Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Рис. 13.2. Диаграммы испускания двух мягких фотонов одной и той же входящей заряженной частицей. Прямые линии — жесткие частицы, волнистые линии — мягкие фотоны

равному произведению множителей, возникающих при испускании одного фотона.

Âобщем случае при испускании произвольного числа фотонов

ñодной и той же внешней линии, получаем сумму вида*

* Это тождество можно доказать методом математической индукции. Уже показано, что оно верно для двух фотонов. Пусть оно верно для N - 1

фотонов. Для N фотонов следует написать сумму по перестановкам как сумму по выбору первого излучаемого фотона и сумму по перестановкам остающихся фотонов:

p × q1 - ihe -1 p × (q1 + q2 ) - ihe -1 . . .

что и требовалось доказать.

Рис. 13.3. Типичная диаграмма для матричного элемента процесса a → b

с учетом ведущих радиационных поправок, обусловленных мягкими виртуальными фотонами. Прямые линии отвечают частицам в состояниях a и b (включая жесткие фотоны), волнистые — мягким фотонам

ется с учетом только виртуальных фотонов с импульсами больше чем Λ. С другой стороны, нижнее обрезание λ должно быть в конце концов устранено переходом к пределу λ → 0. Мы увидим, что ин-

фракрасные расходимости в этом пределе сократятся при учете испускания реальных мягких фотонов.

Каждому виртуальному мягкому фотону следует сопоставить пропагатор

затем умножить амплитуду (13.1.8) на произведение таких пропагаторов, свернуть по поляризационным индексам и проинтегрировать по 4-импульсам фотонов. Кроме того, для N виртуальных фотонов следует разделить результат на 2NN!, т. к. сумма по всем точкам, к которым можно присоединить оба конца линии мягкого фотона, включает фиктивные суммы по N! перестановкам фотонных линий и по взаимным перестановкам двух концов этих линий. Вклад

полюсы не дают вклада при замыкании контура в нижней полуплоскости. В обоих случаях вклад дает один из полюсов в точках q0 = ±(|q| - ie), и в результате получается чисто действительный

интеграл:

лежат по разные стороны действительной оси q0, так что один из них обязательно дает вклад, как бы мы не замыкали контур:

ãäå bnm — относительная скорость частиц n и m в системе покоя

одной из них:

Мнимая часть выражения (13.2.6) приводит к появлению в выражении (13.2.4) инфракрасно расходящегося фазового множителя 4, который выпадает, когда при вычислении вероятности процесса a ® b áå-

рется модуль матричного элемента. (Этот бесконечный фазовый множитель есть релятивистский аналог хорошо известной особенности нерелятивистского кулоновского рассеяния: та часть шредингеровской волновой функции, которая описывает расходящуюся сферическую волну, зависит от радиальной координаты не как exp(ipr)/r, а как exp(ipr − inln r)/r, ãäå n — произведение зарядов,

деленное на относительную скорость 5.) На вероятность реакции оказывает влияние только действительная часть Jnm, которая при всех hn è hm имеет вид

и это выражение положительно для всех 1 > β > 0. Поскольку А

положительно, эффект инфракрасных расходимостей от мягких виртуальных фотонов сводится после суммирования во всех порядках к тому, что вероятность любого данного процесса с заряженными частицами α → β обращается в нуль в пределеλ → 0.

* * *

Прежде чем показать, каким образом испускание реальных мягких фотонов сокращает эти инфракрасные расходимости, прервем ненадолго изложение и рассмотрим одну техническую деталь приведенных выше расчетов, которая, насколько я знаю, всегда игнорировалась в литературе. При расчете радиационных поправок наряду с диаграммами, в которых виртуальный фотон испускается и поглощается разными линиями заряженных частиц, мы включа- ли и диаграммы, в которых виртуальный фотон испускается и поглощается на одной и той же внешней линии. Но как было показано в гл. 10, при расчете S-матрицы не требуется включать радиационные поправки, возникающие от вставок собственноэнергетических поддиаграмм на внешних линиях. Отсюда может показаться, что в формуле (13.2.11) следует отбросить слагаемые с n = m , однако как будет видно в следующем разделе, сокращение инфракрасных расхоимостей будет при этом неполным.

Решение этой проблемы вытекает из наблюдения, что мягкие виртуальные фотоны порождают инфракрасные расходимости не только непосредственно, но и через константы перенормировки Zn полей заряженных частиц. (Константа перенормировки Zn в теориях типа квантовой электродинамики с одним заряженным полем спина 1/2 называется Z2.) Эффекты радиационных поправок на внешних линиях сокращаются контрчленами, пропорциональными (Zn − 1). Êîí-

кретнее, перенормированное поле заряженной частицы типа n равно произведению неперенормированного поля на Zn−1/2, так что когда

мы вычисляем S-матрицу, используя перенормированные поля (что соответствует опусканию радиационных поправок к внешним линиям), мы вводим дополнительный множитель ∏nZn−1/2, где произве-

дение берется по всем заряженным частицам в начале и конце. (Конечно, существуют и множители Zn−1/2 для нейтральных частиц,

но они не содержат инфракрасных расходимостей.) В несколько иных обозначениях, указанный множитель равен

∏ Z−Ef /2 f ,

f

ãäå Zf — константа перенормировки полей типа f, Ef − число внеш-

них линий типа f, а произведение теперь берется по всем типам заряженных полей. Однако эти константы перенормировки полей появляются также внутри диаграмм. Если выразить взаимодействие типа i, содержащее Nif полей заряженных частиц типа f, че- рез перенормированные поля, возникнет инфракрасно расходящийся множитель

∏(Zf )Nif /2 .

f

(Например, контрчлен −ie(Z2−1)Aμ`ψγμψ в (11.1.9) вместе с обычным электромагнитным взаимодействием −ie`ψγμψ приводит к суммарному взаимодействию −ieZ2`ψγμψ. За инфракрасную расходимость,

возникающую от второго слагаемого в скобках в (11.3.23) и в последнем слагаемом в (11.4.14), ответственна инфракрасная расходимость множителя Z2.) Кроме того, такая расходимость имеется в пропагаторах перенормированных полей: если выразить пропагатор перенормированного заряженного поля типа f через пропагатор неперенормированного поля, то возникает множитель Zf−1.

Собирая все это вместе, находим, что общее число множителей Zf для каждого заряженного поля типа f, возникающих от контр- членов к взаимодействиям и от радиационных поправок ко внутренним и внешним линиям, равно

21 å ViNif − If − 21 Ef ,

i

ãäå If è Ef − числа внутренних и внешних линий типа f, а Vi —

число вершин взаимодействий типа i. Уже отмечалось в разделе 6.3, что эта величина равна нулю для каждого f. Таким образом, контрчлены, сокращающие радиационные поправки ко внешним линиям, сами сокращаются множителями Zf, возникающими от внутренних линий и вершин. Поэтому формула (13.2.11) правильна в том виде, как она написана, включая слагаемые с n = m.