Непейвода. Прикладная логика

(если результат — объект). Сейчас они чаще всего называются функ-

ционалами (высших типов). В λ-языке и те, и другие чаще всего назы-

ваются просто функциями. Но лишь Л. Я. Шейнфинкель и Х. Б. Карри

(H.B. Curry) начали разработку их систематической теории. И сразу же

они натолкнулись на важное преобразование, позволяющее уменьшить

количество сущностей.

Для описания функций многих переменных хочется ввести много-

местный квантор типа

λx1 . . . xn. t(x1

, . . . , xn). Карри2

подметил ис-

ключительно важное преобразование,

базирующееся на том, что у нас

функции систематически трактуются как значения. Вместо f(x, y) он

рассмотрел функционал f, перерабатывающий x в функцию от y. f(x)(y) =

f(x, y). Таким образом, без ограничения общности достаточно рассма-

тривать функции от одного аргумента. Такое преобразование называ-

ется преобразованием Карри (Currying). Оно соответствует также пред-

ставлению λx1 . . . xn в форме λx1

. . . λxn. (Проверьте!)

Преобразование Карри имеет важные аналогии в программирова-

нии. Оно соответствует

частичной параметризации процедур. Если име-

ется процедура P(x1, x2, . . . , xn), а известно лишь значение x1 = a, мож-

но тем не менее проделать внутри P

вычисления, зависящие лишь от

x1, и получить частичную процедуру P1(x2, . . . , xn) = P(a, x2, . . . , xn).

Если не требовать оптимизации частичной процедуры, то частичная па-

раметризация становится удобным, легко реализуемым и не портящим

эффективность программ методом программирования, который, к не-

счастью, был осознан вскоре после того, как было фиксировано опреде-

ление наиболее популярных языков программирования —

C и Pascal. У

себя в примерах будем обозначать частичную параметризацию P (a, . . . , z).

Отметим один тонкий момент.

Пусть дана процедура P(x, y). Произ-

ведя частичную параметризацию

P (a, b), мы с точки зрения програм-

мирования получаем не значение

P(a, b), а процедуру без параметров,

вычисляющую это значение.

Упражнения к § 14.1

вычисляющая расстояние между дву-

14.1.1. Пусть f(x, y) —

функция,

392

ГЛАВА 14.

ОСНОВЫ λ-ИСЧИСЛЕНИЯ

14.1.4.

Вычислить λx. Dλy (y3 · x + y)(1)(3).

14.1.5.

Студентка Тупицына спросила: “

А зачем вообще все многочи-

удобства либо неудобства, либо совсем некорректно, и почему?

14.1.6.

Студентка Примерная записала утверждение

λx. x2+1 > λx.

1

.

2+x2

Что Вы скажете по этому поводу?

14.1.7.

Прокомментируйте запись x Max(a, b, f(x)) ≥ f(x), где Max

—

функционал нахождения максимума функции на отрезке [a, b].

14.1.8.

Студент Чудаков предложил по аналогии с распространенным

множеств в стиле

f(x, y)

A(x, y)

использовать λ-обозначения типа λ(x

+y

). {sin(x)·cos(y)}. Что

можно сказать по данному поводу?

§ 14.2.

λ-КОНВЕРСИИ

преобразование аргумента

(r t) (r u)

t u

(

ξ)

(14.9)

λx. t λx. u

правило

Названия “ β-конверсия"и “ правило ξ"традиционны для обозначения

этих характерных преобразований

λ-термов. Правда,

их суть лучше от-

ражали бы названия типа “ символьное вычисление"и ” преобразование

определения". Чаще всего не ставят, а просто выписывают последо-

вательность преобразуемых (конвертируемых) друг в друга термов.

Пример 14.2.3. Рассмотрим λ-термы

Ψ = λx. (x x);

Ω = (Ψ Ψ) = (λx. (x x) λx. (x x)).

По β-конверсии Ω преобразуется в

Subst(λx. (x x), x, Ψ) = (Ψ Ψ) = Ω.

Итак, Ω конвертируется сам в себя.

Отметим взаимосвязь Ω с парадоксом Расселла. Рассмотрим множе-

ство всех множеств, являющихся собственными элементами: Z = {x|x

x}. Тогда Z Z Z {x|x x} Z Z. Хотя здесь мы и не по-

лучили грубого противоречия, мы высветили логическую основу пара-

докса Расселла, парадокса лжеца и многих других парадоксов: ударяясь

в абстракции, слишком легко определить понятия, ничего не содержа-

щие, кроме самих себя.5

Карри дал интересную переформулировку та-

A A (A A A). Пусть A A. Тогда A A A. Значит, из

A A следует A. Но (A A A) A A. Следовательно, A A.

Но A A A. Значит, A. Итак, имея неограниченные абстракции

и пользуясь ими в рассуждениях,

можно доказать все, что угодно. В λ-

конверсиях объекты, подобные Ω, относительно безобидны (в точности

в той же степени, что “ зацикливание" в программах).

Подробней проанализируем роль различных правил в λ-конверсиях.

β- конверсия является определением вызова процедуры, принятым в

большинстве языков программирования. Транзитивность означает воз-

можность выполнить целую последовательность вычислений. Единствен-

ное разумное ограничение на нее —

исчерпание ресурсов, которое обыч-

но игнорируется в семантике алгоритмического языка. Практически не-

чего возразить и на правило преобразования аргумента. А вот преобра-

зование функции уже несколько более сомнительно. Оно чаще всего

просто избегается в языках программирования за счет того, что функ-

ция не является полноправным значением. Правило ξ

не может быть

просто проигнорировано, поскольку любой приличный язык включает

описания процедур, но такое преобразование чаще всего прямо запре-

щается в семантике языков программирования. В самом деле, чаще все-

го процедура содержит операторы, рассчитанные на разные значения

аргумента и при конкретном значении аргумента выполняются (за счет

операторов типа if, case, while, repeat) лишь некоторые из них. Попыт-

ка же вычислять, не разобравшись со значением аргумента, вполне мо-

жет привести к ошибке. Например, если процедура для положительного

x вычисляет его квадратный корень, а для отрицательного действует по-

другому то попытка слишком рано вычислить

приведет к ошибке

Таким образом, анализ правила ξ

привел нас к выявлению ограничений

,

√x

.

400

1.

λx (s1s2), где t1 → s1, t2 → s2

. Тогда, по предположению индук-

ции, для r1, s1 можно найти q1,

и, соответственно, для r2, s2 общее

q2. По лемме 14.3.5, в качестве q можно взять q1[x|q2].

лемму 14.3.5.

подслучая.

1.

(s1 s2). Непосредственно применяем предположение индукции.

2.

t

предположению индукции, t11

и r1, t2 и r2 попарно приводятся к

общему терму. Применяем лемму 14.3.5.

А теперь, поскольку конверсия —

транзитивное замыкание →, а → кон-

флюэнтно, теорема доказана.

Упражнения к § 14.3

14.3.1.

Ввести термы вида [x y z]

со следующими правилами конверсии:

[fab] (fa)(fb); [fga] (fa)(ga). Прокомментируйте это пред-

ложение.

14.3.2.

для кортежей. Вводятся термы вида [t1 . . . tn] вместе со следующи-

ми правилами конверсии:

Ваше мнение об этом предложении: разумно ли оно с точки зрения

истолкования и сохраняет ли оно свойство локальности конверсий

и свойство конфлюэнтности?

§ 14.4.

λ-ИСЧИСЛЕНИЕ