Непейвода. Прикладная логика

Интуиционистская логика — наиболее близкий во многих отношениях

к классической член семейства неклассических логик.

Более того, она

—

практически единственная неклассическая логика,

не являющаяся

просто одним из членов целого семейства, а обладающая уникальны-

ми, выделенными свойствами. Если классическая логика имеет почти

стандартную и простейшую из возможных семантику в виде таблиц ис-

тинности,1 то интуиционистская логика замечательна тем, что четыре

известных разнородных класса семантик для неклассических логик со-

существуют для нее. Поэтому интуиционистская логика может послу-

жить в качестве полигона для семантик неклассических логик, приме-

няемых далее к самым разнообразным системам.

§ 16.1. СОЗДАНИЕ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ

16.1.1.

Брауэр: идея конструктивности

К началу XX века математика столкнулась с кризисом оснований, про-

являвшимся как в грубых парадоксах типа противоречий (например, па-

радокс Рассела в ч. 1, §1.7),

так и в том, что понятия, изначально счи-

тавшиеся тождественными,

стали заметно расходиться.

и напомним его логическую суть.

Идеей диссертации Брауэра было то, что законы классической ло-

гики не носят ни априорного, ни абсолютного характера. Они выведе-

ны прямым обобщением законов работы с небольшими конечными со-

вокупностями устойчивых во времени объектов. Затем они были неза-

конно перенесены на оперирование с бесконечно большими совокуп-

ностями и стали, соответственно, неадекватны. Эта неадекватность не

осознавалась длительное время и в конце концов завела математику в

громадный тупик, из которого не выберешься пересмотром отдельных

аксиом. Нужно либо полностью отказаться от бесконечных совокупно-

стей объектов, либо перейти к другой логике, либо перестать придавать

какой-то содержательный смысл математическим утверждениям, при-

знав их чисто абстрактными, идеальными. Далее, математика полно-

стью игнорирует незавершенность человеческого знания и незавершен-

ность, как говорил Брауэр, становящийся характер многих математи-

ческих объектов. В частности, действительное число рассматривается

как уже существующая бесконечная десятичная дробь, а не как процесс

Даже если мы точно определили абстрактный объект, например, чи-

сло π, мы все равно не знаем его полностью. Например, вычислив 1010

знаков данного числа, мы можем так и не узнать, есть ли в его десятич-

Чтобы преодолеть рассмотренные выше трудности, предлагалось раз-

рушить до основания все здание математики и заново построить его на

новых принципах. Но откуда было взять новые принципы, если даже

логика была поставлена под сомнение? Брауэр предложил пользоваться

новой логикой, которая, как он утверждал, гораздо интуитивно понят-

нее, чем классическая, и описывает математические утверждения не как

абстрактные истину и ложь, а как предложения о возможности выпол-

нить некоторое умственное построение, решить некоторую конструк-

тивную задачу.4 Математическое доказательство должно дать требуе-

мое построение вместе с его обоснованием. Методы, дающие построе-

сущ-

а зачастую

и

в мировой, научной литературе

термином

5

В советской,

‘конструктивная

математика’

или

‘конструктивное направление в математике’

порою называют конкретную ее разновидность, развивавшуюся в 50-е – 70- е гг. в

СССР под руководством А. А. Маркова.

когда-либо

6

Давид Гильберт считается одним из самых выдающихся математиков,

живших на Земле.

Он получил принципиальные результаты в самых разных разделах

1. Необходимо четко осознать, что подавляющее большинство ма-

тематических объектов и теорем никаких прообразов в реальном

мире не имеют. Реальными являются лишь утверждения типа 2 ×

2 = 4, а число π и теорема Ферма —

уже идеальные объект и вы-

сказывание. В принципе идеальные объекты и результаты нужны

лишь как промежуточные стадии для получения реальных резуль-

татов и в данном смысле не являются необходимыми.8

426

2.

объектов, поскольку иначе мы не могли бы практически получить

многих реальных результатов. Таким образом, идеальные объекты

необходимы для эффективности нашего мышления.9

3. Необходимо обосновать, что в принципе идеальные объекты и утвер-

ждения можно устранить из выводов реальных утверждений; слож-

ность получившихся преобразований при этом роли не играет, по-

скольку реально их устранять никто не собирается, но доказатель-

ство возможности устранения должно быть проведено как можно

более абсолютными средствами, с которыми согласны и класси-

ки, и интуиционисты, и по возможности все могущие появиться

в будущем диссиденты других толков. Такие средства Гильберт

назвал финитными.10

4.

Для строгого финитного доказательства теорем о преобразовании

выводов необходимо полностью уточнить понятие математи-

ческого языка и логического вывода.11

5. После формализации необходимо финитно доказать непротиворе-

чивость и полноту получившейся формальной системы, посколь-

ку это гарантирует пункт 3.12

9

В данном

бо даже невозможности) устранения объектов и утверждений высших уровней из мате-

матических доказательств. Смотри, например, в §11.8. Другое дело, что Гильберт, ви-

димо,

не предвидел парадокса изобретателя (теорема 13.8) в столь сильной форме.

10

Ничего не возразишь! Даже Брауэр заявил, что после такого обоснования он бы снял

все возражения против классической математики, лишь бы сами математики классиче-

ского направления перестали говорить о реальном смысле, кроющемся за идеальными

объектами и утверждениями.

11

Таким образом, впервые была поставлена со всей остротой задача формализации

классической математики.

12

И после десятилетия попыток в данном направлении, когда Гильберт неоднократно

объявлял, что искомые доказательства почти получены, остались лишь несколько незна-

чительных частных случаев — теорема Гёделя о неполноте! Она произвела впечатление

атомной бомбы, полностью уничтожившей программу Гильберта, и все, сконцентриро-

вавшись на предложенных Гильбертом средствах, забыли его основную цель —

пункт

3.

А средства ведь не только что не необходимы, но иногда даже не достаточны для

Когда появилась формализация интуиционистской логики, почти сра-

зу же была дана и ее первая строгая интерпретация. Она основывалась

на идее алгебр Линденбаума-Тарского и, в свою очередь, была подтвер-

ждением их силы как математического аппарата. Было сформулирова-

но понятие псевдобулевой алгебры и дана интерпретация интуиционист-

ской логики как логики со значениями в псевдобулевых алгебрах.

Тем не менее само понятие псевдобулевой алгебры могло перво-

начально рассматриваться как выдуманное ad hoc, специально для то-

го, чтобы проинтерпретировать интуиционистскую логику. Следующим

принципиальным шагом в данном направлении стала польская интер-

претация интуиционистской логики, где значениями формул являлись

открытые подмножества произвольного топологического пространства.

Итак, интуиционистская логика оказалась связанной с важнейшими ма-

тематическими понятиями.

Далее, новые понятия в математической логике стали все чаще со-

здаваться и для классической, и для интуиционистской логики.

Г. Ген-

цен создал свое исчисление естественного вывода и исчисление секвен-

ций сразу для двух данных логик. Для них же он доказал теорему нор-

мализации. Э. Бет также создал семантические таблицы и для той, и для

другой логики, и для интуиционистской —

чуть раньше.

16.1.4.

Разногласия и новые идеи

Полное единство мнений бывает толь-

ко на кладбище.

г.

И. Джугашвили (Сталин), 1917

А в самом интуиционизме начались расхождения. Многие были не-

довольны формализацией отрицания по Гейтингу и начали ее варьиро-

вать (минимальная логика, сильное отрицание, безотрицательная мате-

матика). Другие начали проявлять недовольство слишком сильными, по

их мнению, абстракциями, введенными Брауэром, особенно это течение

усилилось после появления точного понятия алгоритма. Третьи. . . но в

учебнике можно и остановиться.

Реакция Брауэра была совершенно неординарной для отца-основателя

школы.

Вместо обвинений в адрес ревизионистов и уклонистов он спо-

койно сказал:

Поскольку интуиционисты говорят на неформа-

лизованном языке, среди них должны были по-

(16.2)

явиться разногласия.

ГЛАВА 16. ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

16.1.5.

Период после Брауэра

Начиная с 1954 г. Брауэр больше не публиковал научных работ. Но целое

направление уже было создано и продолжало интенсивно развиваться. В

это время расцвел, в частности, советский конструктивизм, основателем

которого был А. А. Марков.14

Советский конструктивизм, в отличие от интуиционизма, с самого

начала взял курс на точное понятие алгоритма, которое уже сформиро-

валось к началу 50-х годов. Первым применил точное понятие алгорит-

ма для построения семантики интуционистских теорий американский

ученый С. К. Клини в 1940–1945 гг.15 Он дал понятие реализуемости,

которое может рассматриваться как подстановка конкретного понятия

алгоритма в общую схему Колмогорова. Но, тем не менее, именно по-

нятие реализуемости стало первой точной реализацией неформальной

схемы,

предложенной Колмогоровым. Затем (уже в 50-х гг.) Клини по-

Андреевич Марков —

выдающийся русский математик. Он сын знаменитого

14 Андрей

математика А. А. Маркова, и, отталкиваясь от отца, не пожелал кончать математический

факультет, и некоторое время работал инженером. Но затем он вернулся в математику.

Работы, принесшие ему славу,

были сделаны во многих областях, но в первую очередь

в топологии и в алгебре, где предельно неконструктивные доказательства были скорее

правилом, чем исключением. В дальнейшем он, возможно, под влиянием прикладных

работ в области кодирования и декодирования (вспомним, что и Тьюринг этим зани-

мался,) перешел к конструктивной точке зрения и в некоторых отношениях стал более

радикален, чем Брауэр. Это было связано и с более физическим и материалистическим

мировоззрением А. А. Маркова, искавшего твердых оснований. Подходящим и надеж-

ным основанием стало точное понятие алгоритма, и А. А. Марков перестроил конструк-

тивный взгляд таким образом.

что везде были лишь алгоритмы и данные для них. В

дальнейшем А.

А. Марков стал пытаться обосновать саму интуиционистскую логику

через теорию алгоритмов. Он столь же бескомпромиссно, как и Брауэр, отстаивал свои

убеждения, и столь же был терпим на практике к людям с другой точкой зрения.

Порою

он заявлял следующим образом:

Я этого не понимаю, но этим надо заниматься!

(16.5)

Необходимо помнить, что в его устах “ не понимаю” означало невозможность проин-

терпретировать нечто со строго конструктивной точки зрения.

15 С. К. Клини —

выдающийся американский логик. Его фамилия читается так необыч-

но, поскольку она сохранила остатки фризского чтения (фризы —

маленький народ на

островах Северного моря.) Курсовой работой Клини было построение алгоритма для

вычисления разности натуральных чисел (в те времена теория алгоритмов лишь начи-

нала развиваться.) Затем он дал множество красивых интерпретаций неклассических

теорий, написал фундаментальную книгу по математической логике [35]. Он —

один

из основателей теории нейронных сетей.