями (3.2.7) и (3.5.3) в виде:

(Интегрирование по с1, ..., ñn подразумевает суммирование по спинам и типам частиц в этих состояниях, а также интегралы по 3- импульсам частиц.) Инфракрасные расходимости могут возникать из-за обращения в нуль одного или более энергетичеких знаменателей в этом выражении (и только по этой причине).

Однако не все обращающиеся в нуль знаменатели приводят к инфракрасным расходимостям. Произвольное промежуточное состояние c может иметь Ec = Ea, но обычно это всего лишь одна точка внутри области интегрирования, так что интеграл по этой области можно сделать сходящимся с помощью предписания, заключенного в добавке iε в знаменателе. Промежуточное состояние с порождает

инфракрасную расходимость только в случае, когда энергия Ec = Ea на границе области интегрирования. Такое случается, например, если первое промежуточное состояние с1 в (13.4.2) отличается от начального состояния а только тем, что некоторая, любая, безмассовая частица в этом состоянии заменена на струю, состоящую из произвольного числа почти параллельно летящих безмасовых частиц с полным импульсом, равным импульсу замененной на струю частицы. В этом случае граничная точка, в которой Ec1 = Ea, соответствует точке в импульсном пространстве, когда все безмассовые частицы в каждой струе параллельны. В более общем случае, можно заменить любое число безмассовых частиц

в состоянии а на струи почти параллельных безмассовых частиц и произвольное число дополнительных мягких безмассовых частиц. Будем называть множество всех таких состояний D(a). (Аккуратнее следует ввести малый угол Θ и малую энергию Λ, чтобы опреде-

лить, что понимается под «почти параллельными» и «мягкими» частицами. Мы не станем заниматься выяснением зависимости D(a) от Θ è Λ.) Состояния в D(a) «опасны» в том смысле, что обращение в нуль энергетического знаменателя Ea − Ec1 в граничной точке может

привести к инфракрасной расходимости. Та граничная точка, в которой Ec1 = Ea, отвечает ситуации, когда все безмассовые частицы в каждой струе параллельны, а все мягкие безмассовые частицы имеют нулевую энергию.

Далее, если каждое из состояний с1, ..., ñn принадлежит множеству D(a), то промежуточное состояние cn+1 также опасно в указанном смысле. С другой стороны, если какое-то промежуточное состояние cm не принадлежит D(a), то последующее состояние ck с k > m уже не будет опасным, даже если оно принадлежит D(a), т. к. конфигурация жестких частиц или струй с 3-импульсами, равными импульсам частиц в состоянии a, будет обычной точкой внутри области интегрирования. Совершенно аналогично можно определить множество состояний D(b), в которых одна или более безмассовых частиц в состоянии b заменены на струи почти параллельных безмассовых частиц, полный 3-импульс каждой из которых равен 3- импульсу частицы, замененной на струю, и дополнительно испускается произвольное число безмассовых частиц. Промежуточное состояние cm опасно, если оно принадлежит множеству D(b) и если последующие состояния ck с k > m также все принадлежат D(b).

Чтобы изолировать вклады опасных состояний, перепишем (13.4.2) в виде:

ãäå Pa, Pb è P a,b — проекционные операторы на D(a), D(b) и все

остальные состояния соответственно. (Здесь предполагается, что ни одна из заряженных частиц в b не имеет импульса, близкого к импульсу какой-то заряженной частицы в a, так что множества D(a) и D(b) не перекрываются.) Далее, при Λ → 0 è Θ → 0 опасные

промежуточные состояния занимают столь малую область фазового

пространства, что ими можно пренебречь везде, где они не приводят к инфракрасным расходимостям. Поэтому степенной ряд (13.4.3) принимает вид:

Это равенство было бы точным, если бы все проекционные операторы P a,b между крайними левыми и крайними правыми множителями можно было заменить на Pa + Pb + P a,b, à Pa è Pb слева и справа

были бы заменены на Pa + Pb. Однако, как отмечалоcь выше, при достаточно малых Λ è Θ влияние такой замены на окончательный

результат было бы пренебрежимо мало.

Формулу (13.4.4) можно переписать в более компактном виде:

где используемые в дальнейшем операторы Ωα+ è Ωβ− для произвольных состояний α è β определяются формулами:

а «безопасный» оператор TS — формулой *

* В формуле для (Ωb−)db использовано то, что Tba вычисляется при Eb =

Ea, а при вычислении (TS)dc учтено, что действие проекционных операторов Pa обращает (Ωa+)ca в нуль, кроме случая. когда Еñ очень близко к Еà. Кроме того, благодаря множителям Ωb−† è Ωa+ â (13.4.5) P c,d = P a,b.

Все инфракрасные расходимости изолированы теперь в двух операторных множителях Ωα+ è Ωβ−.

Чтобы устранить эти инфракрасные расходимости, достаточ- но лишь заметить, что если бы не проекционные операторы на опасные состояния, операторы Ωβ− è Ωα+ были бы просто унитарными

операторами, преобразующими согласно формуле (13.1.16) состояния свободных частиц соответственно в «ин» и «аут» состояния. Если ограничить действие этих операторов подпространствами D(β) è D(α)

состояний, которые являются опасными для данного конечного состояния β и данного начального состояния α соответственно, то та-

кие операторы являются унитарными. Это означает, что для произвольных состояний β è α

Таким образом, вероятность перехода свободна от инфракрасных расходимостей, если произведено суммирование по подпространствам состояний, которые являются опасными для любых заданных начального и конечного состояний β è α:

å å | Tba |2 = TroΩβ− PβΩβ−†TSΩα+ PαΩα+†TS†t

Чтобы окончательно удостовериться, что это утверждение решает проблему инфракрасных расходимостей в произвольном случае, необходимо показать, что только суммы типа содержащихся в (13.4.11) являются экспериментально измеримыми. Весьма правдоподобно, что следует просуммировать по опасным конечным состояниям, чтобы получить измеримую вероятность перехода, поскольку экспериментально невозможно отличить выходящую заряженную (цветную) безмас-

совую частицу от струи безмассовых частиц с почти параллельными импульсами и той же полной энергией 7, сопровождаемую произвольным числом очень мягких квантов с тем же полным зарядом (или цветом). Суммирование по начальным состояниям вызывает больше вопросов. Вероятно, можно привести аргументы, что истинно безмассовые частицы всегда рождаются как струи, сопровождаемые ансамблем мягких квантов, однородно распределенных по некоторому объему импульсного пространства. Однако, насколько мне известно, никто еще не сумел дать полное доказательство того, что экспериментально измеримыми являются только суммы вероятностей переходов, свободные от инфракрасных расходимостей.

Эта проблема не возникает в квантовой электродинамике (с массивными заряженными частицами), где, как мы видели, для устранения инфракрасных расходимостей необходимо суммировать только по конечным состояниям. Причина такой разницы заключа- ется в том, что в электродинамике состояния a, b, c,... являются прямыми произведениями состояний (отмеченных греческими буквами) с фиксированным числом заряженных частиц и жестких фотонов и состояний, содержащих только мягкие фотоны с энергией меньшей некоторой малой величины Λ. Тогда для реакции с образо-

ванием некоторого количества мягких фотонов f, рождаемых в реакции α → β между заряженными частицами и жесткими фото-

нами, формула (13.4.5) упрощается:

где индекс 0 означает вакуум мягких фотонов, а Ω± вычисляются как

и выше, но в усеченном гильбертовом пространстве состояний только мягких фотонов, причем считается, что взаимодействие этих фотонов описывается гамильтонианом взаимодействия со всеми заряженными частицами в фиксированных состояниях, отмеченных аргументами β èëè α. Как и ранее, такие операторы унитарны в «опас-

ном» гильбертовом пространстве D мягких фотонов, так что *

* Причина, по которой не появляется никакого множителя вида (E/Λ)A,

как в формуле (13.3.11), заключается в том, что здесь мы приравниваем максимальную энергию Е состояний реальных мягких фотонов, по которым нужно суммировать, максимальной энергии Λ «опасных» состояний мягких фотонов, по которым производится суммирование при вычислении Ω±.

748 Глава 13. Инфракрасные эффекты

å| Tβf,α0 |2 = | (TS)βα |2 cΩ+ (α)† Ω− (β)Ω− (β)† Ω+ (α)h00

f D

(13.4.13)

= | (TS)βα |2 cΩ+ (α)† Ω+ (α)h00 = | (TS)βα |2 .

без всякого суммирования по начальным состояниям.

13.5. Рассеяние мягких фотонов *

Исследуя в этой главе взаимодействия мягких фотонов, мы рассматривали до сих пор только процессы, в которых мягкие фотоны испускаются или поглощаются в процессе α → β, который про-

исходит и сам по себе. Однако можно высказать ряд полезных общих утверждений относительно ситуаций, когда процесс α → β òðè-

виален, а мягкие фотоны играют существенную роль в реализации интересующей нас реакции. Рассмотрим простейший и наиболее важный пример такого рода: рассеяние мягкого фотона на массивной частице произвольного типа и спина, когда α è β − одночастич-

ные состояния. Сложность здесь в том, что главное слагаемое в амплитуде рассеяния мягкого фотона возникает не от полюсных, а от неполюсных слагаемых, связанных с полюсными слагаемыми через условие сохранения тока.

Матричный элемент рассеяния фотонов может быть представлен в виде

S(q, λ; p, σ → q′, λ′; p′, σ′) = i(2π)4 δ4 (q + p − q − p′)

ãäå q è q′ − начальный и конечный 4-импульсы фотона, р и р′ — начальный и конечный 4-импульсы мишени, λ è λ′ — начальная и конечная спиральности фотона, εν(q′,λ′) è εμ(q,λ) — соответствующие векторы поляризации фотонов, σ è σ′ — z-компоненты спинов

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении