Непейвода. Прикладная логика
.PDF
16.1. СОЗДАНИЕ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ |
431 |
казал что такую подстановку можно осуществлять разными расходя щимися, между собой способами , - Н А Шанин16 построил, алгоритм. конструктивной расшифровки аналогичный. . сколемизации в классической логике Этот алгоритм вы, носил конструктивную задачу наружу а проблему.обоснования реше- ния ставил таким образом чтобы для, ее доказательства можно было- пользоваться классической, логикой Это еще сильнее прояснило связь
классической и конструктивной логики.
Третьим направлением в широко понимаемой. конструктивной ма тематике стало то которое ведет начало от поляков Они предложили- рассматривать лишь, алгоритмические построения но. логику не менять Тем самым они соединили недостатки классической, и конструктивной. математики хотя данной концепции и оказалось достаточно для реше ния нескольких, задач -
Пожалуй конец этого. этапа знаменуется несколькими событиями Во первых наконец, то с помощью предложенной Д Правитцем нор. мализации- ,выводов -и реализуемости по Клини было. строго доказано- что во многих сильных теориях базирующихся на интуиционистской, логике доказательство и на самом, деле дает построение Далее были выделены, важные классы формул где классическая и конструктивная. , доказуемость совпадают в частности, хорновские формулы давшие на чало языку ПРОЛОГ Были( предложены, несколько семантик, и самой- интуиционистской логики.) и бозирующихся на ней теорий с помощью которых стало возможно точно, исследовать вопросы о совместимости, различных интуиционистских принципов и классы построений к кото рым они ведут И наконец Э Бишоп США предложил концепцию. кон-
. , , . ( ) -
16 Н. А. Шанин — ученик А. А. Маркова. Он начинал с работы в самых абстрактных |
|
теоретико-множественных областях математики, в частности, в топологии. Именно по |
|
топологии он защитил докторскую диссертацию. Затем он всей душой воспринял кон- |
|
структивную математику и начал, по примеру Брауэра, заявлять всем, что их работы |
|
никакого смысла не имеют. Ему возразили. что никакого смысла тогда не имеет и его |
|
диссертация, и он обратился в Высшую аттестационную комиссию с письмом, в кото- |
|
ром просил лишить его степени доктора наук, поскольку его диссертация выполнена в |
|
области, не имеющей никакого смысла. Ему ответили, что по положению такая причина |
|
лишения степени не предусмотрена. |
|
Н. А. Шанин — |
гораздо более крайний конструктивист, чем А. А. Марков, но и у |
него убежденность и научный экстремизм никогда не вырождались в личную нетерпи мость по отношению к людям придерживающимся других точек зрения но тем кто- считались конструктивистами ,порой приходилось несладко за уклонения ( ,
, .)
432 ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА
структивной математики, ориентированную на соединение достоинств |
|||
интуиционистского и конструктивного в советском смысле подходов. |
|||
Идея была следующей: пользоваться лишь алгоритмами, но явно это- |
|||
го не говорить, и применять преимущества формализации намеренного |
|||
незнания, показанные Брауэром. В дальнейшем мы это рассмотрим по- |
|||
дробнее. |
|
|
|
16.1.6. |
Вторая героическая эпоха: математические резуль- |
||
К концу |
таты и попытки приложений |
|
|
60-х годов развитие конструктивной математики, казалось бы, |
|||
выдохлось, но на самом деле выдохлась задача переформулировки ре- |
|||
зультатов классической математики в конструктивной форме. И 70-е го- |
|||
ды знаменуются всплеском результатов уже по самой интуиционист- |
|||
ской логике и ее приложениям к математике. |
|
||
Провозвестниками приложений конструктивной логики к програм- |
|||
мированию явились работы Х. Б. Карри и Р. Л. Констейбла. Карри за- |
|||
метил, |
что доказательства в импликативном фрагменте гильбертовской |
||
формулировки логики высказываний в точности соответствуют типи- |
|||
зируемым термам в комбинаторной логике. Констейбл заметил, что, |
по- |
||
скольку конструктивное доказательство обязательно включает постро- |
|||
ение, оно может использоваться для автоматизированного синтеза про- |
|||
грамм. |
Оба этих наблюдения в дальнейшем были развиты многими спо- |
||
собами и скрещены между собой. |
|
||
§ 16.2. |
|
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОЛМОГОРОВА |
|
Поскольку логические формулы понимаются в интуиционистской ло- |
|||
гике (и в других конструктивных логиках) как задачи, естественно по- |
|||
строить интерпретацию, которая оперировала бы не с их истинностны- |
|||
ми значениями, а с решениями этих задач. Такую интерпретацию по- |
|||
строил А. Н. Колмогоров в 1925 г. (более развитый вариант — 1932 |
|||
г.) Надо заметить, что при этом Колмогоров следовал брауэровскому |
|||
описанию смысла логических связок при конструктивном понимании, |
|||
а его интерпретацию сразу же развил и уточнил ученик Брауэра А. Гей- |
|||
тинг. Поэтому на Западе данная интерпретация часто называется BKH- |
|||
интерпретацией. Мы предпочитаем традиционный русский термин. |
что |
||
Как Вы помните, в теории вычислимости было установлено, |
|||
16.2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОЛМОГОРОВА |
433 |
не всюду определенность (частичность) является необходимым свой- |
|||||
ством алгоритмически определяемых функций. Поэтому мы будем ра- |
|||||
ботать с не всюду определенными функциями и в наших интерпрета- |
|||||
циях.17 Поэтому введем терминологическое различие. Оператор всюду |
|||||
определен для данных соответствующего типа, а функционал либо ото- |
|||||
бражение — |
не обязательно. Если f — |
отображение, то |
!f(t) означает, |
||
что значение f(t) существует |
(т. е. что f(t) определено.) |
|
|||
Определение 16.2.1 (Колмогоровская интерпретация). Пусть A |
|||||
— |
множество решений A и a A |
означает, что a — |
решение of A, |
||
т.е. что a A. Пусть U — |
|
|
r |
||
наш универс рассмотрения. Оператор, |
|||||
|
|
|
r |
|
|
преобразующийr в называется слабо колмогоровской интерпре тацией если выполненыA r Aследующие условия пункты помеченные - нужны лишь, для логики предикатов.) ( , ,
1. Есть оператор join и отображения pr1, pr2 такие, что:
a, b (a r A & b r B join(a, b) r (A & B)) ,
c (c r A & B !pr1(c) & pr1(c) r A &!pr2(c) & pr2(c) r B) .
*Для квантора .
c (c r x A(x) !pr1(c) & pr1(c) U &!pr2(c) & pr2(c) r A(pr1(c))) .
2. Есть операторы in1, in2 и отображение case, такие, что
a (a r A in1(a) r A B) ,
b (b r B in2(b) r A B) ,
c (c r (A B)
(!case(1, c) & case(1, c) r A) (!case(2, c) & case(2, c) r B)) .
3. Есть отображение ev такое, что
|
a (a A & f (A B) !ev(f, a) & ev(f, a) B) . |
|||
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
||
17 |
Во времена Колмогорова это еще не было ясно, и поэтому он не делал оговорки о |
|||
частичности функций. |
|
|
||
434 |
ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА |
||
|
* Для квантора . |
|
|
|
f x A(x) a (a U !ev(f, a) & ev(f, a) A(a)) . |
||
|
r |
r |
|
|
4. Если нет таких a, что a r A, то 0 r |
¬ A. |
|
Если главные импликации повсюду заменить на ≡, то интерпретация |
|||
называется строго колмогоровской или просто колмогоровской. |
|
||
|
Через ! A обозначается тот факт, что |
A непусто. Если ! A, |
|
то A называется реализуемой в данной колмогоровской интерпретации. |
|||
|
r |
r |
r |
Это определение отличается от оригинального в нескольких отно- |
||||||||
шениях. Во-первых, у Колмогорова не было явно указанных отображе- |
||||||||
ний и операторов, а прямо говорилось , |
что множество A & B — |
|||||||
прямое произведение |
A× B, множество |
A B — |
пря- |
|||||
мая сумма A B. Пункт, соответствующий |
r |
|
||||||
A B, был |
||||||||
|
|
r |
r |
|
|
|
r |
|
определен только частично. Было сказано, что элементами A B |
||||||||
r |
r |
|
|
A в |
|
|
r |
|
являются эффективные преобразования |
B, но само понятие |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
эффективного преобразования оставалось неопределенным. |
|
|||||||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
Таким образом, в сущности интерпретация Колмогорова была мета- |
||||
интерпретацией, общим методом построения целого множества интер- |
||||
претаций. Наше определение еще сильнее подчеркивает этот аспект и ее |
||||
взаимосвязи с категорными конструкциями. Посмотрите на операторы |
||||
и отображения, определявшиеся в пунктах 1 и 2. Они наводят на вос- |
||||
поминание об определяющих диаграммах для прямого произведения и |
||||
прямой суммы (ч. 1., |
диаграммы 5.8, 5.9.) |
|||
Посмотрим, что гарантирует наше слабое определение. |
||||
Предложение 16.2.1. |
Выполнены следующие соотношения. |
|||
1. |
Если ! A и ! B, то ! A & B. |
|||
|
r |
r |
r |
и ! B. |
2. |
Если ! A & B, то ! A |
|||
|
r |
|
r |
r |
3. |
Если ! A и ! A B, то ! B. |
|||
|
r |
r |
|
r |
4. |
Если ! A или |
! B, то ! A B. |
||
|
r |
|
r |
r |
5. |
Не могут быть одновременно ! r A и ! r ¬ A. |
|||
6. |
Если ! x A(x), то ! A(u) для любого u U. |
|||
|
r |
|
r |
|
7. |
Если ! x A(x), то ! A(u) для некоторого u U. |
|||
|
r |
|
r |
|
16.2. |
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОЛМОГОРОВА |
|
435 |
|||
8. |
Если ! A(u) для некоторого u U, то ! x A(x). |
|
||||
|
|
r |
|
|
r |
|
Таким образом, прямые правила вывода классической логики (за ис- |
||||||
ключением правила снятия двойного отрицания, отвергнутого Брауэ- |
||||||
ром) |
сохраняются в колмогоровской интерпретации, а реализуемость |
|||||
формулы вполне может служить аналогом классической истинности. |
||||||
Интерпретация Колмогорова служит и сильным косвенным, полу- |
||||||
формальным, методом анализа конструктивных утверждений. Прежде |
||||||
всего рассмотрим сильный закон исключенного третьего и закон двой- |
||||||
ного отрицания, критиковавшиеся Брауэром в его диссертации. |
||||||
Пример 16.2.1. Реализуемость |
A |
¬ A означает возможность либо |
||||
построения реализации A, либо установления, |
что такой реализации не |
|||||
существует. |
А именно, для каждого A |
имеется элемент, из которого с по- |
||||
мощью операции case можно получить либо реализацию A, либо реали- |
||||||
зацию ¬ A. Если этот закон принят как общий, то такая проверка должна |
||||||
делаться допустимыми у нас средствами. Значит, если мы интересуем- |
||||||
ся вычислимостью, то закон исключенного третьего может приниматься |
||||||
лишь в случае, если наш язык настолько ограничен, что все выразимые |
||||||
в нем свойства разрешимы. |
|
|
|
|
||
Пример 16.2.2. Доказано, что элементарная теория действительных |
||||||
чисел и элементарная геометрия полны. В качестве примера приведем |
||||||
формулировку аксиом элементарной теории действительных чисел. |
||||||
Сигнатура состоит из отношений |
> и =, операций сложения, умно- |
|||||
жения и вычитания и трехместного предиката, выражающего деление |
||||||
Div(x, y, z), истинного, когда x/y = z. |
стандартные аксиомы |
|||||
Аксиомы делятся на три группы. |
Первая — |
|||||
поля, которые, в частности, позволяют определить константы 0 как x−x |
||||||
и 1 как x/x |
для произвольного x 6= 0. |
|
|
|
||
Вторая — |
аксиомы линейно упорядоченного поля. |
|||||
x, y, z(x > y & y > z x > z) |
|
x, y, z(y < z x + y < x + z) |
||||
|
|
x ¬(x > x) |
x, y, z(y < z & x > 0 x · y < x · z) |
|||
|
|
0 < 1 |
x, y(x = y x < y x > y) |
|||
|
|
|
|
|
(16.6) |
|
Третья группа состоит из единственной схемы аксиом утверждающей существование корня для любого многочлена нечетной, степени
В данных теориях нет множества натуральных чисел и выводится.
либо опровергается любое утверждение которое можно сформулиро вать на их языке логику мы рассматриваем, пока что классическую - ( ).
436 ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА
Например в элементарной теории действительных чисел можно форму лировать произвольные, алгебраические выражения и скажем теоремы- о существовании корня у данного многочлена Поскольку, эти, теории полны они разрешимы Таким образом в геометрии. закон исключенв ного третьего, полностью. корректен поскольку, любое утверждение - принципе можно проверить на истинность, либо ложность вопрос о том сколько реально ресурсов для этого потребуется нас сейчас( не интере, сует Поэтому эллины совершенно правильно пользовались, классиче- ской).логикой при построении своей математики. -
Что означает реализуемость без ограничений на язык Зна чит мы можем решить любую задачуA ¬ AЗначит теорема Гёделя о непол? - ноте, просто не может быть выполнена! Итак ,закон исключенного тре- тьего с конструктивной точки зрения вполне! заслуживает, названия прин- цип всезнания и выглядит совершенно нереалистичным 18 -
А чем же провинился принцип двойного отрицания . Тут вопрос не сколько тоньше Рассмотрим формулу Когда она? реализуема и- каковы ее реализации. ¬ ¬ A.
Реализацией ее является? стандартный элемент а реализуема она когда нет реализаций у ¬ A Расшифровываем последнее0, условие и по,
. , -
18 Анекдотично но показательно для стиля мышления большинства математиков сле дующее Теоремы, Гёделя во времена Брауэра сначала не было а затем он принципи- ально не. желал пользоваться данным результатом для обоснования, своих конструкций- поскольку не считал что теорема имеет отношение к сущности классической математи, ки19 Поэтому он аргументировал, неприемлемость скажем сильного закона исключен- ного третьего, следующим образом. , , -
Мы не знаем есть ли в десятичном разложении числа последова тельность цифр , Поэтому если через обозначитьpi утвер-
ждение 0123456789. , A -
В десятичном разложении π есть последовательность цифр (16.7)
0123456789,
то мы не можем утверждать ни ни и поэтому нельзя считать истинным. A, ¬ A, A ¬ A
Брауэр не мог вообразить себе ни мощности и общедоступности современных ком пьютеров ни тупости многих их использований Некто совершенно точно вычислил- что эта последовательность, встречается в числе . и объявил о решении проблемы дав, но поставленной интуиционистами! π , -
16.2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОЛМОГОРОВА |
|
|
437 |
||
лучаем интересное соотношение: |
|
когда ре- |
|
|
|
¬ ¬ A реализуема тогда и только тогда, |
|
|
|||
ализуема A, но реализацией ее является заранее |
(16.8) |
||||
известный элемент 0. |
|
|
|
|
|
Что теперь означало бы принятие закона ¬ ¬ A A? Тогда был бы об- |
|||||
щий метод преобразовывать любую решаемую проблему в ее решение, |
|||||
т.е. общий решатель задач20. Итак, закон снятия двойного отрицания с |
|||||
конструктивной точки зрения означает существование общего решателя |
|||||
задач, и естественно, что, приняв сильный закон исключенного третье- |
|||||
го, мы должны принять и закон двойного отрицания и наоборот. |
|
|
|||
Пример 16.2.3. Рассмотрим вопрос, может ли интуиционистская тео- |
|||||
рия противоречить классической? Пусть A(x) — |
неразрешимое свой- |
||||
ство, а наши эффективные методы — |
алгоритмические. Тогда нет та- |
||||
кого функционала ϕ, который реализует x(A(x) ¬ A(x)), |
и, зна- |
||||
чит, по определению реализумости, мы должны считать обоснованным |
|||||
¬ x(A(x) ¬ A(x)) |
|
|
|
|
|
Пример 16.2.4. Рассмотрим совершенно неформальный пример, тем не |
|||||
менее, достаточно убедительно показывающий, что нельзя механически |
|||||
получать x ¬ A(x) из ¬ x A(x). |
|
|
|
|
|
Пусть реализовать A(x) означает соблазнить девушку x. Тогда реа- |
|||||
лизовать x A(x) — |
это найти общий метод соблазнения любой девуш- |
||||
ки. Вполне реалистична ситуация, когда такого метода нет, и, тем не ме- |
|||||
нее, любую девушку в принципе можно соблазнить, подойдя к этому |
|||||
творчески. |
|
|
|
|
|
Неформальные ответы на многие вопросы требуют исследования |
|||||
более тонкой структуры колмогоровской интерпретации. |
|
|
|||
Пример 16.2.5. Рассмотрим следующий вопрос: |
|
|
|
||
Каков конструктивный смысл формулы A A и |
|
|
|||
в каких случаях она может быть конструктивно |
(16.9) |
||||
неверна? |
|
|
|
|
|
Ее реализацией является тождественная функция, и, соответственно, фор- |
|||||
мальный закон тождества неформально означает возможность бездей- |
|||||
20 Общий решатель задач такой же нонсенс как вечный двигатель но тем не менее традиционно являлся одной— из целей классического, искусственного интеллекта, Неко торые программы даже так назывались. . -
438 ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА
ствия, наличие преобразований, которые ничего не изменяют. Таким обра- |
|||
зом, чтобы не было A A, необходимо не иметь и тождественных |
|||
функционалов. В частности, для этого достаточно учесть, что есть вре- |
|||
мя, которое необратимо расходуется даже при бездействии. |
|
||
Пример 16.2.6. |
Чуть-чуть видоизменим предыдущую импликацию. A |
||
A & A уже требует удвоения реализации A. А, если на реализацию тра- |
|||
тятся ресурсы, то вполне их может не хватить на два экземпляра такой |
|||
реализации. Конечно, примером такого ресурса опять-таки может слу- |
|||
жить время, но здесь достаточно и денег, которые могут не расходовать- |
|||
ся при бездействии, но расходоваться при действиях. |
|
||
Упражнения к § 16.2 |
|
||
Пусть реализации конъюнкции, дизъюнкции и существования — |
|||
прямые суммы и прямые произведения. |
|
||
16.2.1. |
Что получится, если в качестве реализаций A B будут рас- |
||
сматриваться все классические теоретико-множественные функ- |
|||
ции f : A → B? А если еще обобщим, и будем рассматри- |
|||
вать все отношения? |
|
||
|
r |
r |
|
16.2.2. |
А если теперь будем рассматривать лишь постоянные функции? |
||
16.2.3. |
Рассмотрим формулу |
|
|
|
(¬ A B C) (¬ A B) (¬ A C). |
||
Студент Классиков следующим образом обосновал ее конструк- |
|||
тивную приемлемость. |
|
||
Пусть некоторый функционал ϕ решает задачу ¬ A B C. |
|||
Тогда ϕ по решению ¬ A вычисляет, какой из членов дизъюнкции |
|||
решается, |
и дает его решение. Но реализация отрицания извест- |
||
на заранее — 0. Так подставим 0 в ϕ и получим, какой из членов |
|||
дизъюнкции в заключении решается, а уж его решение нетрудно |
|||
получить опять-таки из ϕ! |
Если возра- |
||
Можете ли Вы что-либо возразить и если да, то что? |
|||
жаете, то что разумного в рассуждениях Классикова? |
|
||
16.2.4. |
Почему мы не включили в число аксиом действительных чисел |
||
плотность порядка |
|
||
|
|
x, y(x < y z(x < z & z < y))? |
(16.10) |
16.3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ГЕЙТИНГА |
439 |
16.2.5. Напишите одну аксиому, выражающую наличие корня у любого |
|
многочлена третьей степени. |
|
16.2.6. |
Мы позаботились о существовании корней у многочленов не- |
четной степени. А как доказать существование √2? |
|
§ 16.3. |
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ГЕЙТИНГА |
Как уже говорилось первую формализацию интуиционистской логики дал ученик Брауэра ,А Гейтинг Первоначально сам Брауэр не рассма тривал эту формализацию. как нечто. устойчивое настаивая на нефор- мализуемости не только интуиционистской математики, в чем он был- прав но и самой логики в чем он тоже был прав если рассматривать( целый), класс конструктивных( логик Но попытки, видоизменить кон
струкцию Гейтинга приводили к гораздо.) менее красивым системам а- его формализация постепенно обрастала точными интерпретациями, и красивыми теоремами В результате сейчас интуиционистскую логику отождествляют с формализаций. Гейтинга
Формализацию Гейтинга проще всего .описать как результат замены в исчислении естественного вывода для классической логики правила двойного отрицания на правило из лжи следует все, что угодно (ex falso
quodlibet.)
A¬ A
B
(16.11)
Поскольку допустимо в классической логике любое логическое exдоказательствоfalso quodlibetв системе Гейтинга одновременно является, классическим доказательством 21 Так что имеется возможность не бу дучи интуиционистом анализировать. конкретные доказательства, и при- прочих равных условиях, проводить их интуиционистскими средствами
Доказательство закона исключенного третьего ис. пользовало закон двойного отрицания В интуиционистскойA ¬ A логике(11.2) от- данного вывода остается почти все, кроме. конца, и доказывается ¬ ¬(A
¬ A).
21 Тем не менее в конкретных теориях основанных на гейтинговской формализации интуиционистской логики вполне могут, быть результаты противоречащие классиче ской логике. Смотри далее,. , -
